北京市怀柔区2020届高三下学期适应性练习数学试题

北京市怀柔区2020届高三下学期适应性练习数学试题

‎2019-2020学年怀柔区第二学期适应性练习 ‎ 数 学 ‎ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ ‎ 第一部分(选择题 共40分)‎ 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）‎ ‎1．已知集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．若复数满足，则 A． B． C． D．‎ ‎3．函数的最小正周期为 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．函数的图象是 ‎ ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．在等差数列中，若，则 A．6 B．‎10 ‎C．7 D．5‎ ‎6．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于原点对称，则圆C的方程为 A．x2＋y2＝1　 B．x2＋(y＋1)2＝1　　 ‎ C．x2＋(y－1)2＝1　 D．(x＋1)2＋y2＝1 ‎ ‎7．已知，则“”是“”的 ‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 ‎ C．充要条件 D．非充分非必要条件 ‎8．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知，则下列不等式成立的是 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．“割圆术”是我国古代计算圆周率的一种方法．在公元年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明．其 原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求．当时刘微就是利用这种方法，把 的近似值计算到和之间，这是当时世界上对圆周率的计算最精确的数据．这种方法 的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的．为此，刘微把 它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这种方法极其 重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分．根据“割圆术”，若用正 二十四边形来估算圆周率，则的近似值是（精确到）‎ ‎（参考数据）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ ‎ 第二部分 (非选择题 共110分)‎ 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．）‎ ‎11．已知抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为 ； ‎ ‎ 准线方程为 ．‎ ‎12．的展开式中的系数是 ．‎ ‎13．在中，，，为的中点，则 ．‎ ‎14．某网店“五一”期间搞促销活动，规定：如果顾客选购商品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优 惠；如果顾客选购商品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下 表累计计算．‎ ‎ 可以享受折扣优惠金额 折扣优惠率 ‎ 不超过500元的部分 ‎5%‎ ‎ 超过500元的部分 ‎10%‎ ‎ 如果某人在网店所购商品获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为 元．‎ ‎15．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）‎ ‎16．（本题满分14分）‎ ‎ 已知在中，，，同时还可能满足以下某些条件：‎ ① ‎；②；③；④．‎ ‎（Ⅰ）直接写出所有可能满足的条件序号；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求及的值．‎ ‎17．（本题满分14分）‎ ‎ 如图，四棱锥的底面是正方形，底面，分别是的中点，． ‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小．‎ ‎18．（本题满分14分）‎ 某校高一、高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，测试成绩满分为分，规定测试成绩在之间为“体质优秀”，在之间为“体质良好”，在之间为“体质合格”，在之间为“体质不合格”．现从这两个年级中各随机抽取名学生，测试成绩如下：‎ 学生编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 高一年级 ‎60‎ ‎85‎ ‎80‎ ‎65‎ ‎90‎ ‎91‎ ‎75‎ 高二年级 ‎79‎ ‎85‎ ‎91‎ ‎75‎ ‎60‎ 其中是正整数．‎ ‎（Ⅰ）若该校高一年级有学生，试估计高一年级“体质优秀”的学生人数；‎ ‎（Ⅱ）若从高一年级抽取的名学生中随机抽取人，记为抽取的人中为“体质良好”的学生人数，求的分布列及数学期望；‎ ‎（Ⅲ）设两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等，当高二年级被抽取学生的测试成绩的方差最小时，写出的值．（只需写出结论）‎ ‎19．（本小题15分）‎ ‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：；‎ ‎（Ⅲ）判断曲线与是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由．‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知椭圆的短半轴长为，离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交椭圆于点，证明：为直角三角形．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 已知数列，且．若是一个非零常数列，则称是一阶等差数列，若是一个非零常数列，则称是二阶等差数列．‎ ‎（Ⅰ）已知，试写出二阶等差数列的前五项；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：；‎ ‎（Ⅲ）若的首项，且满足，判断是否为二阶等差数列．‎ ‎ 参考答案及评分标准 ‎ 一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 ‎ A C B D B D C D A C 二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分．)‎ ‎11. ； 12. ； 13. ；‎ ‎14. ； 15. ．‎ 三、解答题(共6小题，共85分．)‎ ‎16．（本题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）①，③．-------------------------------------------------------4分 ‎（Ⅱ）由 得--------------------------6分 ‎ -----------------------8分 ‎ --------------------------9分 ‎ 解法一：‎ 由．----------------14分 ‎ 解法二： ‎ ‎ 解得 或（舍）．-----------------------------------------14分 ‎17．（本题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）证明：连接-------------------------------1分 ‎ 四边形为正方形 ‎ ，------------------------2分 ‎ 底面，‎ ‎ ，------------------------4分 ‎ ‎ ‎ --------------------5分 ‎（Ⅱ）解：，---------------------------------------------------------------6分 ‎ 以为原点、为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系---------7分 ‎ 则,,,,,,--------9分 ‎ 设的一个法向量为 ‎,即--------------------------------10分 令，则------------------------11分 ‎ 由（Ⅰ）知为的法向量------------12分 ‎ --------------------------------13分 ‎ 所以，二面角的大小为．--------------------------14分 ‎18．（本题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）高一年级随机抽取的7名学生中，“体质优秀”的有3人，优秀率为，将此频率视为概率，估 ‎ ‎ 计高一年级“体质优秀”的学生人数为．---------------------3分 ‎（Ⅱ）高一年级抽取的7名学生中“体质良好”的有2人，非“体质良好”的有5人。所以的可能取值 ‎ 为------------------------------------------------------------------------------------5分 ‎ 所以--------8分 所以随机变量的分布列为：‎ ‎ --------------------------------------------------------11分 ‎ （Ⅲ）．--------------------------------------------------------------------------------------------14分 ‎19．（本小题15分）‎ 解：（Ⅰ）的定义域-----------------------------------1分 ‎ -------------------------------------2分 ‎ 又--------------------------------------------------------------3分 所以在点处的切线方程为: ．--------------------4分 ‎（Ⅱ）设，‎ ‎，‎ ‎↑‎ 极大值 ‎ ↓‎ ‎-------------------------------------------------------------7分 ‎ 设，‎ ‎-----------------------------------9分 综上----------------------------------------------------10分 ‎ （Ⅲ）曲线与存在公切线，且有2条，理由如下：---------------------11分 ‎ 由（Ⅱ）知曲线与无公共点，设分别切曲线与于，则 ‎，若，即曲线与有公切线，则 ‎ ‎ 令，则曲线与 有公切线，当且仅当有零点，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 故曲线与存在2条公切线。------------------------------------------15分 另解：曲线与存在公切线，且有2条，理由如下：‎ ‎ 设是曲线与的公切线，切点分别为，则 ‎ ‎ 当 ，‎ 分别做出的图象，如图，图象有二个交点，‎ 有二个根，‎ 故曲线与存在2条公切线。（酌情给分）‎ ‎20．（本题满分14分） ‎ 解：（Ⅰ）依题意可得-----------------------------------2分 ‎ ，得-----------------------4分 ‎ 所以椭圆的方程是．----------------------------------5分 ‎（Ⅱ）解法一： 设，，则，------6分 ‎ 设，则----8分 ‎ ‎ ------------------9分 ‎ ，在椭圆上 ‎ -----------11分 ‎ ‎ ， -------------------------------------------------------12分 ‎ ‎ ------------------------------------------------------13分 ‎ ‎ ，即是直角三角形.--- ---------------------------14分 ‎ 解法二： 设，，则，-------------6分 ‎ 设直线的方程为----------------------------------------------7分 ‎ ‎ 与联立得 -------------9分 ‎ ‎ ------------------------------------------10分 ‎ ‎ ------------11分 ‎ ，-----------------------------------------------------12分 ‎ ‎ ---------------------------------------------------------------------------13分 ‎ ‎ ，即是直角三角形. -----------------------------------------------14分 ‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）　，，，，． ---------------------3分 ‎ （Ⅱ） ‎ ‎ -------------------------------------------------5分 ‎ 又 ‎ ．-------------------------------9分 ‎ （Ⅲ）不是二阶等差数列．理由如下：‎ ‎ 数列满足 ‎ 又 ，（）‎ ‎ 由 ‎ 数列是首项为，公比为4的等比数列 ‎ ‎ ---------------------------------------12分 ‎ ‎ ，显然非常数列 ‎ 不是二阶等差数列．--------------------------------------------------------------14分 ‎ ‎