高考数学专题复习练习第7讲 解三角形应用举例

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高考数学专题复习练习第7讲 解三角形应用举例

第7讲 解三角形应用举例 一、选择题 ‎1.在某次测量中,在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°,且到A的距离为2,C点的俯角为70°,且到A的距离为3,则B、C间的距离为(  )‎ A.           B. C. D. 解析 因∠BAC=120°,AB=2,AC=3.‎ ‎∴BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos ∠BAC ‎=4+9-2×2×3×cos 120°=19.‎ ‎∴BC=.‎ 答案 D ‎2.如图所示,为了测量某障碍物两侧A,B间的距离,给定下列四组数据,不能确定A,B间距离的是(  ).‎ ‎                ‎ A.α,a,b B.α,β,a C.a,b,γ D.α,β,b 解析 选项B中由正弦定理可求b,再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似,故选A.‎ 答案 A ‎3.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是 (  ).‎ A.10海里 B.10海里 C.20海里 D.20海里 解析 如图所示,易知,在△ABC中,AB=‎20海里,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得=,解得BC=10(海里).‎ 答案 A ‎4. 如图,两座相距‎60 m的建筑物AB、CD的高度分别为‎20 m、‎50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 (  ).‎ A.30° B.45° C.60° D.75°‎ 解析 依题意可得AD=20(m),AC=30(m),又CD=50(m),所以在△ACD中,由余弦定理得cos∠CAD====,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.‎ 答案 B ‎5.如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为‎50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A、B两点的距离为(  )‎ A.50 m B.50 m C.25 m D. m 解析 由题意,得B=30°.由正弦定理,得=,‎ ‎∴AB===50(m).‎ 答案 A ‎ ‎6. 如图,在湖面上高为‎10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30°,测得湖中之影的俯角为45°,则云距湖面的高度为(精确到‎0.1 m) (  ).‎ A.‎2.7 m B.‎‎17.3 m C.‎37.3 m D.‎‎373 m 解析 在△ACE中,‎ tan 30°==.∴AE=(m).‎ 在△AED中,tan 45°==,‎ ‎∴AE=(m),∴=,‎ ‎∴CM==10(2+)≈37.3(m).‎ 答案 C 二、填空题 ‎7.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走‎10米到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB的高是________米.‎ 解析 在△BCD中,CD=10,∠BDC=45°,∠BCD=15°+90°=105°,∠DBC=30°,=,BC==10.在Rt△ABC中,tan 60°=,AB=BCtan 60°=10(米).‎ 答案 10 ‎8.如图,在日本地震灾区的搜救现场,一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象,然后向右转105°,进行‎10 m到达C处发现另一生命迹象,这时它向右转135°后继续前行回到出发点,那么x=________.‎ 解析 由题知,∠CBA=75°,∠BCA=45°,∴∠BAC=180°-75°-45°=60°,∴=.‎ ‎∴x= m.‎ 答案  m ‎9. 在‎2012年7月12日伦敦奥运会上举行升旗仪式.如图,在坡度为15°的观礼台上,某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面,在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°,且座位A,B的距离为‎10‎米,则旗杆的高度为________米.‎ 解析 由题可知∠BAN=105°,∠BNA=30°,由正弦定理得=,解得AN=20(米),在Rt△AMN中,MN=20 sin 60°=30(米).故旗杆的高度为‎30米.‎ 答案 30‎ ‎10. 如图,一船在海上自西向东航行,在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角,前进m海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角,已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁,现该船继续东行,当α与β满足条件________时,该船没有触礁危险.‎ 解析 由题可知,在△ABM中,根据正弦定理得=,解得BM=,要使该船没有触礁危险需满足BMsin(90°-β)= ‎>n,所以当α与β的关系满足mcos αcos β>nsin(α-β)时,该船没有触礁危险.‎ 答案 mcos αcos β>nsin(α-β)‎ 三、解答题 ‎11.如图所示,甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行,速度为15 n mile/h,在甲船从A岛出发的同时,乙船从A岛正南40 n mile处的B岛出发,朝北偏东θ的方向作匀速直线航行,速度为m n mile/h.‎ ‎(1)若两船能相遇,求m.‎ ‎(2)当m=10时,求两船出发后多长时间距离最近,最近距离为多少n mile?‎ 解 (1)设t小时后,两船在M处相遇,‎ 由tanθ=,得sinθ=,cosθ=,‎ 所以sin∠AMB=sin(45°-θ)=.‎ 由正弦定理,=,∴AM=40,‎ 同理得BM=40.‎ ‎∴t==,m==15.‎ ‎(2)以A为原点,BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设在t 时刻甲、乙两船分别在P(x1,y1),Q(x2,y2)处,则|AP|=15t,|BQ|=10t.‎ 由任意角三角函数的定义,可得 即点P的坐标是(15t,15t),‎ 即点Q的坐标是(10t,20t-40),‎ ‎∴|PQ|== ‎=≥20,‎ 当且仅当t=4时,|PQ|取得最小值20,即两船出发4小时时,距离最近,最近距离为20 n mile.‎ ‎12.如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,求cos θ的值.‎ 解 如题图所示,在△ABC中,AB=40海里,AC=20海里,∠BAC=120°,由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2 800,故BC=20(海里).‎ 由正弦定理得=,‎ 所以sin∠ACB=sin∠BAC=.‎ 由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,则cos∠ACB=.‎ 易知θ=∠ACB+30°,故cos θ=cos(∠ACB+30°)‎ ‎=cos∠ACBcos 30°-sin∠ACBsin 30°‎ ‎=.‎ ‎13.如图,某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A,B之间的距离,她在西江南岸找到一个点C,从C点可以观察到点A,B;找到一个点D,从D点可以观察到点A,C;找到一个点E,从E点可以观察到点B,C;并测量得到数据:∠ACD=90°,∠ADC=60°,∠ACB=15°,∠BCE=105°,∠CEB=45°,DC=CE=‎1百米.‎ ‎(1)求△CDE的面积;‎ ‎(2)求A,B之间的距离.‎ 解 (1)在△CDE中,∠DCE=360°-90°-15°-105°=150°,S△CDE=DC·CE·sin 150°=×sin 30°=×=(平方百米).‎ ‎(2)连接AB,依题意知,在Rt△ACD中,‎ AC=DC·tan∠ADC=1×tan 60°=(百米),‎ 在△BCE中,∠CBE=180°-∠BCE-∠CEB=180°-105°-45°=30°,‎ 由正弦定理=,得 BC=·sin∠CEB=×sin 45°=(百米).‎ ‎∵cos 15°=cos(60°-45°)=cos 60°cos 45°+sin 60°sin 45°‎ ‎=×+×=,‎ 在△ABC中,由余弦定理AB2=AC2+BC2-‎2AC·BC·cos∠ACB,‎ 可得AB2=()2+()2-2××=2-,‎ ‎∴AB=百米.‎ ‎14.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.‎ ‎(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?‎ ‎(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇.‎ 解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S海里,则 S= ‎== .‎ 故当t=时,Smin=10(海里),‎ 此时v==30(海里/时).‎ 即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.‎ ‎(2)设小艇与轮船在B处相遇,则v2t2=400+900t2-2·20·30t·cos(90°-30°),‎ 故v2=900-+,∵0<v≤30,‎ ‎∴900-+≤900,即-≤0,解得t≥.‎ 又t=时,v=‎30海里/时.‎ 故v=‎30海里/时时,t取得最小值,且最小值等于.‎ 此时,在△OAB中,有OA=OB=AB=‎20海里,故可设计航行方案如下:‎ 航行方向为北偏东30°,航行速度为‎30海里/时,小艇能以最短时间与轮船相遇.‎
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