高考数学专题复习练习第7讲 解三角形应用举例

高考数学专题复习练习第7讲 解三角形应用举例

第7讲 解三角形应用举例 一、选择题 ‎1．在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B、C间的距离为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析 因∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3.‎ ‎∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos ∠BAC ‎＝4＋9－2×2×3×cos 120°＝19.‎ ‎∴BC＝.‎ 答案 D ‎2．如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A，B间距离的是(　　)．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．α，a，b B．α，β，a C．a，b，γ D．α，β，b 解析　选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似，故选A.‎ 答案　A ‎3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是 (　　)．‎ A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 解析　如图所示，易知，在△ABC中，AB＝‎20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．‎ 答案　A ‎4. 如图，两座相距‎60 m的建筑物AB、CD的高度分别为‎20 m、‎50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 (　　)．‎ A．30° B．45° C．60° D．75°‎ 解析　依题意可得AD＝20(m)，AC＝30(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.‎ 答案　B ‎5．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为‎50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为(　　)‎ A．50 m B．50 m C．25 m D. m 解析 由题意，得B＝30°.由正弦定理，得＝，‎ ‎∴AB＝＝＝50(m)．‎ 答案 A ‎ ‎6. 如图，在湖面上高为‎10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到‎0.1 m) (　　)．‎ A．‎2.7 m B．‎‎17.3 m C．‎37.3 m D．‎‎373 m 解析　在△ACE中，‎ tan 30°＝＝.∴AE＝(m)．‎ 在△AED中，tan 45°＝＝，‎ ‎∴AE＝(m)，∴＝，‎ ‎∴CM＝＝10(2＋)≈37.3(m)．‎ 答案　C 二、填空题 ‎7．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走‎10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．‎ 解析　在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，＝，BC＝＝10.在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BCtan 60°＝10(米)．‎ 答案　10 ‎8．如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，进行‎10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________.‎ 解析　由题知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴＝.‎ ‎∴x＝ m.‎ 答案　 m ‎9. 在‎2012年7月12日伦敦奥运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A，B的距离为‎10‎米，则旗杆的高度为________米．‎ 解析　由题可知∠BAN＝105°，∠BNA＝30°，由正弦定理得＝，解得AN＝20(米)，在Rt△AMN中，MN＝20 sin 60°＝30(米)．故旗杆的高度为‎30米．‎ 答案　30‎ ‎10. 如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．‎ 解析　由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得＝，解得BM＝，要使该船没有触礁危险需满足BMsin(90°－β)＝ ‎＞n，所以当α与β的关系满足mcos αcos β＞nsin(α－β)时，该船没有触礁危险．‎ 答案　mcos αcos β＞nsin(α－β)‎ 三、解答题 ‎11．如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15 n mile/h，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40 n mile处的B岛出发，朝北偏东θ的方向作匀速直线航行，速度为m n mile/h.‎ ‎(1)若两船能相遇，求m.‎ ‎(2)当m＝10时，求两船出发后多长时间距离最近，最近距离为多少n mile?‎ 解 (1)设t小时后，两船在M处相遇，‎ 由tanθ＝，得sinθ＝，cosθ＝，‎ 所以sin∠AMB＝sin(45°－θ)＝.‎ 由正弦定理，＝，∴AM＝40，‎ 同理得BM＝40.‎ ‎∴t＝＝，m＝＝15.‎ ‎(2)以A为原点，BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设在t 时刻甲、乙两船分别在P(x1，y1)，Q(x2，y2)处，则|AP|＝15t，|BQ|＝10t.‎ 由任意角三角函数的定义，可得 即点P的坐标是(15t,15t)，‎ 即点Q的坐标是(10t,20t－40)，‎ ‎∴|PQ|＝＝ ‎＝≥20，‎ 当且仅当t＝4时，|PQ|取得最小值20，即两船出发4小时时，距离最近，最近距离为20 n mile.‎ ‎12．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值．‎ 解　如题图所示，在△ABC中，AB＝40海里，AC＝20海里，∠BAC＝120°，由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，故BC＝20(海里)．‎ 由正弦定理得＝，‎ 所以sin∠ACB＝sin∠BAC＝.‎ 由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.‎ 易知θ＝∠ACB＋30°，故cos θ＝cos(∠ACB＋30°)‎ ‎＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°‎ ‎＝.‎ ‎13．如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝15°，∠BCE＝105°，∠CEB＝45°，DC＝CE＝‎1百米．‎ ‎(1)求△CDE的面积；‎ ‎(2)求A，B之间的距离．‎ 解　(1)在△CDE中，∠DCE＝360°－90°－15°－105°＝150°，S△CDE＝DC·CE·sin 150°＝×sin 30°＝×＝(平方百米)．‎ ‎(2)连接AB，依题意知，在Rt△ACD中，‎ AC＝DC·tan∠ADC＝1×tan 60°＝(百米)，‎ 在△BCE中，∠CBE＝180°－∠BCE－∠CEB＝180°－105°－45°＝30°，‎ 由正弦定理＝，得 BC＝·sin∠CEB＝×sin 45°＝(百米)．‎ ‎∵cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°‎ ‎＝×＋×＝，‎ 在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－‎2AC·BC·cos∠ACB，‎ 可得AB2＝()2＋()2－2××＝2－，‎ ‎∴AB＝百米．‎ ‎14．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．‎ ‎(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？‎ ‎(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇．‎ 解　(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则 S＝ ‎＝＝ .‎ 故当t＝时，Smin＝10(海里)，‎ 此时v＝＝30(海里/时)．‎ 即小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．‎ ‎(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，‎ 故v2＝900－＋，∵0＜v≤30，‎ ‎∴900－＋≤900，即－≤0，解得t≥.‎ 又t＝时，v＝‎30海里/时．‎ 故v＝‎30海里/时时，t取得最小值，且最小值等于.‎ 此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝‎20海里，故可设计航行方案如下：‎ 航行方向为北偏东30°，航行速度为‎30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇.‎