高考数学专题复习练习：第四章 4_5 第2课时简单的三角恒等变换
第2课时 简单的三角恒等变换
题型一 三角函数式的化简
例1 (1)化简：＝ .
(2)已知cos＝，θ∈，则sin＝ .
答案 (1)cos 2x (2)
解析 (1)原式＝
＝
＝
＝＝cos 2x.
(2)由题意可得，cos2＝＝，cos＝－sin 2θ＝－，即sin 2θ＝.
因为cos＝>0，θ∈，
所以0<θ<，2θ∈，
根据同角三角函数基本关系式可得cos 2θ＝，
由两角差的正弦公式可得
sin＝sin 2θcos －cos 2θsin ＝.
思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)
，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．
(1)已知cos(x－)＝－，则cos x＋cos(x－)＝ .
(2)若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为( )
A. B．－
C. D．－
答案 (1)－1 (2)D
解析 (1)cos x＋cos(x－)
＝cos x＋cos x＋sin x
＝cos x＋sin x＝cos(x－)
＝×(－)＝－1.
(2)cos 2α＝sin
＝sin
＝2sincos
代入原式，得
6sincos＝sin，
∵α∈，∴cos＝，
∴sin 2α＝cos
＝2cos2－1＝－.
题型二 三角函数的求值
命题点1 给值求值问题
例2 (1)(2017·合肥联考)已知α，β为锐角，cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝ .
答案
解析 ∵α为锐角，
∴sin α＝＝.
∵α，β∈(0，)，∴0<α＋β<π.
又∵sin(α＋β)
，
∴cos(α＋β)＝－.
cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝＝.
(2)(2015·广东)已知tan α＝2.
①求tan(α＋)的值；
②求的值．
解 ①tan(α＋)＝＝＝－3.
②
＝
＝＝＝1.
命题点2 给值求角问题
例3 (1)设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为( )
A. B.
C. D.或
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为 ．
答案 (1)C (2)－
解析 (1)∵α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，
∴cos α＝－，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝>0.
又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈(，2π)，
∴α＋β＝.
(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝
＝＝>0，
∴0<α<.
又∵tan 2α＝＝＝>0，
∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝
＝＝1.
∵tan β＝－<0，
∴<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－.
引申探究
本例(1)中，若α，β为锐角，sin α＝，cos β＝，则α＋β＝ .
答案
解析 ∵α，β为锐角，∴cos α＝，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝.
又0<α＋β<π，∴α＋β＝.
思维升华 (1)给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法；
(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．
(1)已知α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则＝ .
(2)(2016·成都检测)若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α＋β的值是( )
A. B.
C.或 D.
答案 (1) (2)A
解析 (1)∵α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，
∴2sin α＝3cos α，
又sin2α＋cos2α＝1，
∴cos α＝，sin α＝，
∴
＝＝.
(2)因为α∈[，π]，sin 2α＝>0，
所以2α∈[，π]，
所以cos 2α＝－且α∈[，]，
又因为sin(β－α)＝>0，β∈[π，]，
所以β－α∈[，π]，
所以cos(β－α)＝－，
因此sin(α＋β)＝sin[(β－α)＋2α]
＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α
＝×(－)＋(－)×
＝－，
cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]
＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α
＝(－)×(－)－×＝，
又α＋β∈[，2π]，所以α＋β＝，故选A.
题型三 三角恒等变换的应用
例4 (2016·天津)已知函数f(x)＝4tan xsin·cos－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
解 (1)f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}．
f(x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)令z＝2x－，则函数y＝2sin z的单调递增区间是
，k∈Z.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
设A＝，B＝{x|－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z}，易知A∩B＝.
所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
思维升华 三角恒等变换的应用策略
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
(2)把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．
(1)函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为 ．
(2)函数f(x)＝sin(2x－)－2sin2x的最小正周期是 ．
答案 (1)1 (2)π
解析 (1)因为f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x
＝sin xcos φ－cos xsin φ＝sin(x－φ)，
－1≤sin(x－φ)≤1，所以f(x)的最大值为1.
(2)f(x)＝sin 2x－cos 2x－(1－cos 2x)
＝sin 2x＋cos 2x－＝sin(2x＋)－，
∴T＝＝π.
9．化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用
典例 (12分)(2015·重庆)已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)讨论f(x)在上的单调性．
思想方法指导 (1)讨论形如y＝asin ωx＋bcos ωx型函数的性质，一律化成y＝sin(ωx＋φ)型的函数．
(2)研究y＝Asin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，换元后结合y＝sin x的图象解决．
规范解答
解 (1)f(x)＝sinsin x－cos2x
＝cos xsin x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin－，[4分]
因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.[6分]
(2)当x∈时，0≤2x－≤π，[7分]
从而当0≤2x－≤，
即≤x≤时，f(x)单调递增，[9分]
当≤2x－≤π，
即≤x≤时，f(x)单调递减．[11分]
综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减．[12分]
1．(2016·青岛模拟)设tan(α－)＝，则tan(α＋)等于( )
A．－2 B．2 C．－4 D．4
答案 C
解析 因为tan(α－)＝＝，
所以tan α＝，故tan(α＋)＝＝－4，故选C.
2．(2016·全国甲卷)若cos＝，则sin 2α等于( )
A. B. C．－ D．－
答案 D
解析 因为sin 2α＝cos＝2cos2－1，又因为cos＝，所以sin 2α＝2×－1＝－，故选D.
3．(2016·福州模拟)已知tan α＝3，则的值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．6
答案 D
解析 ＝＝2tan α＝2×3＝6.
4．已知tan(α＋)＝，且－<α<0，则等于( )
A．－ B．－
C．－ D.
答案 A
解析 由tan(α＋)＝＝，得tan α＝－.
又－<α<0，所以sin α＝－.
故＝＝2sin α
＝－.
5．设α∈(0，)，β∈(0，)，且tan α＝，则( )
A．3α－β＝ B．2α－β＝
C．3α＋β＝ D．2α＋β＝
答案 B
解析 由tan α＝，得＝，
即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，
∴sin(α－β)＝cos α＝sin(－α)．
∵α∈(0，)，β∈(0，)，
∴α－β∈(－，)，－α∈(0，)，
由sin(α－β)＝sin(－α)，得α－β＝－α，
∴2α－β＝.
6．函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)的图象关于点对称，则f(x)的单调递增区间为( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案 C
解析 ∵f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)
＝2sin，
由题意知2×＋θ＋＝kπ(k∈Z)，
∴θ＝kπ－π(k∈Z)．
∵|θ|＜，∴θ＝.
∴f(x)＝2sin.
由2kπ－≤2x＋π≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－π≤x≤kπ－(k∈Z)．故选C.
7．若f(x)＝2tan x－，则f的值为 ．
答案 8
解析 ∵f(x)＝2tan x＋
＝2tan x＋＝＝，
∴f＝＝8.
8．若锐角α、β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，则α＋β＝ .
答案
解析 由(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，
可得＝，即tan(α＋β)＝.
又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
9．化简：＝ .
答案 －4
解析 原式＝
＝＝
＝＝＝－4.
10．函数f(x)＝sin x－2sin2x (≤x≤)的最小值是 ．
答案 －1
解析 f(x)＝sin x－(1－cos x)
＝2sin(x＋)－1，
又≤x≤，∴≤x＋≤π，
∴f(x)min＝2sin π－1＝－1.
11．已知函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x，x∈R.
(1)求f()的值；
(2)若sin α＝，且α∈(，π)，求f(＋)．
解 (1)f()＝cos2＋sincos
＝()2＋×＝.
(2)因为f(x)＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x
＝＋(sin 2x＋cos 2x)＝＋sin(2x＋)，
所以f(＋)＝＋sin(α＋＋)
＝＋sin(α＋)＝＋(sin α＋cos α)．
又因为sin α＝，且α∈(，π)，
所以cos α＝－，
所以f(＋)＝＋(×－×)
＝.
12．(2015·安徽)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解 (1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝sin＋1，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.
当x∈时，2x＋∈，
由正弦函数y＝sin x在上的图象知，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值＋1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0.
综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.
*13.已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋2cos ωxsin ωx(0＜ω＜1)，直线x＝是f(x)图象的一条对称轴．
(1)求ω的值；
(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求sin α的值．
解 (1)f(x)＝2cos2ωx－1＋2cos ωxsin ωx
＝cos 2ωx＋sin 2ωx
＝2sin.
由于直线x＝是函数f(x)＝2sin图象的一条对称轴，
∴sin＝±1.
∴ω＋＝kπ＋(k∈Z)，
∴ω＝k＋(k∈Z)．
又0＜ω＜1，∴－＜k＜.
又∵k∈Z，从而k＝0，∴ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝2sin，
由题意可得
g(x)＝2sin，
即g(x)＝2cos x.
∵g＝2cos＝，
∴cos＝.
又α∈，
∴＜α＋＜，
∴sin＝.
∴sin α＝sin
＝sincos －cossin
＝×－×＝.
