高考数学专题复习练习:4-9 专项基础训练

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高考数学专题复习练习:4-9 专项基础训练

‎ 1.(2016·山东卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tan B)=+.‎ ‎(1)证明:a+b=2c;‎ ‎(2)求cos C的最小值.‎ ‎【解析】 (1)证明 由题意知2=+,化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B,‎ 即2sin(A+B)=sin A+sin B,‎ 因为A+B+C=π,‎ 所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.‎ 从而sin A+sin B=2sin C.‎ 由正弦定理得a+b=2c.‎ ‎(2)由(1)知c=,‎ 所以cos C== ‎=-≥,‎ 当且仅当a=b时,等号成立.‎ 故cos C的最小值为.‎ ‎2.(2016·邵阳模拟)如图,在△ABC中,D为AB边上一点,DA=DC,已知B=,BC=1.‎ ‎(1)若△ABC是锐角三角形,DC=,求角A的大小;‎ ‎(2)若△BCD的面积为,求边AB的长.‎ ‎【解析】 (1)在△BCD中,B=,BC=1,DC=,‎ 由正弦定理得,=,‎ 解得sin∠BDC==,‎ 则∠BDC=或.‎ 由△ABC是锐角三角形,可得∠BDC=.‎ 又由DA=DC,得A=.‎ ‎(2)由于B=,BC=1,△BCD的面积为,‎ 则·BC·BD·sin=,解得BD=.‎ 由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos=1+-2××=,故CD=,‎ 则AB=AD+BD=CD+BD=,‎ 故边AB的长为.‎ ‎3.(2016·郑州模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知+=,且b=,a>c.‎ ‎(1)求ac的值;‎ ‎(2)若△ABC的面积S=,求a,c的值.‎ ‎【解析】 (1)因为+= ‎==,‎ 所以=,‎ 即sin2B=sin Asin C.‎ 由正弦定理可得b2=ac,又b=,所以ac=2.‎ ‎(2)S=acsin B=sin B=,‎ 又ac=2且a>c,‎ 所以a2>ac=2,即a>,又b=,‎ 所以A>B,故角B一定为锐角,因此cos B==.‎ 由余弦定理可知cos B==,‎ 所以a2+c2=5,‎ 由ac=2且a>c,解得a=2,c=1.‎ ‎4.(2016·天津卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=bsin A.‎ ‎(1)求B;‎ ‎(2)若cos A=,求sin C的值.‎ ‎【解析】 (1)在△ABC中,由=,‎ 可得asin B=bsin A,‎ 又由asin 2B=bsin A,得 ‎2asin Bcos B=bsin A=asin B,‎ 所以cos B=,得B=.‎ ‎(2)由cos A=,可得sin A=,则 sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin ‎=sin A+cos A=.‎ ‎5.(2016·淄博模拟)已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin=2cos A.‎ ‎(1)若cos C=,求证:2a-3c=0;‎ ‎(2)若B∈,且cos(A-B)=,求sin B的值.‎ ‎【解析】 由sin=2cos A,得sin A+cos A=2cos A,‎ 即sin A=cos A.‎ 因为A∈(0,π),且cos A≠0,‎ 所以tan A=,所以A=.‎ ‎(1)证明 因为sin2C+cos2C=1,cos C=,C∈(0,π),‎ 所以sin C=,‎ 由正弦定理知=,即===,‎ 即2a-3c=0.‎ ‎(2)因为B∈,所以A-B=-B∈,‎ 因为sin2(A-B)+cos2(A-B)=1,所以sin(A-B)=,所以sin B=sin[A-(A-B)]‎ ‎=sin Acos(A-B)-cos Asin(A-B)=.‎ ‎6.(2016·四川)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.‎ ‎(1)证明:sin Asin B=sin C;‎ ‎(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.‎ ‎【解析】 (1)证明 根据正弦定理,可设===k(k>0).‎ 则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.‎ 代入+=中,有+=,变形可得 sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).‎ 在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,‎ 所以sin Asin B=sin C.‎ ‎(2)由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有 cos A==.‎ 所以sin A==.‎ 由(1),sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,‎ 所以sin B=cos B+sin B,‎ 故tan B==4.‎
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