2019年高考数学总复习检测第56讲 圆的方程

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2019年高考数学总复习检测第56讲 圆的方程

第56讲 圆的方程 ‎1.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的方程是(A)‎ A.(x-2)2+(y+3)2=5 B.(x-2)2+(y-3)2=5‎ C.(x+2)2+(y-3)2=5 D.(x+2)2+(y+3)2=5‎ ‎ 线段AB的垂直平分线为y=-3,‎ 由解得 所以圆C的方程是(x-2)2+(y+3)2=5.‎ ‎2.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是(A)‎ A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4‎ C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1‎ ‎ 设圆上任一点为A(x1,y1),则x+y=4,PA连线中点的坐标为(x,y),‎ 则即 代入x+y=4,得(x-2)2+(y+1)2=1.‎ ‎3.圆(x-1)2+y2=2关于直线x-y+1=0对称的圆的方程是(C)‎ A.(x+1)2+(y-2)2= B.(x-1)2+(y+2)2= C.(x+1)2+(y-2)2=2 D.(x-1)2+(y+2)2=2‎ ‎ 圆心(1,0)关于直线x-y+1=0的对称点是(-1,2),‎ 所以圆的方程是(x+1)2+(y-2)2=2.‎ ‎4.(2017·湖南长沙二模)圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2距离的最大值是(A)‎ A.1+ B.2‎ C.1+ D.2+2 ‎ 将圆的方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为(1,1),半径为1.‎ 则圆心到直线x-y=2的距离d==,‎ 故圆上的点到直线x-y=2的最大值为d+1=+1.‎ ‎5.(2016·浙江卷)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 (-2,-4) ,半径是 5 .‎ ‎ 由二元二次方程表示圆的条件可得a2=a+2,‎ 解得a=2或-1.‎ 当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+=0,配方得(x+)2+(y+1)2=-<0,不表示圆;‎ 当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,则圆心坐标为(-2,-4),半径是5.‎ ‎6.若直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆: x2+y2-4x-2y-8=0的周长,则+的最小值为 3+2 .‎ ‎ 由条件知直线过圆心(2,1),‎ 所以2a+2b-2=0,即a+b=1.‎ 所以+=(+)·(a+b)=3++≥3+2.‎ 当且仅当=,即a=-1,b=2-时,等号成立.‎ 所以+的最小值为3+2.‎ ‎7.(2016·广东佛山六校联考)圆C过不同的三点P(k,0),Q(2,0),R(0,1),已知圆C在点P处的切线斜率为1,求圆C的方程.‎ ‎ 设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.‎ 则k,2为x2+Dx+F=0的两根,‎ 所以k+2=-D,2k=F,即D=-(k+2),F=2k,‎ 又圆C过R(0,1),故1+E+F=0,所以E=-2k-1.‎ 故所求圆方程为x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0,‎ 圆心坐标为(,).‎ 因为圆C在P处的切线斜率为1,‎ 所以kCP=-1=,所以k=-3.‎ 所以D=1,E=5,F=-6.‎ 所以圆的方程为x2+y2+x+5y-6=0.‎ ‎8.过点P(1,1)的直线将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分成两部分,使这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为(A)‎ A.x+y-2=0 B.y-1=0‎ C.x-y=0 D.x+3y-4=0‎ ‎ 当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时,符合题意.‎ 因为圆心O与P的连线的斜率为1,‎ 所以过点P垂直于OP的直线方程为x+y-2=0.‎ ‎9.(2017·天津卷)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为 (x+1)2+(y-)2=1 .‎ ‎   由y2=4x可得点F的坐标为(1,0),准线l的方程为x=-1.‎ 由圆心C在l上,且圆C与y轴正半轴相切(如图),‎ 可得点C的横坐标为-1,圆的半径为1,∠CAO=90°.‎ 又因为∠FAC=120°,‎ 所以∠OAF=30°,所以|OA|=,‎ 所以点C的纵坐标为.‎ 所以圆的方程为(x+1)2+(y-)2=1.‎ ‎10.已知点P(x,y)在圆C:x2+y2-6x-6y+14=0上.‎ ‎(1)求的最大值和最小值;‎ ‎(2)求x2+y2+2x+3的最大值与最小值.‎ ‎ (1)圆C:x2+y2-6x-6y+14=0整理得(x-3)2+(y-3)2=4.‎ 所以圆心C(3,3),半径r=2.‎ 设k=,即kx-y=0(x≠0),‎ 则圆心到直线的距离d≤r,即≤2,‎ 整理得5k2-18k+5≤0,解得≤k≤.‎ 故的最大值为,最小值为.‎ ‎(2)x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2,表示点P(x,y)到点A(-1,0)的距离的平方加上2,‎ 连接AC,交圆C于点B,延长AC,交圆C于D,则圆C上的点到A的距离中,AB最短,为|AC|-r=-2=3;‎ AD最长,为|AC|+r=7,‎ 故x2+y2+2x+3的最大值为72+2=51,最小值为32+2=11.‎
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