高一数学同步练习：函数的基本性质 习题课
必修一 1.3函数的基本性质 习题课
一、选择题
1、若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)<0的解集是( )
A．(－1,0) B．(－∞，0)∪(1,2)
C．(1,2) D．(0,2)
2、如果奇函数f(x)在区间[1,5]上是减函数，且最小值为3，那么f(x)在区间[－5，－1]上是( )
A．增函数且最小值为3 B．增函数且最大值为3
C．减函数且最小值为－3 D．减函数且最大值为－3
3、用min{a，b}表示a，b两数中的最小值，若函数f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x＝－对称，则t的值为( )
A．－2 B．2 C．－1 D．1
4、定义两种运算：a⊕b＝ab，a⊗b＝a2＋b2，则函数f(x)＝为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数
D．既是奇函数也是偶函数
5、下列判断：
①如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，那么这个函数为偶函数；
②对于定义域为实数集R的任何奇函数f(x)都有f(x)·f(－x)≤0；
③解析式中含自变量的偶次幂而不含常数项的函数必是偶函数；
④既是奇函数又是偶函数的函数存在且唯一．
其中正确的序号为( )
A．②③④ B．①③ C．② D．④
6、设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，已知x1>0，x2<0，且f(x1)
0
C．f(－x1)>f(－x2) D．f(－x1)·f(－x2)<0
二、填空题
7、函数f(x)＝x2＋2x＋a，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是________．
8、已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＋f(0)＝________.
9、若函数f(x)＝－为区间[－1,1]上的奇函数，则它在这一区间上的最大值为____．
三、解答题
10、如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，设CD＝2x，梯形ABCD的周长为y.
(1)求出y关于x的函数f(x)的解析式；
(2)求y的最大值，并指出相应的x值．
11、设函数f(x)＝1－，x∈[0，＋∞)
(1)用单调性的定义证明f(x)在定义域上是增函数；
(2)设g(x)＝f(1＋x)－f(x)，判断g(x)在[0，＋∞)上的单调性(不用证明)，并由此说明f(x)的增长是越来越快还是越来越慢？
12、已知f(x)＝，x∈(0，＋∞)．
(1)若b≥1，求证：函数f(x)在(0,1)上是减函数；
(2)是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下列两个条件：
①在(0,1)上是减函数，(1，＋∞)上是增函数；②f(x)的最小值是3.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
13、已知奇函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝0.
(1)求证：函数f(x)在(－∞，0)上是增函数；
(2)解关于x的不等式f(x)<0.
以下是答案
一、选择题
1、D [依题意，因为f(x)是偶函数，所以f(x－1)<0化为f(|x－1|)<0，又x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，所以|x－1|－1<0，
即|x－1|<1，解得00时f(x)的图象如图所示(实线)
对称轴为x＝－，则＝，∴t＝1.]
4、A [f(x)＝，f(－x)＝－f(x)，选A.]
5、C [判断①，一个函数的定义域关于坐标原点对称，是这个函数具有奇偶性的前提条件，但并非充分条件，故①错误．
判断②正确，由函数是奇函数，知f(－x)＝－f(x)，特别地当x＝0时，f(0)＝0，所以f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0.
判断③，如f(x)＝x2，x∈[0,1]，定义域不关于坐标原点对称，即存在1∈[0,1]，而－1 [0,1]；又如f(x)＝x2＋x，x∈[－1,1]，有f(x)≠f(－x)．故③错误．
判断④，由于f(x)＝0，x∈[－a，a]，根据确定一个函数的两要素知，a取不同的实数时，得到不同的函数．故④错误．
综上可知，选C.]
6、B [由已知得f(x1)＝f(－x1)，且－x1<0，x2<0，而函数f(x)在(－∞，0)上是增函数，因此由f(x1)0.故选B.]
二、填空题
7、a>－3
解析 ∵f(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1，
∴[1，＋∞)为f(x)的增区间，
要使f(x)在[1，＋∞)上恒有f(x)>0，则f(1)>0，
即3＋a>0，∴a>－3.
8、－1
解析 ∵f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0，
且f(2)＝22－3＝1.
∴f(－2)＝－f(2)＝－1，
∴f(－2)＋f(0)＝－1.
9、1
解析 f(x)为[－1,1]上的奇函数，且在x＝0处有定义，
所以f(0)＝0，故a＝0.
又f(－1)＝－f(1)，所以－＝，
故b＝0，于是f(x)＝－x.
函数f(x)＝－x在区间[－1,1]上为减函数，
当x取区间左端点的值时，函数取得最大值1.
三、解答题
10、解 (1)作OH，DN分别垂直DC，AB交于H，N，
连结OD.
由圆的性质，H是中点，设OH＝h，
h＝＝.
又在直角△AND中，AD＝
＝＝＝2，
所以y＝f(x)＝AB＋2AD＋DC＝4＋2x＋4，其定义域是(0,2)．
(2)令t＝，则t∈(0，)，且x＝2－t2，
所以y＝4＋2·(2－t2)＋4t＝－2(t－1)2＋10，
当t＝1，即x＝1时，y的最大值是10.
11、(1)证明 设x1>x2≥0，f(x1)－f(x2)＝(1－)－(1－)＝.
由x1>x2≥0⇒x1－x2>0，(x1＋1)(x2＋1)>0，
得f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以f(x)在定义域上是增函数．
(2)解 g(x)＝f(x＋1)－f(x)＝，
g(x)在[0，＋∞)上是减函数，自变量每增加1，f(x)的增加值越来越小，所以f(x)的增长是越来越慢．
12、(1)证明 设00，x1－x2<0.
又b>1，且00，
∴f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在(0,1)上是减函数．
(2)解 设0－x2>0.
∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(－x1)>f(－x2)．
∵f(x)是奇函数，
∴f(－x1)＝－f(x1)，f(－x2)＝－f(x2)，
∴－f(x1)>－f(x2)，即f(x1)0，则f(x)
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