高一数学同步练习:函数的基本性质 习题课

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高一数学同步练习:函数的基本性质 习题课

必修一 1.3函数的基本性质 习题课 一、选择题 ‎1、若f(x)是偶函数,且当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则f(x-1)<0的解集是(  )‎ A.(-1,0) B.(-∞,0)∪(1,2)‎ C.(1,2) D.(0,2)‎ ‎2、如果奇函数f(x)在区间[1,5]上是减函数,且最小值为3,那么f(x)在区间[-5,-1]上是(  )‎ A.增函数且最小值为3 B.增函数且最大值为3‎ C.减函数且最小值为-3 D.减函数且最大值为-3‎ ‎3、用min{a,b}表示a,b两数中的最小值,若函数f(x)=min{|x|,|x+t|}的图象关于直线x=-对称,则t的值为(  )‎ A.-2 B.‎2 ‎‎ C.-1 D.1‎ ‎4、定义两种运算:a⊕b=ab,a⊗b=a2+b2,则函数f(x)=为(  )‎ A.奇函数 B.偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数也是偶函数 ‎5、下列判断:‎ ‎①如果一个函数的定义域关于坐标原点对称,那么这个函数为偶函数;‎ ‎②对于定义域为实数集R的任何奇函数f(x)都有f(x)·f(-x)≤0;‎ ‎③解析式中含自变量的偶次幂而不含常数项的函数必是偶函数;‎ ‎④既是奇函数又是偶函数的函数存在且唯一.‎ 其中正确的序号为(  )‎ A.②③④ B.①③ C.② D.④‎ ‎6、设f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,已知x1>0,x2<0,且f(x1)0‎ C.f(-x1)>f(-x2) D.f(-x1)·f(-x2)<0‎ 二、填空题 ‎7、函数f(x)=x2+2x+a,若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是________.‎ ‎8、已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-3,则f(-2)+f(0)=________.‎ ‎9、若函数f(x)=-为区间[-1,1]上的奇函数,则它在这一区间上的最大值为____.‎ 三、解答题 ‎10、如图,有一块半径为2的半圆形纸片,计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状,它的下底AB是⊙O的直径,上底CD的端点在圆周上,设CD=2x,梯形ABCD的周长为y.‎ ‎(1)求出y关于x的函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)求y的最大值,并指出相应的x值.‎ ‎11、设函数f(x)=1-,x∈[0,+∞)‎ ‎(1)用单调性的定义证明f(x)在定义域上是增函数;‎ ‎(2)设g(x)=f(1+x)-f(x),判断g(x)在[0,+∞)上的单调性(不用证明),并由此说明f(x)的增长是越来越快还是越来越慢?‎ ‎12、已知f(x)=,x∈(0,+∞).‎ ‎(1)若b≥1,求证:函数f(x)在(0,1)上是减函数;‎ ‎(2)是否存在实数a,b,使f(x)同时满足下列两个条件:‎ ‎①在(0,1)上是减函数,(1,+∞)上是增函数;②f(x)的最小值是3.若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎13、已知奇函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(x)在(0,+∞)上是增函数,f(1)=0.‎ ‎(1)求证:函数f(x)在(-∞,0)上是增函数;‎ ‎(2)解关于x的不等式f(x)<0.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、D [依题意,因为f(x)是偶函数,所以f(x-1)<0化为f(|x-1|)<0,又x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,所以|x-1|-1<0,‎ 即|x-1|<1,解得00时f(x)的图象如图所示(实线)‎ 对称轴为x=-,则=,∴t=1.]‎ ‎4、A [f(x)=,f(-x)=-f(x),选A.]‎ ‎5、C [判断①,一个函数的定义域关于坐标原点对称,是这个函数具有奇偶性的前提条件,但并非充分条件,故①错误.‎ 判断②正确,由函数是奇函数,知f(-x)=-f(x),特别地当x=0时,f(0)=0,所以f(x)·f(-x)=-[f(x)]2≤0.‎ 判断③,如f(x)=x2,x∈[0,1],定义域不关于坐标原点对称,即存在1∈[0,1],而-1 [0,1];又如f(x)=x2+x,x∈[-1,1],有f(x)≠f(-x).故③错误.‎ 判断④,由于f(x)=0,x∈[-a,a],根据确定一个函数的两要素知,a取不同的实数时,得到不同的函数.故④错误.‎ 综上可知,选C.]‎ ‎6、B [由已知得f(x1)=f(-x1),且-x1<0,x2<0,而函数f(x)在(-∞,0)上是增函数,因此由f(x1)0.故选B.]‎ 二、填空题 ‎7、a>-3‎ 解析 ∵f(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1,‎ ‎∴[1,+∞)为f(x)的增区间,‎ 要使f(x)在[1,+∞)上恒有f(x)>0,则f(1)>0,‎ 即3+a>0,∴a>-3.‎ ‎8、-1‎ 解析 ∵f(-0)=-f(0),∴f(0)=0,‎ 且f(2)=22-3=1.‎ ‎∴f(-2)=-f(2)=-1,‎ ‎∴f(-2)+f(0)=-1.‎ ‎9、1‎ 解析 f(x)为[-1,1]上的奇函数,且在x=0处有定义,‎ 所以f(0)=0,故a=0.‎ 又f(-1)=-f(1),所以-=,‎ 故b=0,于是f(x)=-x.‎ 函数f(x)=-x在区间[-1,1]上为减函数,‎ 当x取区间左端点的值时,函数取得最大值1.‎ 三、解答题 ‎10、解 (1)作OH,DN分别垂直DC,AB交于H,N,‎ 连结OD.‎ 由圆的性质,H是中点,设OH=h,‎ h==.‎ 又在直角△AND中,AD= ‎===2,‎ 所以y=f(x)=AB+2AD+DC=4+2x+4,其定义域是(0,2).‎ ‎(2)令t=,则t∈(0,),且x=2-t2,‎ 所以y=4+2·(2-t2)+4t=-2(t-1)2+10,‎ 当t=1,即x=1时,y的最大值是10.‎ ‎11、(1)证明 设x1>x2≥0,f(x1)-f(x2)=(1-)-(1-)=.‎ 由x1>x2≥0⇒x1-x2>0,(x1+1)(x2+1)>0,‎ 得f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).‎ 所以f(x)在定义域上是增函数.‎ ‎(2)解 g(x)=f(x+1)-f(x)=,‎ g(x)在[0,+∞)上是减函数,自变量每增加1,f(x)的增加值越来越小,所以f(x)的增长是越来越慢.‎ ‎12、(1)证明 设00,x1-x2<0.‎ 又b>1,且00,‎ ‎∴f(x1)>f(x2),‎ 所以函数f(x)在(0,1)上是减函数.‎ ‎(2)解 设0-x2>0.‎ ‎∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,‎ ‎∴f(-x1)>f(-x2).‎ ‎∵f(x)是奇函数,‎ ‎∴f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2),‎ ‎∴-f(x1)>-f(x2),即f(x1)0,则f(x)
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