数学理卷·2017届福建省高三4月单科质量检测（2017

数学理卷·2017届福建省高三4月单科质量检测（2017

‎2017年福建省普通高中毕业班单科质量检查 理科数学 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 已知是的共轭复数，且，则的虚部是（ ）‎ A． B． C． 4 D．-4‎ ‎3. 函数的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎4. 若满足约束条件，则的最小值为 （ ）‎ A．-4 B．2 C. D．4‎ ‎5. 已知，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C. 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6. 已知直线过点且与相切于点，以坐标轴为对称轴的双曲线过点，一条渐近线平行于，则的方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7. 5名学生进行知识竞赛.笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”.根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种数是（ ）‎ A．54 B．72 C. 78 D．96‎ ‎8.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题“物不知数”，原题为：今有物，不知其数.三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？后来，南宋数学家里秦九韶在其著作《数书九章》中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为“大衍求一术”.下图程序框图的算法思路源于“大衍求一术”，执行该程序框图，若输入的分别20，17，则输出的（ ）‎ A． 1 B． 6 C. 7 D．11‎ ‎10. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，点与在的两侧，且，是抛物线上的一点，垂直于点且，分别交，于点，则与的外接圆半径之比为（ ）‎ A． B． C. D．2‎ ‎11. 已知函数，若，则的最小值是（ ）‎ A． 2 B． C. 1 D．‎ ‎12. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ）‎ A．只有有限个正整数使得 B．只有有限个正整数使得 ‎ C.数列是递增数列 D．数列是递减数列 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 ‎13.设向量，且的夹角为，则实数 ．‎ ‎14.用一根长为12的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架，则该三棱柱的侧面积的最大值是 ．‎ ‎15.已知定义在上的函数满足，且当时，，则曲线在处的切线方程是 ．‎ ‎16.在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，二面角的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. 已知数列的前项和.是公差不为0的等差数列，其前三项和为3，且是的等比中项.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎18.如图，有一码头和三个岛屿，，，.‎ ‎（1）求两个岛屿间的距离；‎ ‎（2）某游船拟载游客从码头前往这三个岛屿游玩，然后返回码头.问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程.‎ ‎19.如图，三棱柱中，，，分别为棱的中点.‎ ‎（1）在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明.‎ ‎（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20. 已知，内切于点是两圆公切线上异于的一点，直线切于点，切于点，且均不与重合，直线相交于点.‎ ‎（1）求的轨迹的方程；‎ ‎（2）若直线与轴不垂直，它与的另一个交点为，是点关于轴的对称点，求证：直线过定点.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若不存在极值点，求的取值范围；‎ ‎（2）若，证明：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线，曲线.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求的直角坐标方程；‎ ‎（2）与交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，求的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）求证：.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CCABA 6-10: DCDCB 11、12：BD 二、填空题 ‎13. -1 14.6 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）因为，①‎ 所以当时，，解得，‎ 当时，，②‎ ① ‎-②，得，即，所以，‎ 由数列的前三项和为3，得，所以，‎ 设数列的公差为，则，‎ 又因为，所以，‎ 解得或（舍去），所以；‎ ‎（2）由（1），可知，，从而，‎ 令，‎ 即，③‎ ② ‎×2，得，④‎ ③ ‎-④，得 ‎，‎ ‎ 即，‎ 故题设不等式可化为，（）‎ ① 当时，不等式（）可化为，解得；‎ ① 当时，不等式（）可化为，此时；‎ ② 当时，不等式（）可化为，因为数列是递增数列，所以，‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎18.解：（1）在中，，‎ 由正弦定理得，，即，‎ 解得，‎ 又因为在中，，所以，‎ 所以，从而，‎ 即两个岛屿间的距离为；‎ ‎（2）因为，所以，‎ 在中，，由余弦定理得，‎ ‎，‎ 根据“两点之间线段最短”可知，‎ 最短航线是“”或“”，‎ 其航程为.‎ 所以应按航线“”或“”航行，‎ 其航程为.‎ ‎19.解：（1）如图，在平面内，过点作交于点，连结，在中，作交于点，连结并延长交于点，则为所求作直线.‎ ‎（2）连结，∵，∴为正三角形.‎ ‎∵为的中点，∴，‎ 又∵侧面侧面，且面面，‎ 平面，∴平面，‎ 在平面内过点作交于点，‎ 分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.‎ ‎∵为的中点，∴点的坐标为，‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴，∴，‎ 设平面的法向量为，‎ 由得，‎ 令，得，所以平面的一个法向量为.‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则，‎ 即直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎20.解：（1）‎ 因为内切于于，所以，解得，‎ 所以的方程为：，‎ 因为直线分别切于，‎ 所以，‎ 连结， 在与中，‎ ‎，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆（除去长轴端点），‎ 所以的轨迹的方程为.‎ ‎（2）依题意，设直线的方程为，，‎ 则且，‎ 联立方程组，‎ 消去，并整理得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 直线的方程，‎ 令，‎ 得，‎ 故直线过定点.‎ ‎21.解：（1）的定义域为，且，‎ 设，则.‎ ‎①当，即时，，所以在上单调递增；‎ 又，，即，‎ 所以在上恰有一个零点，‎ 且当时，；当时，；‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以是的极小值点，不合题意.‎ ‎（2）当，即时，令，得，‎ 当时，；当时，；‎ 即在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎①当即时，恒成立，‎ 即在上单调递增，无极值点，符合题意.‎ ‎②当，即时，，‎ 所以，所以在上恰有一个零点，‎ 且当时，；当时，；‎ 即在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以是的极小值点，不合题意.‎ 综上，的取值范围是；‎ ‎（2）因为，，所以，‎ 要证明，只需证明，‎ ① 当时，因为，‎ 所以成立；‎ ② 当时，设，‎ 则，‎ 设，则，‎ 因为，所以，‎ 所以在上单调递增，‎ 所以，即，‎ 所以在上单调递增，‎ 所以，即，‎ 综上，若，则.‎ ‎22.解：（1）因为，‎ 由得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为，‎ 由得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为：.‎ ‎（2）‎ 不妨设四个交点自下而上依次为，它们对应的参数分别为.‎ 把代入，‎ 得，即，‎ 则，，‎ 把，代入，‎ 得，即，‎ 则，，‎ 所以.‎ ‎23.解：（1）当时，不等式等价于不等式，‎ 当时，不等式可化为，解得，所以，‎ 当时，不等式可化为，解得，这种情况无解.‎ 当时，不等式可化为，解得，所以.‎ 综上，当时，不等式的解集为.‎ ‎（2）证明：.‎ 所以不等式得证.‎