四川省资阳市2020届高三第二次诊断考试 数学(文科)（PDF版含命题说明）

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数学!文史类"双向细目表 第 !!!!! 页!共!页" 数学!文史类"双向细目表 !!考查内容!!"!"年高考考试说明要求的全部内容"解析几何只考小题#, 预设难度!"#+-!!预估得分!%* 题型 题号 知识板块 考点 具体知识点 "试题切入点# 分值 预设 难度 预估 得分 知识层次 板块分值 能力层次 ' ( ) 板块 分值 空间想象 抽象概括 推理论证 运算求解 数据处理 应用意识 创新意识 一 选 择 题 * 数与代数 集合 集合运算 + ",% - " 集合逻辑用语 + " ! 数与代数 复数 复数的运算共轭复数 + ",% - " 复数 + " . 立体几何 圆柱 部分圆柱求体积 + ",% - " 平面向量 + " " " " - 数与代数 三角函数 三角函数定义求值 + ",% - " 概率统计 !! " " " + 数与代数 函数 函数图象 + ",/ .,+ " 三角函数解三角形 !! " " " " $ 数与代数 算法初步 程序框图求值 + ",/ .,+ " 函数与导数 !/ " " " / 解析几何 椭圆 焦半径求离心率 + ",$ . " 数列 *! " " " " % 数与代数 三角函数 图象变换性质 + ",$ . " 算法线性规划 *" " " " & 概率统计 概率 几何概型求概率 + ",+ !,+ " 立体几何 !! " " " " *" 解析几何 直线与圆 直线与圆的公共点 + ",- ! " 解析几何 *" " " " " ** 数与代数 线性规划 线性规划解决实际问题 + ",. *,+ " 选考内容 *" " " " " " *! 数与代数 函数导数 求最值 + ",! * " 总分 *+" " " " " " 二 填 空 题 *. 数与代数 平面向量 求夹角 + ",/ .,+ " " " *- 概率统计 统计 分层抽样 + ",$ . " " " " *+ 立体几何 线面位置 线面平行与垂直命题判断 + ",+ !,+ " " " " " *$ 数与代数 函数不等式 解函数不等式 + ",! * " " " " " 三 解 答 题 */ 数与代数 解三角形 *! ",/ %,- " " " " " "*# 证明边的关系 "!# 求边 *% 数与代数 数列 *! ",+ $ " " " " " "*# 求通项 "!# 求和 *& 概率统计 统计 *! ",+ $ " " " " " " "*# 求回归方程 "!# 回归方程的应用 !" 立体几何 四棱锥 *! ",- $ " " " " " " " "*# 证明面面垂直 "!# 求体积最值 !* 数与代数 函数导数 *! ",. .,$ " " " " " " "*# 求参数取值范围 "!# 零点问题求参数范围 !!选考 选考试题 坐标系与参数方程 *" ",+ + " " " " "*# 求极坐标方程 "!# 求线段比值 !.选考 选考试题 不等式选讲 *" ",+ + " " " " "*# 求最大值 "!# 求参数取值范围 书书书 数学!文史类"试题答案 第 !!!!! 页!共"页" 高!"#$级第一次诊断性考试 数学!文史类"参考答案 评分说明! !"本解答给出了一种或几种解法供参考!如果考生的解法与本解答不同!可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制定相应的评分细则" #"对计算题!当考生的解答在某一步出现错误时!如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度!可视影响的程度决定后继部分的给分!但不得超过该部分正确解答应得分数的一半#如果 后继部分的解答有较严重的错误!就不再给分" $"解答右端所注分数!表示考生正确做到这一步应得的累加分数" %"只给整数分"选择题和填空题不给中间分" 一"选择题#&'分$ !!命题意图#本小题考查集合运算$不等式解法$指数式的值等基础知识%考查运算求解能力! 解析#选择 ($因为 ") #"##*$#*!'#& '' ) #"*####& '+ $所以 "$$)&!$#$%'! #!命题意图#本小题考查复数的运算$共轭复数概念等基础知识%考查运算求解能力! 解析#选择 ,$由%)-!#.$-")*$.#-$所以其共轭复数%%)*$*#-! $!命题意图#本小题考查圆柱的体积公式$扇形的面积等基础知识%考查空间想象能力$运算求解 能力$应用意识! 解析#选择 /$由题意知圆柱截掉后剩余部分的底面面积为!'! $ 槡. $$所以剩余部分的体积为 !'! 槡.$ $! %!命题意图#本小题考查三角函数的定义等基础知识%考查运算求解能力$应用意识! 解析#选择 ,$角!的终边经过点& *槡$ # $*! "! # $所以012!)*槡$ # ! +!命题意图#本小题考查函数图象和性质等知识$考查数形结合等数学思想! 解析#选择 3$由题当#&*4时$'!#"&.4$排除 /$(%当#&.4时$'!#"&'! &!命题意图#本小题考查程序框图及其应用$指数式和对数式求值等基础知识%考查运算求解能 力$应用意识! 解析#选择($依程序框图运行$当输入#)*#时$输出()#*#)! %$当输入#)! 5时$输出)) *)617$ ! 5)*#$则(.*)! %*#)*8 %! 8!命题意图#本小题考查椭圆的定义$基本量的关系$离心率等基础知识%考查运算求解能力$数 形结合思想$应用意识! 解析#选择 3$由题意有( 槡) $*$所以+ 槡) #*$所以离心率,)+ ( )槡#* 槡$* )槡& $ ! 数学!文史类"试题答案 第 #!!!! 页!共"页" 9!命题意图#本小题考查三角函数图象变换及其性质等基础知识%考查逻辑推理能力$数形结合 思想$应用意识! 解析#选择 ,$由))'!#"的图象向右平移 ! !#个单位长度后所得图象对应的函数为 -!#") $2-: # #*!! "!# *!! "$ .!)*$012##.!$是偶函数$所以图象关于) 轴对称! 5!命题意图#本小题考查概率等基本知识$渗透数学文化$考查抽象概括能力和应用意识! 解析#选择 ($设图"三角形的面积为.$则图#中每个小阴影三角形的面积为图"三角形面 积的. &%$于是所求的概率为 &) #8 &%. . )#8 &%! !'!命题意图#本小题考查直线和圆的方程$点到直线的距离$直线与圆的位置关系等基础知识% 考查运算求解能力$分类讨论思想$数形结合思想$应用意识! 解析#选择 ($圆的标准方程为!#.!"#.!)*!"#)%$圆心!*!$!"到直线/##.) 槡. #)'的 距离为0)" 槡*!.!. #" !#.!槡 # )!'#!圆的半径"$结合图形知$圆上有三点到直线/的距离为!! !!!命题意图#本小题考查线性规划的实际应用%考查阅读理解能力$应用意识! 解析#选 择 3$设 安 排 甲 型 车 # 辆$乙 型 车 ) 辆$由 题 意 有 %;&#.$;!')(!9'$ '###9$ '#)#%$ #$))%* + , - $ 即 %#.+)($'$ '###9$ '#)#%$ #$))%* + , - $ 目标函数%)$#'#.+'%)$作出不等式组 %#.+)($'$ '###9$ '#)#% + , - $ 所表示的平面区域为 四点!#<+$%"$!9$%"$!9$'"$!8<+$'"围 成 的 梯 形 及 其 内 部$包 含 的 整 点 有 !9$'"$!8$!"$ !9$!"$!+$#"$!&$#"$!8$#"$!9$#"$!%$$"$!+$$"$!&$$"$!8$$"$!9$$"$!$$%"$!%$%"$!+$%"$ !&$%"$!8$%"$!9$%"!作直线$#'#.+'%))'并平移$分析可得当直线过点!9$'"时%最小$即 %=-:)9;$#')#+&'!元"! !#!命题意图#本小题考查导数的几何意义(函数与导数综合应用等知识$考查函数与方程(化归 与转化等数学思想$考查抽象概括等数学能力! 解析#选择 3$设切点!#'$>#' .*"$由'1!#'")>#' )(得#')6:(!(.'"$由>#' .*)(#'.($ 得(.*)(6:(.($则*)(6:($于是(*)(#6:(!(.'"$令-!(")(#6:($则-1!(")(!!.#6:("$ 故当''('>* ! # 时-1!("''%当(.>* ! # 时-1!(".'$故当()>* ! # 时-!("取得极小值也即最 小值-!>* ! # ")*! #>! 数学!文史类"试题答案 第 $!!!! 页!共"页" 二"填空题##'分$ !$!命题意图#本小题考查平面向量的基本运算$向量的模$向量夹角等基础知识%考查数形结合 思想$运算求解能力$应用意识! 解析#填! #!或5'?"$由"!."")"!*""两边平方$!# .#!)"."# )!# *#!)"."#$所以有 !)")'$故!与" 所成角的大小为! #! !%!命题意图#本小题考查统计图表(分层抽样等基本知识$考查抽象概括能力和应用意识! 解析#填!+$由图可知喜欢徒步运动的男生有 +'';'<&)$'' 人$喜欢徒步运动的女 生有 %'';'<%)!&'人$则所抽取的男生人数为#$; $'' $''.!&')!+!人"! !+!命题意图#本小题考查空间直线与平面的位置关系$平面与平面的位置关系$几何体的体积等 基础知识%考查空间想象能力$推理论证能力$运算求解能力$应用意识! 解析#填"$%$由题意知$$2/$!2!$$&/32!$所以平面 $2&/平面 $!2!3$命题"正 确%因为 "3!0平面$!2!3$且 "3!1平面 &"3!$所以平面 &"3! 0平面 $!2!3$命题$正 确%因为$"!/平面$!2!3$所以点& 不论在"!$ 上什么位置$它到平面$!2!3 的距离都相 等$所以三棱锥&*$!2!3 的体积不变$命题%正确%当点& 在线段"!$ 上移动时$&3! 与平 面$!2!3 不一定垂直$命题#错误! !&!命题意图#本小题考查函数奇偶性(单调性等基础知识$考查化归与转化等数学思想以及运算 求解等能力! 解析#填*!$$+!由题知'!#"为 & 上的偶函数!当#.'时$'!#")># .##*>$则'1!#")># . ##.'$可知'!#"在!'$.!"上单调递增!不等式'!4*#"#!化为'!"4*#""#'!!"$则有 "4*#"#!$解得!#4#$! 三"解答题#共8'分$ !8!命题意图#本小题考查正弦定理(余弦定理$应用正(余弦定理解三角形等基础知识%考查运算 求解能力$逻辑推理能力$数形结合思想$应用意识! 解析#!!"由2-:"!#*0123")2-:3!!.012""得 #2-:"*2-:"0123)2-:3.2-:3012"$ 所以#2-:")2-:3.2-:"0123.012"2-:3)2-:3.2-:$! $分……………………………… 由正弦定理得#()+.*! 即(为*$+的等差中项! +分…………………………………………………………………… !#"由*)8$由!!"得+)#(*8! 由$)#! $ $*)8$由余弦定理有%5)(#.+#.(+! 9分………………………………………… 由 +)#(*8$ (#.+#.(+)%5 + , - ! 解得()+$()'!舍去"! 数学!文史类"试题答案 第 %!!!! 页!共"页" 所以()+! !#分…………………………………………………………………………………… !9!命题意图#本小题考查等差数列(等比数列的通项公式$前5 项和公式及其应用等基础知识% 考查运算求解能力$应用意识! 解析#!!"由题意有#(5).5.%$ 当5)!时$#(!)(!.%$所以(!)%! #分……………………………………………………… 当5(#时$.5)#(5*%$.5*!)#(5*!*%$ 两式相减得(5).5*.5*!)#(5*#(5*!$整理得 (5 (5*! )#$ 所以数列&(5'是以%为首项$#为公比的等比数列! &分……………………………………… 所以数列&(5'的通项公式(5)%;#5*!)#5.!!5)%* "! 8分………………………………… !#"由#*5 )(# 5)##5.#$ 所以*5)#5.#$ 所以数列&*5'是以%为首项$#为公差的等差数列! !'分……………………………………… 所以 65)%5.5!5*!" # ;#)5#.$5! !#分…………………………………………………… !5!命题意图#本小题考查回归方程(统计案例等基本知识$考查回归分析的基本思想$考查抽象 概括等能力和应用意识$以及数据分析等能力! 解析#!!"由题$%与温度# 又可以用线性回归方程来拟合$设7%)7(.7*#! 7*8 2 8 98! !#9 :3#"!%9 :%%" 2 8 98! !#9 :3#"# 8%&<%!9 !9# 4'<#++$ %分…………………………………………… 所以7( 8%%:7*3# 8$<+$8:'<#++;#88:$<$%9$ 故%关于# 的线性回归方程为7%)'<#++#*$<$%9< 9分……………………………………… !#"由!!"可得6:))'<#++#*$<$%9$ 于是产卵数) 关于温度# 的回归方程为))>'<#++#*$<$%9! 当#)#&时$))>'<#++;#&*$<$%9)>$<#9#4#8% 当#)$&时$))>'<#++;$&*$<$%9)>+<9$#4$%!% 因为函数))>'<#++#*$<$%9为增函数$ 所以$在气温在#&@&$&@之间时$一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是*#8$$%!+的正整 数! !#分…………………………………………………………………………………………… #'!命题意图#本小题考查四棱锥$平面与平面垂直的判定定理$体积最值等基础知识%考查空间 想象能力$推理论证能力$运算求解能力$创新意识! 解析#!!"因为 &")"$$< 为线段&$ 的中点! 所以 "<0&$! #分……………………………………………………………………………… 因为 &"0底面 "$32$$31平面 "$32$ 所以$30&"$ 数学!文史类"试题答案 第 &!!!! 页!共"页" 又因为底面 "$32 为正方形$所以$30"$$&"$"$)"$ 所以$30平面 &"$$因为 "<1平面 &"$$ 所以 "<0$3! %分……………………………………………………………………………… 因为 &$$$3)$$ 所以 "<0平面 &$3$ 因为 "<1平面 "<=$ 所以平面 "<=0平面 &$3! &分………………………………………………………………… !#"由 &"0底面 "$32$则平面 &"$0平面 "$32$ 所以$点= 到平面"$< 的距离!三棱锥=*"$< 的高"等于点= 到直线"$ 的距离! 8分 …… …………………………………………………………………………………………… 因此$当点= 在线段$3$"2 上运动时$三棱锥=*"$< 的高小于或等于#% 当点= 在线段32 上运动时$三棱锥=*"$< 的高为#! 5分………………………………… 因为5"$< 的面积为.5"$< )! #;#;!)!$ 所以$当点= 在线段32 上$三棱锥=*"$< 的体积取得最大值! >)! $;.5"$< ;#)# $! 由于三棱锥 "*$<= 的体积等于三棱锥=*"$< 的体积$ 所以三棱锥 "*$<= 的体积存在最大值# $! !#分……………………………………………… #!!命题意图#本小题考查函数图象和性质(函数零点(导数在研究函数中的应用等基本知识$考 查了学生化归与转化(推理论证等数学思想$以及数学抽象(数学运算等能力! 解析#!!"由'!#")#>#*(6:#*(#.(*>!#.'"$得 '1!#")>#!!.#"*(!!.#" # )!!.#"!#>#*(" # $ 因为'!#"为单调递增函数$ 所以当#.'时'1!#"('$ 由于#.!.!$于是只需(##># 对于#.'恒成立$ #分……………………………………… 令?!#")#>#$则?1!#")!#.!">#$ 当#.'时$?1!#".'$所以?!#")#># 为增函数$ 所以?!#".?!'")'! 当(#?!'"$即(#'时$(##># 恒成立$ 所以$'!#"为单调递增函数时$(的取值范围是!*4$'+! %分……………………………… !#"因为'!!")'$所以#)!是'!#"的一个零点! 由!!"知$当(#'时$'!#"为!'$.4"的增函数$ 此时关于# 的方程'!#")'仅一解#)!$即函数'!#"仅一个零点$满足条件! &分……… 当(.'时$由'1!!")'得()>$ 数学!文史类"试题答案 第 '!!!! 页!共"页" !'"当()>时$'!#")#>#*>6:#*>#$ 则'1!#")!!.#"!#>#*>" # $ 令@!#")#>#*>$ 易知@!#"为!'$.4"的增函数$且@!!")'$ 所以当''#'!时$@!#"''$即'1!#"''$'!#"为减函数$ 当#.!时$@!#".'$即'1!#".'$'!#"为增函数$ 所以'!#"('在!'$.4"上恒成立$且仅当'!!")'$于是函数'!#"仅一个零点! 所以()>满足条件! 9分………………………………………………………………………… !("当(.>时$由于@!#")#>#*(在!!$.4"为增函数$ 则@!!")>*(''$当#&.4时$@!#"&.4! 则存在#'.!$使得@!#'")'$即使得'1!#'")'$ 当!!$#'"时$'1!#'"''$当!#'$.4"时$'1!#'".'$ 所以'!#'"''!!")'$且当#&.4时$'!#"&.4! 于是当!#'$.4"时存在'!#")'的另一解$不符合题意$舍去! !'分……………………… !)"当''('>时$则@!#")#>#*(在!!$.4"为增函数$ 又@!'")*(''$@!!")>*(.'$ 所以存在''#''!$使得@!#'")'$也就使得'1!#'")'$ 当!'$#'"时$'1!#'"''$当!#'$!"时$'1!#'".'$ 所以'!#'"''!!")'$且当#&'时$'!#"&.4! 于是在!'$#'"时存在'!#")'的另一解$不符合题意$舍去! 综上$(的取值范围为(#'或()>! !#分……………………………………………………… 选考题#!'分$ ##!命题意图#本小题考查参数方程与极坐标方程$三角恒等变换等基础知识%考查数学运算能 力$逻辑推理能力$应用意识! 解析#!!"由 #)#012!$ ))2-: + , - ! !!为参数"$得曲线的普通方程为## %.)#)!! #分………………… 将#)"012#$))"2-:#代入$得%"#2-:##."#012##)%$ 即"#) % $2-:##.!"#) % %2-:##.012##! "也可得分 ! +分………………………………………… !#"由!!"知! "# )$ %2-:##.! %$ 设点 & 的极坐标为!"!$#"$因为A&0AB$则点B 的极坐标为 "#$#A!! "# ! 8分…………… 所以"A&"#)"AB"# "A&"#."AB"#) ! ! "A&"#. ! "AB"# 数学!文史类"试题答案 第 "!!!! 页!共"页" ) ! ! "# ! .! "# # ) ! $ %2-:##.! %.$ %012##.! % ) ! $ %.! # )% +! !'分……………………………………………………………………………… #$!命题意图#本小题考查基本不等式(不等式的证明方法(含绝对值的不等式等基本知识$考查 学生化归与转化等数学思想和推理论证等数学能力$以及逻辑推理(数学运算等能力! 解析#!!"由题 ! #(槡 .!. #*槡 .!"# )!#(.!".!#*.!".# #(槡 .!) #*槡 .! #!#(.!".!#*.!".!#(.!".!#*.!" )%!(.*".% )!&$当且仅当()*)$ #时取等号! 所以 #(槡 .!. #*槡 .!最大值为%< +分……………………………………………………… !#"由题$! (.% *)! $!(.*" ! (.%! "* )! $ +.* ( .%(! "* (! $ +.# * ( )%(槡! "* )$$当且仅当 * ( )%( * $ (.* + , - )$ 即()!$*)#取等号$ 所以$! (.% *的最小值为$! 又"#.#4"*"#*!"#"#4.!"$ 不等式"#.#4"*"#*!"#! (.% *对任意#)& 恒成立$只需"#4.!"#$即可$ 解得*##4#!$ 即 4 的取值范围是**#$!+! !'分……………………………………………………………… 书书书 数学命题报告 第 !!!!! 页!共"页" 数学科命题报告 一!指导思想 本次一诊考试试题命制主要依据!!"#$年普通高等学校招生全国统一考试大 纲"#!!"#$年普通高校招生全国统一考试数学试题"$全国!%"%#卷&'坚持(一体 四层四翼)的命题指导思想#针对(必备知识%关键能力%学科素养%核心价值)四层考 查内容以及(基础性%综合性%应用性%创新性)四个方面的考查要求#落实立德树人 根本任务#以诊断高三第一阶段复习成效为目的#从而正确引导各校下阶段复习 教学' 二!具体要求 #%本次考试范围与要求*试题分必考内容和选考内容'文科考生必考内容为 !课程标准"的必修内容和选修系列#和系列&内容#理科考生必考内容为!课程标 准"的必修内容和选修系列!和系列&内容'选考内容均为选修系列&的(坐标系 与参数方程)%(不等式选讲)等!个专题' !%本次试题注重对数学思想方法的考查#注重对数学能力的考查#展现数学的 科学价值和人文价值#考查数学学科素养'同时兼顾试题的基础性%综合性和应用 性#重视试题间的层次性#合理调控综合程度#坚持多角度%多层次的考查' '%主干知识重点考查'如函数与导数部分*对函数图象%函数性质%函数应用都 有所考查#应用导数解决函数最值问题#函数不等式等均有体现'又如三角函数与 解三角形部分#对三角函数的图象及其性质%诱导公式%三角函数定义等知识有所考 查#对正弦定理与余弦定理#以及利用两个定理解决实际问题均有体现' &%考查学科素养和实现育人目标* $#&强调综合能力的考查#重点是思维能力#而突破点是创新潜质#学科素养' $!&考查能力三原则*考潜能%考思维%考应用' 数学命题报告 第 "!!!! 页!共"页" $'&尽量体现!"#(版!普通高中课程方案和各学科课程标准"精神#一是全面落 实党的十八大和十九大精神+二是切实加强中华优秀传统文化和革命传统教育+三 是进一步强化了学科的育人功能' $&&增加数学知识广度'本次试题尽量增加知识广度#拓展数学视野#让考生善 于发现知识联系#进而透析命题意图' $)&突出试卷设计创新#优化试卷结构%创新设计理念%变换题型和设问方式%适 当改变试题的排列顺序#增强试题新颖性和灵活性#促进考生融会贯通%真懂会用# 引导中学数学全面教学%夯实基础%灵活学习%创新思考' $*&试题背景新颖#尽量体现了(德%智%体%美%劳)五育并举的育人目标' 三!命题意图 详见参考答案中每小题的命题意图'