2013年江西省高考数学试卷（文科）

2013年江西省高考数学试卷（文科）

‎2013年江西省高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）复数z=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．（5分）若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素，则a=（　　）‎ A．4 B．2 C．0 D．0或4‎ ‎3．（5分）若sin=，则cosα=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）‎ ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A．08 B．07 C．02 D．01‎ ‎6．（5分）下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，+∞）‎ ‎7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（　　）‎ A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜11‎ ‎8．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．200+9π B．200+18π C．140+9π D．140+18π ‎9．（5分）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（　　）‎ A．2： B．1：2 C．1： D．1：3‎ ‎10．（5分）如图．已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．（5分）若曲线y=xa+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a=　 　．‎ ‎12．（5分）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于　 　．‎ ‎13．（5分）设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是　 　．‎ ‎14．（5分）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是　 　．‎ ‎15．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为　 　．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（12分）正项数列{an}满足：an2﹣（2n﹣1）an﹣2n=0．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（2）令bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．‎ ‎（1）求证：a，b，c成等差数列；‎ ‎（2）若C=，求的值．‎ ‎18．（12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X＞‎ ‎0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0就去下棋 ‎（1）写出数量积X的所有可能取值 ‎（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．‎ ‎19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3‎ ‎（1）证明：BE⊥平面BB1C1C；‎ ‎（2）求点B1到平面EA1C1 的距离．‎ ‎20．（13分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值．‎ ‎21．（14分）设函数常数且a∈（0，1）．‎ ‎（1）当a=时，求f（f（））；‎ ‎（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；‎ ‎（3）对于（2）中x1，x2，设A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2，0），记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间[，]上的最大值和最小值．‎ ‎　‎ ‎2013年江西省高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）复数z=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【分析】化简可得复数z=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i，由复数的几何意义可得答案．‎ ‎【解答】解：化简可得复数z=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i，‎ 故复数在复平面内所对应的点的坐标为（1，﹣2）在第四象限，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素，则a=（　　）‎ A．4 B．2 C．0 D．0或4‎ ‎【分析】当a为零时，方程不成立，不符合题意，当a不等于零时，方程是一元二次方程只需判别式为零即可．‎ ‎【解答】解：当a=0时，方程为1=0不成立，不满足条件 当a≠0时，△=a2﹣4a=0，解得a=4‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查了元素与集合关系的判定，以及根的个数与判别式的关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）若sin=，则cosα=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎【分析】由二倍角的余弦公式可得cosα=1﹣2sin2，代入已知化简即可．‎ ‎【解答】解：由二倍角的余弦公式可得cosa=1﹣2sin2‎ ‎=1﹣2×=1﹣=‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查二倍角的余弦公式，把α看做的二倍角是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由分步计数原理可得总的方法种数为2×3=6，由列举法可得符合条件的有2种，由古典概型的概率公式可得答案．‎ ‎【解答】解：从A，B中各取任意一个数共有2×3=6种分法，‎ 而两数之和为4的有：（2，2），（3，1）两种方法，‎ 故所求的概率为：=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）‎ ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A．08 B．07 C．02 D．01‎ ‎【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．‎ ‎【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，‎ 第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，‎ 第三个数为08，符合条件，‎ 以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，‎ 故第5个数为01．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，+∞）‎ ‎【分析】通过x=，，2验证不等式是否成立，排除选项B、C、D．即可得到正确选项．‎ ‎【解答】解：利用特殊值排除选项，不妨令x=时，代入x＜＜x2，得到＜，显然不成立，选项B不正确；‎ 当x=时，代入x＜＜x2，得到，显然不正确，排除C；‎ 当x=2时，代入x＜＜x2，得到，显然不正确，排除D．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查分式不等式的解法，由于本题是选择题，利用特殊值验证法是快速解答选择题的一种技巧．当然可以直接解答，过程比较复杂．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（　　）‎ A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜11‎ ‎【分析】由框图给出的赋值，先执行一次运算i=i+1，然后判断得到的i的奇偶性，是奇数执行S=2*i+2，是偶数执行S=2*i+1，然后判断S的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i=i+1执行，不满足跳出循环，输出i的值．‎ ‎【解答】解：框图首先给变量S和i赋值S=0，i=1，执行i=1+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=2×2+1=5；‎ 判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2×3+2=8；‎ 判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=2×4+1=9；‎ 此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i=4．而此时的S的值是9，故判断框中的条件应S＜9．‎ 若是S＜8，输出的i值等于3，与题意不符．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了程序框图，考查了循环结构，内含条件结构，整体属于当型循环，解答此题的关键是思路清晰，分清路径，属基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．200+9π B．200+18π C．140+9π D．140+18π ‎【分析】根据题意，该几何体是下部是长方体、上部是半圆柱所组成．根据所给出的数据可求出体积．‎ ‎【解答】解：根据图中三视图可得出其体积=长方体的体积与半圆柱体积的和 长方体的三度为：10、4、5；‎ 圆柱的底面半径为3，高为2，‎ 所以几何体的体积=10×4×5+32π×2=200+9π．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查三视图的相关知识：主视图主要确定物体的长和高，左视图确定物体的宽和高，俯视图确定物体的长和宽．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（　　）‎ A．2： B．1：2 C．1： D．1：3‎ ‎【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=﹣．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．‎ ‎【解答】解：∵抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0）‎ ‎∴抛物线的准线方程为l：y=﹣1，直线AF的斜率为k==﹣，‎ 过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|‎ ‎∵Rt△MPN中，tan∠MNP=﹣k=，‎ ‎∴=，可得|PN|=2|PM|，得|MN|==|PM|‎ 因此，，可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1：‎ 故选：C．‎ ‎【点评】‎ 本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）如图．已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】通过t的增加，排除选项A、D，利用x的增加的变化率，说明余弦函数的变化率，得到选项即可．‎ ‎【解答】解：因为当t=0时，x=0，对应y=1，所以选项A，D不合题意，‎ 当t由0增加时，x的变化率由大变小，又y=cosx是减函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢，‎ 所以选项B满足题意，C正好相反．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力．‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．（5分）若曲线y=xa+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a=　2　．‎ ‎【分析】求出函数的导函数，求出x=1时的导数值，写出曲线y=xa+1（a∈R）在点（1，2）处的切线方程，把原点坐标代入即可解得α的值．‎ ‎【解答】解：由y=xa+1，得y′=axa﹣1．‎ 所以y′|x=1=a，则曲线y=xa+1（α∈R）在点（1，2）处的切线方程为：‎ y﹣2=a（x﹣1），即y=ax﹣a+2．‎ 把（0，0）代入切线方程得，a=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的导数，考查了直线方程点斜式，是基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于　6　．‎ ‎【分析】由题意可得，第n天种树的棵数an是以2为首项，以2为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式求出n天中种树的棵数满足sn≥100，解不等式可求 ‎【解答】解：由题意可得，第n天种树的棵数an是以2为首项，以2为公比的等比数列 sn==2n+1﹣2≥100‎ ‎∴2n+1≥102‎ ‎∵n∈N*‎ ‎∴n+1≥7‎ ‎∴n≥6，即n的最小值为6‎ 故答案为：6‎ ‎【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式在实际问题中的应用，解题的关键是等比数列模型的确定 ‎　‎ ‎13．（5分）设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤‎ a，则实数a的取值范围是　a≥2　．‎ ‎【分析】构造函数F（x）=|f（x）|=|sin3x+cos3x|，利用正弦函数的特点求出F（x）max，从而可得答案．‎ ‎【解答】解：∵不等式|f（x）|≤a对任意实数x恒成立，‎ 令F（x）=|f（x）|=|sin3x+cos3x|，‎ 则a≥F（x）max．‎ ‎∵f（x）=sin3x+cos3x=2sin（3x+） ‎ ‎∴﹣2≤f（x）≤2‎ ‎∴0≤F（x）≤2‎ F（x）max=2‎ ‎∴a≥2．‎ 即实数a的取值范围是a≥2‎ 故答案为：a≥2．‎ ‎【点评】本题考查两角和与差公式及构造函数的思想，考查恒成立问题，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是　　．‎ ‎【分析】设出圆的圆心坐标与半径，利用已知条件列出方程组，求出圆的圆心坐标与半径，即可得到圆的方程．‎ ‎【解答】解：设圆的圆心坐标（a，b），半径为r，‎ 因为圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，‎ 所以，‎ 解得，‎ 所求圆的方程为：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查圆的标准方程的求法，列出方程组是解题的关键，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为　4　．‎ ‎【分析】判断EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线EF相交的平面个数即可．‎ ‎【解答】解：由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，‎ 所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查直线与平面的位置关系，基本知识的应用，考查空间想象能力．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（12分）正项数列{an}满足：an2﹣（2n﹣1）an﹣2n=0．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（2）令bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（1）通过分解因式，利用正项数列{an}，直接求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（2）利用数列的通项公式化简bn=，利用裂项法直接求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（1）由正项数列{an}满足：﹣（2n﹣1）an﹣2n=0，‎ 可得（an﹣2n）（an+1）=0‎ 所以an=2n．‎ ‎（2）因为an=2n，bn=，‎ 所以bn=‎ ‎=‎ ‎=，‎ Tn=‎ ‎=‎ ‎=．‎ 数列{bn}的前n项和Tn为．‎ ‎【点评】本题考查数列的通项公式的求法，裂项法求解数列的和的基本方法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．‎ ‎（1）求证：a，b，c成等差数列；‎ ‎（2）若C=，求的值．‎ ‎【分析】（1）由条件利用二倍角公式可得sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B，再由正弦定理可得 ab+bc=2b2，即 a+c=2b，由此可得a，b，c成等差数列．‎ ‎（2）若C=，由（1）可得c=2b﹣a，由余弦定理可得 （2b﹣a）‎ ‎2=a2+b2﹣2ab•cosC，化简可得 5ab=3b2，由此可得 的值．‎ ‎【解答】解：（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，‎ ‎∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，‎ ‎∴sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B．‎ 再由正弦定理可得 ab+bc=2b2，即 a+c=2b，故a，b，c成等差数列．‎ ‎（2）若C=，由（1）可得c=2b﹣a，由余弦定理可得 （2b﹣a）2=a2+b2﹣2ab•cosC=a2+b2+ab．‎ 化简可得 5ab=3b2，∴=．‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0就去下棋 ‎（1）写出数量积X的所有可能取值 ‎（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．‎ ‎【分析】（1）由题意可得：X的所有可能取值为：﹣2，﹣1，0，1，‎ ‎（2）列举分别可得数量积为﹣2，﹣1，0，1时的情形种数，由古典概型的概率公式可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得：X的所有可能取值为：﹣2，﹣1，0，1，‎ ‎（2）数量积为﹣2的有，共1种，‎ 数量积为﹣1的有，，，，‎ ‎，共6种，‎ 数量积为0的有，，，共4种，‎ 数量积为1的有，，，共4种，‎ 故所有的可能共15种，所以小波去下棋的概率P1=，去唱歌的概率P2=，‎ 故不去唱歌的概率为：P=1﹣P2=1﹣=‎ ‎【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及平面向量的数量积的运算，属中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3‎ ‎（1）证明：BE⊥平面BB1C1C；‎ ‎（2）求点B1到平面EA1C1 的距离．‎ ‎【分析】（1）过点B作BF⊥CD于F点，算出BF、EF、FC的长，从而在△BCE中算出BE、BC、CE的长，由勾股定理的逆定理得BE⊥BC，结合BE⊥BB1利用线面垂直的判定定理，可证出BE⊥平面BB1C1C；‎ ‎（2）根据AA1⊥平面A1B1C1，算出三棱锥E﹣A1B1C1的体积V=．根据线面垂直的性质和勾股定理，算出A1C1=EC1=3、A1E=2，从而得到等腰△A1EC1的面积=3，设B1到平面EA1C1 的距离为d，可得三棱锥B1﹣A1C1E的体积V=××d=d，从而得到=d，由此即可解出点B1到平面EA1C1的距离．‎ ‎【解答】解：（1）过点B作BF⊥CD于F点，则：‎ BF=AD=，EF=AB=DE=1，FC=EC﹣EF=3﹣1=2‎ 在Rt△BEF中，BE==；‎ 在Rt△BCF中，BC==‎ 因此，△BCE中可得BE2+BC2=9=CE2‎ ‎∴∠CBE=90°，可得BE⊥BC，‎ ‎∵BB1⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，‎ ‎∴BE⊥BB1，‎ 又∵BC、BB1是平面BB1C1C内的相交直线，‎ ‎∴BE⊥平面BB1C1C；‎ ‎（2）∵AA1⊥平面A1B1C1，得AA1是三棱锥E﹣A1B1C1的高线 ‎∴三棱锥E﹣A1B1C1的体积V=×AA1×=‎ 在Rt△A1D1C1中，A1C1==3‎ 同理可得EC1==3，A1E==2‎ ‎∴等腰△A1EC1的底边A1C1上的中线等于=，‎ 可得=×2×=3‎ 设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1﹣A1C1E的体积为V=××d=d，‎ 可得=d，解之得d=‎ 即点B1到平面EA1C1的距离为．‎ ‎【点评】本题在直四棱柱中求证线面垂直，并求点到平面的距离．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与其逆定理和利用等积转换的方法求点到平面的距离等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值．‎ ‎【分析】（1）由题目给出的离心率及a+b=3，结合条件a2=b2+c2列式求出a，b，则椭圆方程可求；‎ ‎（2）设出直线方程，和椭圆方程联立后解出P点坐标，两直线方程联立解出M点坐标，由D，P，N三点共线解出N点坐标，‎ 由两点求斜率得到MN的斜率m，代入2m﹣k化简整理即可得到2m﹣k为定值．‎ ‎【解答】（1）解：因为，所以，即a2=4b2，a=2b．‎ 又a+b=3，得a=2，b=1．‎ 所以椭圆C的方程为；‎ ‎（2）证明：因为B（2，0），P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为．‎ 联立，得（4k2+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．‎ 所以，．‎ 则．‎ 所以P（）．‎ 又直线AD的方程为．‎ 联立，解得M（）．‎ 由三点D（0，1），P（），N（x，0）共线，‎ 得，所以N（）．‎ 所以MN的斜率为=．‎ 则．‎ 所以2m﹣k为定值．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了二次方程中根与系数关系，考查了由两点求斜率的公式，是中高档题．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）设函数常数且a∈（0，1）．‎ ‎（1）当a=时，求f（f（））；‎ ‎（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；‎ ‎（3）对于（2）中x1，x2，设A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2，0），记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间[，]上的最大值和最小值．‎ ‎【分析】（1）当a=时，根据所给的函数解析式直接求值即可得出答案；‎ ‎（2）根据二阶周期点的定义，分段进行求解，找出符号定义的根即为所求；‎ ‎（3）由题意，先表示出s（a）的表达式，再借助导数工具研究s（a）在区间[，]上的单调性，确定出最值，即可求解出最值．‎ ‎【解答】解：（1）当a=时，求f（）=，故f（f（））=f（）=2（1﹣）=‎ ‎（2）f（f（x））=‎ 当0≤x≤a2时，由=x，解得x=0，因为f（0）=0，故x=0不是函数的二阶周期点；‎ 当a2＜x≤a时，由=x，解得x=‎ 因为f（）==≠，‎ 故x=是函数的二阶周期点；‎ 当a＜x≤a2﹣a+1时，由=x，解得x=∈（a，a2﹣a+‎ ‎1），因为f（）=，故得x=不是函数的二阶周期点；‎ 当a2﹣a+1＜x≤1时，由，解得x=∈（a2﹣a+1，1），因为f（）=≠，故x=是函数的二阶周期点；‎ 因此函数有两个二阶周期点，x1=，x2=‎ ‎（3）由（2）得A（，），B（，）‎ 则s（a）=S△OCB﹣S△OCA=×，所以s′（a）=×，‎ 因为a∈（），有a2+a＜1，所以s′（a）=×=＞0（或令g（a）=a3﹣2a2﹣2a+2利用导数证明其符号为正亦可）‎ s（a）在区间[，]上是增函数，‎ 故s（a）在区间[，]上的最小值为s（）=，最大值为s（）=‎ ‎【点评】本题考查求函数的值，新定义的理解，利用导数求函数在闭区间上的最值，第二题解答的关键是理解定义，第三题的关键是熟练掌握导数工具判断函数的单调性，本题考查了方程的思想，转化化归的思想及符号运算的能力，难度较大，综合性强，解答时要严谨认真方可避免会而作不对现象的出现．‎ ‎　‎