数学卷·2018届山西省朔州市怀仁一中高二上学期第三次月考数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届山西省朔州市怀仁一中高二上学期第三次月考数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年山西省朔州市怀仁一中高二（上）第三次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．如果直线l与平面α不垂直，那么在平面α内（　　）‎ A．不存在与l垂直的直线 B．存在一条与l垂直的直线 C．存在无数条与l垂直的直线 D．任一条都与l垂直 ‎2．命题：“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（　　）‎ A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x0∈R，x03﹣x02+1＞0‎ C．存在x0∈R，x03﹣x02+1≤0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0‎ ‎3．双曲线的（　　）‎ A．实轴长为，虚轴长为4，渐近线方程为，离心率 B．实轴长为，虚轴长为4，渐近线方程为，离心率 C．实轴长为，虚轴长为4，渐近线方程为，离心率 D．实轴长为，虚轴长为8，渐近线方程为，离心率 ‎4．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为（　　）‎ A．48+12 B．48+24 C．36+12 D．36+24‎ ‎5．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1‎ 的中点，那么直线AE与D1F所成角的余弦值为（　　）‎ A．﹣ B． C． D．﹣‎ ‎6．已知双曲线的方程为﹣=1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|=m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为（　　）‎ A．2a+2m B．a+m C．4a+2m D．2a+4m ‎7．F1，F2是椭圆的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45°，则三角形AF1F2的面积为（　　）‎ A．7 B． C． D．‎ ‎8．已知直线x+2ay﹣1=0与直线（a﹣2）x﹣ay+2=0平行，则a的值是（　　）‎ A． B．或0 C．﹣ D．﹣或0‎ ‎9．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC的射影H必在（　　）‎ A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部 ‎10．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则四面体ABCD的外接球的体积为（　　）‎ A．π B．π C．π D．π ‎11．设P（x，y）是圆x2+（y+4）2=4上任意一点，则的最小值为（　　）‎ A． +2 B．﹣2 C．5 D．6‎ ‎12．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．曲线与曲线y+|ax|=0（a∈R）的交点有　　个．‎ ‎14．设命题p：|4x﹣3|≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0．若￢p是￢q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎15．过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程．‎ ‎16．如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK=t，则t的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知方程kx2+y2=4，其中k∈R，试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型．‎ ‎18．已知命题p：函数y=x2+2（a2﹣a）x+a4﹣2a3在[﹣2，+∞）上单调递增．q：关于x的不等式ax2﹣ax+1＞0解集为R．若p∧q假，p∨q真，求实数a的取值范围．‎ ‎19．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ACD；‎ ‎（Ⅲ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．‎ ‎20．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣P的大小．‎ ‎21．双曲线（a＞0，b＞0）满足如下条件：‎ ‎（1）ab=；‎ ‎（2）过右焦点F的直线l的斜率为，交y轴于点P，线段PF交双曲线于点Q，且|PQ|：|QF|=2：1，求双曲线的方程．‎ ‎22．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的弦长为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．求△OMN面积的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山西省朔州市怀仁一中高二（上）第三次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．如果直线l与平面α不垂直，那么在平面α内（　　）‎ A．不存在与l垂直的直线 B．存在一条与l垂直的直线 C．存在无数条与l垂直的直线 D．任一条都与l垂直 ‎【考点】直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】平面α内与l在α内的射影垂直的直线，垂直于直线l，这样的直线有无数条，故可得结论．‎ ‎【解答】解：平面α内与l在α内的射影垂直的直线，垂直于直线l，这样的直线有无数条，故A、B不正确，C正确；‎ 若在平面α内，任一条都与l垂直，则直线l与平面α垂直，与题设矛盾，故D不正确 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．命题：“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（　　）‎ A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x0∈R，x03﹣x02+1＞0‎ C．存在x0∈R，x03﹣x02+1≤0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是：存在x0∈R，x03﹣x02+1＞0．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．双曲线的（　　）‎ A．实轴长为，虚轴长为4，渐近线方程为，离心率 B．实轴长为，虚轴长为4，渐近线方程为，离心率 C．实轴长为，虚轴长为4，渐近线方程为，离心率 D．实轴长为，虚轴长为8，渐近线方程为，离心率 ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】根据双曲线的标准方程来求实轴长、虚轴长、渐近线方程以及离心率即可．‎ ‎【解答】解：∵双曲线方程是，‎ ‎∴a2=5，b2=4，c==3，‎ ‎∴实轴长=2a=2，虚轴长=2b=4，渐近线方程y=±x=x，离心率e===．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为（　　）‎ A．48+12 B．48+24 C．36+12 D．36+24‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】‎ 由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，其高已知，底面是长度为6的等腰直角三角形，故先求出底面积，再各个侧面积，最后相加即可得全面积．‎ ‎【解答】解：此几何体为一个三棱锥，其底面是边长为6的等腰直角三角形，顶点在底面的投影是斜边的中点 由底面是边长为6的等腰直角三角形知其底面积是=18‎ 又直角三角形斜边的中点到两直角边的距离都是3，棱锥高为4，‎ 所以三个侧面中与底面垂直的侧面三角形高是4，底面边长为6，其余两个侧面的斜高为=5‎ 故三个侧面中与底面垂直的三角形的面积为4×6=12，‎ 另两个侧面三角形的面积都是=15‎ 故此几何体的全面积是18+2×15+12=48+12‎ 故选A ‎　‎ ‎5．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE与D1F所成角的余弦值为（　　）‎ A．﹣ B． C． D．﹣‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离．‎ ‎【分析】设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出异面直线AE与D1F所成角的余弦值．‎ ‎【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，‎ 建立空间直角坐标系，‎ 则A（2，0，0），E（2，2，1）D1（0，0，2），F（0，2，1）‎ ‎∴=（0，2，1），=（0，2，﹣1），‎ 设异面直线AE与D1F所成角为θ，‎ 则cosθ=|cos＜，＞|=|0|=．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．已知双曲线的方程为﹣=1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|=m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为（　　）‎ A．2a+2m B．a+m C．4a+2m D．2a+4m ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF1|﹣|BF2|=2a，进而得到其周长．‎ ‎【解答】解：∵|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF1|﹣|BF2|=2a，‎ 又|AF2|+|BF2|=|AB|=m，‎ ‎∴|AF1|+|BF1|=4a+m，‎ ‎∴△ABF1的周长=|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．F1，F2是椭圆的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45°，则三角形AF1F2的面积为（　　）‎ A．7 B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】求出F1F2的 长度，由椭圆的定义可得AF2=6﹣AF1，由余弦定理求得AF1=，从而求得三角形AF1F2的面积．‎ ‎【解答】解：由题意可得 a=3，b=，c=，故，AF1+AF2=6，AF2=6﹣AF1，‎ ‎∵AF22=AF12+F1F22﹣2AF1•F1F2cos45°=AF12﹣4AF1+8，‎ ‎∴（6﹣AF1）2=AF12﹣4AF1+8，AF1=，故三角形AF1F2的面积S=×××=．‎ ‎　‎ ‎8．已知直线x+2ay﹣1=0与直线（a﹣2）x﹣ay+2=0平行，则a的值是（　　）‎ A． B．或0 C．﹣ D．﹣或0‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】由直线的平行关系可得a的方程，解方程排除重合可得．‎ ‎【解答】解：∵直线x+2ay﹣1=0与直线（a﹣2）x﹣ay+2=0平行，‎ ‎∴1×（﹣a）=2a（a﹣2），解得a=或a=0，‎ 经验证当a=0时两直线重合，应舍去，‎ 故选：A ‎　‎ ‎9．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC的射影H必在（　　）‎ A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部 ‎【考点】棱柱的结构特征．‎ ‎【分析】由题意结合线面垂直的判定可得平面BCC1⊥平面ABC，再由线面垂直的性质可得C1在底面ABC的射影H的位置．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵∠BCA=90°，∴AC⊥BC，‎ 又BC1⊥AC，且BC1∩BC=B，‎ ‎∴AC⊥平面BCC1，‎ 而AC⊂平面ABC，∴平面BCC1⊥平面ABC．‎ 在平面BCC1中，过C1作C1H⊥BC，垂足为H．‎ 则C1H⊥平面ABC．‎ ‎∴C1在底面ABC的射影H必在直线BC上．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则四面体ABCD的外接球的体积为（　　）‎ A．π B．π C．π D．π ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了．‎ ‎【解答】解：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，‎ 所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，‎ 则V球=π×（）3=．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．设P（x，y）是圆x2+（y+4）2=4上任意一点，则的最小值为（　　）‎ A． +2 B．﹣2 C．5 D．6‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】设M（1，1），可得所求式为P、M两点间的距离．运动点P得当P在圆上且在线段CM上时，|PM|达到最小值，由此利用两点的距离公式加以计算，即可得出本题答案．‎ ‎【解答】解：圆x2+（y+4）2=4的圆心是C（0，﹣4），半径为r=2．‎ 设M（1，1），可得|PM|=，‎ ‎∵P（x，y）是圆x2+（y+4）2=4上任意一点，‎ ‎∴运动点P，可得当P点在圆C与线段CM的交点时，|PM|达到最小值．‎ ‎∵|CM|==，‎ ‎∴|PM|的最小值为|CM|﹣r=﹣2．‎ 故选：B ‎　‎ ‎12．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，‎ 则sinθ=||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．‎ ‎【解答】解：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，‎ 如下图所示：‎ 则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），‎ ‎=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），‎ 设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取=（2，﹣2，1），‎ 设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||=，‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．曲线与曲线y+|ax|=0（a∈R）的交点有　2　个．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】曲线表示以原点为圆心，1为半径的下半圆，y+|ax|=0表示过原点的直线，即可得出两函数交点个数．‎ ‎【解答】解：曲线表示以原点为圆心，1为半径的下半圆，y+|ax|=0表示过原点的直线，‎ ‎∴两曲线交点个数为2个．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎14．设命题p：|4x﹣3|≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0．若￢p是￢q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是　[0，]　．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】因为┐p是┐q的必要而不充分条件，其逆否命题（等价命题）是：q是p的必要不充分条件，命题p中变量的范围是命题q中变量的取值范围的真子集，画出数轴，考查区间端点的位置关系，可得答案．‎ ‎【解答】解：解|4x﹣3|≤1，得≤x≤1． 解x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0． 得a≤x≤a+1．‎ 因为┐p是┐q的必要而不充分条件，所以，q是p的必要不充分条件，‎ 即由命题p成立能推出命题q成立，但由命题q成立不推出命p成立．‎ ‎∴[，1]⊊[a，a+1]．‎ ‎∴a≤且a+1≥1，两个等号不能同时成立，解得0≤a≤．‎ ‎∴实数a的取值范围是：[0，]．‎ ‎　‎ ‎15．过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】设出直线与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，利用点差法，结合M（2，1）为AB的中点吗，求出直线的斜率，即可得到直线的方程．‎ ‎【解答】解：设直线与椭圆的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2）‎ ‎∵M（2，1）为AB的中点 ‎∴x1+x2=4，y1+y2=2‎ ‎∵又A、B两点在椭圆上，则，‎ 两式相减得 于是（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0‎ ‎∴，即，‎ 故所求直线的方程为，即x+2y﹣4=0．‎ ‎　‎ ‎16．如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK=t，则t的取值范围是　（，1）　．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的性质；棱锥的结构特征．‎ ‎【分析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时与随着F点到C点时，分别求出此两个位置的t值即可得到所求的答案 ‎【解答】解：此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，可得t=1，‎ 随着F点到C点时，当C与F无限接近，不妨令二者重合，此时有CD=2‎ 因CB⊥AB，CB⊥DK，‎ ‎∴CB⊥平面ADB，即有CB⊥BD，‎ 对于CD=2，BC=1，在直角三角形CBD中，得BD=，‎ 又AD=1，AB=2，再由勾股定理可得∠BDA是直角，因此有AD⊥BD ‎ 再由DK⊥AB，可得三角形ADB和三角形AKD相似，可得t=，‎ 因此t的取值的范围是（，1）‎ 故答案为（，1）‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知方程kx2+y2=4，其中k∈R，试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型．‎ ‎【考点】圆锥曲线的共同特征．‎ ‎【分析】本题要确定曲线的类型，关键是讨论k的取值范围，‎ ‎【解答】解　（1）当k=0时，方程变为y=±2，表示两条与x轴平行的直线；‎ ‎（2）当k=1时，方程变为x2+y2=4表示圆心在原点，半径为2的圆；‎ ‎（3）当k＜0时，方程变为﹣=1，表示焦点在y轴上的双曲线．‎ ‎（4）当0＜k＜1时，方程变为+=1，表示焦点在x轴上的椭圆；‎ ‎（5）当k＞1时，方程变为+=1，表示焦点在y轴上的椭圆．‎ ‎　‎ ‎18．已知命题p：函数y=x2+2（a2﹣a）x+a4﹣2a3在[﹣2，+∞）上单调递增．q：关于x的不等式ax2﹣ax+1＞0解集为R．若p∧q假，p∨q真，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】先求出命题p，q对应的等价条件，然后根据复合命题之之间的条件，确定命题的真假，然后确定实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵函数y=x2+2（a2﹣a）x+a4﹣2a3=[x+（a2﹣a）]2﹣a2，在[﹣2，+∞）上单调递增，‎ ‎∴对称轴﹣（a2﹣a）≤﹣2，‎ 即a2﹣a﹣2≥0，解得a≤﹣1或a≥2．‎ 即p：a≤﹣1或a≥2．‎ 由不等式ax2﹣ax+1＞0的解集为R得，‎ 即 解得0≤a＜4‎ ‎∴q：0≤a＜4．‎ ‎∵p∧q假，p∨q真．‎ ‎∴p与q一真一假．‎ ‎∴p真q假或p假q真，‎ 即或 ‎∴a≤﹣1或a≥4或0≤a＜2．‎ 所以实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[0，2）∪[4，+∞）．‎ ‎　‎ ‎19．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ACD；‎ ‎（Ⅲ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）取AC中点G，连接FG、BG，根据三角形中位线定理，得到四边形FGBE为平行四边形，进而得到EF∥BG，再结合线面平行的判定定理得到EF∥面ABC；‎ ‎（Ⅱ）根据已知中△ABC为等边三角形，G为AC的中点，DC⊥面ABC得到BG⊥AC，DC⊥BG，根据线面垂直的判定定理得到BG⊥面ADC，则EF⊥面ADC，再由面面垂直的判定定理，可得面ADE⊥面ACD；‎ ‎（Ⅲ）方法一：四棱锥四棱锥A﹣BCDE分为两个三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC，分别求出三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC的体积，即可得到四棱锥A﹣BCDE的体积．‎ 方法二：取BC的中点为O，连接AO，可证AO⊥平面BCDE，即AO为VA﹣BCDE的高，求出底面面积和高代入棱锥体积公式即可求出四棱锥A﹣BCDE的体积．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）取AC中点G，连接FG、BG，‎ ‎∵F，G分别是AD，AC的中点 ‎ ‎∴FG∥CD，且FG=DC=1．‎ ‎∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等 ‎∴EF∥BG． ‎ EF⊄面ABC，BG⊂面ABC ‎∴EF∥面ABC…‎ ‎（Ⅱ）∵△ABC为等边三角形∴BG⊥AC 又∵DC⊥面ABC，BG⊂面ABC∴DC⊥BG ‎∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC，‎ ‎∴BG⊥面ADC． …‎ ‎∵EF∥BG ‎∴EF⊥面ADC ‎∵EF⊂面ADE，∴面ADE⊥面ADC． …‎ 解：（Ⅲ）‎ 方法一：连接EC，该四棱锥分为两个三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC．‎ ‎．…‎ 方法二：取BC的中点为O，连接AO，则AO⊥BC，又CD⊥平面ABC，‎ ‎∴CD⊥AO，BC∩CD=C，∴AO⊥平面BCDE，‎ ‎∴AO为VA﹣BCDE的高，，∴．‎ ‎　‎ ‎20．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣P的大小．‎ ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（I）连接BD，由已知中四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，我们可得BE⊥AB，PA⊥BE，由线面垂直的判定定理可得BE⊥平面PAB，再由面面平行的判定定理可得平面PBE⊥平面PAB；‎ ‎（II）由（I）知，BE⊥平面PAB，进而PB⊥BE，可得∠PBA是二面角A﹣BE﹣P的平面角．解Rt△PAB即可得到二面角A﹣BE﹣P的大小．‎ ‎【解答】证明：（I）如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，‎ ‎△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB，‎ 又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，‎ 所以PA⊥BE，而PA∩AB=A，因此 BE⊥平面PAB．‎ 又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．‎ 解：（II）由（I）知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE．‎ 又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A﹣BE﹣P的平面角．‎ 在Rt△PAB中，．．‎ 故二面角A﹣BE﹣P的大小为60°．‎ ‎　‎ ‎21．双曲线（a＞0，b＞0）满足如下条件：‎ ‎（1）ab=；‎ ‎（2）过右焦点F的直线l的斜率为，交y轴于点P，线段PF交双曲线于点Q，且|PQ|：|QF|=2：1，求双曲线的方程．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】首先设直线l：y=（x﹣c），并求出P点坐标；然后根据|PQ|：|QF|=2：1，求出Q点坐标，并代入双曲线方程，再由a2+b2=c2，求出a2、b2即可．‎ ‎【解答】解：设直线l：y=（x﹣c），令x=0，得P（0，），‎ 设λ=，Q（x，y），则有，‎ 又Q（）在双曲线上，‎ ‎∴b2（c）2﹣a2（﹣c）2=a2b2，‎ ‎∵a2+b2=c2，∴，‎ 解得=3，又由ab=，可得，‎ ‎∴所求双曲线方程为．‎ ‎　‎ ‎22．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的弦长为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．求△OMN面积的最大值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由椭圆离心率可得a，b的关系，联立直线方程和椭圆方程，结合直线y=x被椭圆C截得的弦长为求得a，b的值，则椭圆方程可求；‎ ‎（2）设A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），可得 ‎，设直线AD的方程为y=kx+m，联立，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．求出BD所在直线的斜率，得到BD的方程，分别求出M，N的坐标，代入三角形面积公式，利用基本不等式求得最值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知，，可得a2=4b2，‎ 联立，得，‎ ‎∴，解得a=2．‎ ‎∴椭圆方程为；‎ ‎（2）设A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），‎ ‎∴，且AB⊥AD，则，‎ 设直线AD的方程为y=kx+m，由题意知k≠0，m≠0，‎ 联立，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线BD的方程为，‎ 令y=0，得x=3x1，即M（3x1，0）．‎ 令x=0，得，即M（3x1，0）．‎ ‎∴．‎ 又∵，当且仅当时，等号成立．‎ ‎∴△OMN面积的最大值为．‎ ‎　‎ ‎2017年1月20日