黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练（三）数学（理）答案

黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练（三）数学（理）答案

大庆实验中学2020届高三综合训练（三）数学试卷 参考答案 ‎1．已知集合， ，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A【详解】解：==，即，‎ 又==，即，故选A.‎ ‎2．是虚数单位，复数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D【详解】‎ ‎，故选：D ‎3．下列命题中是真命题的是（ ）‎ ‎①“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎②命题“，都有”的否定是“，使得”；‎ ‎③数据的平均数为6，则数据的平均数是6；‎ ‎④当时，方程组有无穷多解.‎ A．①②④ B．③④ C．②③ D．①③④‎ ‎【答案】A ‎【详解】①，则有，但，则或，‎ 所以“”是“”的充分不必要条件，所以①正确；‎ ‎②命题“，都有”的否定是“，使得”，所以②正确；‎ ‎③由，可得，故③错误；‎ ‎④当时，即为，‎ 即，所以方程组有无穷多解，④正确.‎ 故选：A.‎ ‎4．二项式的展开式中的系数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A【详解】通项为 令，则，故选：A ‎5．设不等式组表示的平面区域为，若从圆：的内部随机选取一点，则取自的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B【详解】作出中在圆内部的区域，如图所示，因为直线，的倾斜角分别为，，所以由图可得取自的概率为.故选：B ‎6．马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练，跑步时的步幅（一步的距离）一般略低于自身的身高，若某运动员跑完一次全程马拉松用了小时，则他平均每分钟的步数可能为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C【详解】解：千米＝米，小时＝分钟，故运动员每分钟跑米；‎ 若运动员每分钟跑步，，则运动员的身高超过米不太可能；‎ 若运动员每分钟跑步，，则运动员的身高稍超过米不太可能；‎ 若运动员每分钟跑步，，则运动员的身高超过米，基本符合实际，故选：C.‎ ‎7．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ）‎ A．若，，则或 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则【答案】D ‎【详解】选项A：若，，根据线面平行和面面平行的性质，有或，故A正确；‎ 选项B：若，，，由线面平行的判定定理，有，故B正确；‎ 选项C：若，，，故，所成的二面角为，则，故C正确；‎ 选项D，若，，有可能，故D不正确.故选：D ‎8．设函数，则函数的图像可能为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B【详解】定义域为： ‎ ‎，函数为偶函数，排除 ，排除 故选 ‎9．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入，，，，，，，则图中空白框中应填入（ ）‎ A．， B． C．， D．，‎ ‎【答案】A【详解】根据题意为了计算7个数的方差，即输出的，‎ 观察程序框图可知，应填入，，故选：A.‎ ‎10．已知双曲线：的左、右两个焦点分别为，，若存在点满足，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A．2 B． C． D．5【答案】B ‎【详解】.选B.‎ ‎11．已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，若弦的长为，则（ ）‎ A．2或 B．3或 C．4或 D．5或【答案】C ‎【详解】设直线的倾斜角为，则，‎ 所以，，即，‎ 所以直线的方程为.当直线的方程为，‎ 联立，解得和，所以；‎ 同理，当直线的方程为.，综上，或.选C.‎ ‎12．已知四棱锥的四条侧棱都相等，底面是边长为的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为的球面上，则与底面所成角的正弦值为（ ）‎ A． B．或 C． D．或 ‎【答案】D ‎【详解】因为的四条侧棱都相等，底面是边长为的正方形，则点在 面内的射影落在正方形 的中心，连接交于点，设球心为,‎ 连接,则在直线上，，由,解得，又,‎ 所以,所以或，‎ 当时，,则与底面所成角的正弦值为,‎ 当时，,则与底面所成角的正弦值为,‎ 即与底面所成角的正弦值为或，故选D.‎ ‎13．已知平面向量与的夹角为，，，则________.【答案】‎ ‎【详解】由可得，则，‎ 所以.故答案为:‎ ‎14．已知各项均为正数的等比数列的前项积为，，（且），则__________.‎ ‎【答案】【详解】由于，，所以，则，∴，，.故答案为：‎ ‎15．某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则的最大值为________.‎ ‎【答案】16‎ ‎【详解】由三视图之间的关系可知,整理得,‎ 故,解得,当且仅当时等号成立,故答案为:16‎ ‎16．已知曲线：，曲线：，‎ ‎（1）若曲线在处的切线与在处的切线平行，则实数________；‎ ‎（2）若曲线上任意一点处的切线为，总存在上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为________.‎ ‎【答案】－2 【详解】(1),则曲线在处的切线的斜率,‎ 在处的切线的斜率,依题意有,即;‎ ‎(2)曲线上任意一点处的切线的斜率,则与垂直的直线的斜率为,‎ 而过上一点处的切线的斜率,‎ 依题意必有,解得,故答案为:.‎ ‎17．在中，角，，的对边分别为，，且，，‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若的面积为，求．‎ 解：（1），由正弦定理得:，‎ ‎∴，‎ 又由余弦定理得：，‎ ‎，即：，‎ ‎∵，∴.‎ ‎（2）因为，‎ 所以 化简得，∵，则，，‎ ‎∴，∴，得：，‎ 因为的面积为，所以，得，∴‎ 由余弦定理知：， ∴．‎ ‎18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面，是棱 上的一点.‎ ‎（1）证明：平面平面；（2）若，是的中点，，，且二面角的正弦值为，求的值.‎ ‎【详解】(1)因为平面,平面,所以,‎ 又,,所以平面,‎ 又平面,所以平面平面;‎ ‎(2)以为原点,,,分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系:‎ 则,,,,,,‎ 由(1)知平面,故,又是的中点,,‎ ‎,且,∴平面,‎ ‎∴平面的一个法向量为,∵,‎ ‎∴,∴,‎ 设平面的法向量为,则且,‎ ‎∴且,∴,令,则,‎ ‎∴平面的一个法向量,∵二面角的正弦值为,‎ ‎∴,∴,∴或4.‎ ‎19．甲、乙两位同学参加某个知识答题游戏节目，答题分两轮，第一轮为“选题答题环节”第二轮为“轮流坐庄答题环节”.首先进行第一轮“选题答题环节”，答题规则是：每位同学各自从备选的5道不同题中随机抽出3道题进行答题，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，已知甲能答对备选5道题中的每道题的概率都是，乙恰能答对备选5道题中的其中3道题；第一轮答题完毕后进行第二轮“轮流坐庄答题环节”，答题规则是：先确定一人坐庄答题，若答对，继续答下一题…，直到答错，则换人（换庄）答下一题…以此类推.例如若 甲首先坐庄，则他答第1题，若答对继续答第2题，如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙坐庄开始答下一题，…直到乙答错再换成甲坐庄答题，依次类推两人共计答完20道题游戏结束，假设由第一轮答题得分期望高的同学在第二轮环节中最先开始作答，且记第道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为（），其中，已知供甲乙回答的20道题中，甲，乙两人答对其中每道题的概率都是，如果某位同学有机会答第道题且回答正确则该同学加10分，答错（不答视为答错）则减5分，甲乙答题相互独立；两轮答题完毕总得分高者胜出.回答下列问题 ‎（1）请预测第二轮最先开始作答的是谁？并说明理由 ‎（2）①求第二轮答题中，；②求证为等比数列，并求（）的表达式.‎ ‎【详解】(1)设甲选出的3道题答对的道数为,则,‎ 设甲第一轮答题的总得分为,则,所以;‎ ‎(或法二:设甲的第一轮答题的总得分为,则的所有可能取值为30,15,0,-15,‎ 且,,,‎ ‎,‎ 故得分为的分布列为:‎ ‎30‎ ‎15‎ ‎0‎ ‎-15‎ ‎;‎ 设乙的第一轮得分为,则的所有可能取值为30,15,0,‎ 则,,,‎ 故的分布列为:‎ ‎30‎ ‎15‎ ‎0‎ 故,∵,所以第二轮最先开始答题的是甲.‎ ‎(2)①依题意知,,,‎ ‎②依题意有(),‎ ‎∴,(),又,所以是以为首项,为公比的等比数列,‎ ‎∴,∴().‎ ‎20．如图，设是椭圆的左焦点，直线：与轴交于点，为椭圆的长轴，已知，且，过点作斜率为直线与椭圆相交于不同的两点 ，‎ ‎（1）当时，线段的中点为，过作交轴于点，求；‎ ‎（2）求面积的最大值.‎ ‎【详解】（1）∵, ∴，又∵，即 ‎∴∴, ∴椭圆的标准方程为 点的坐标为，点的坐标为直线的方程为 即 ‎ 联立可得，设，‎ 则， ‎ 所以，‎ 直线的斜率为，直线的方程为 ‎ 令，解得即 所以 ‎（2）直线的方程为，当时，三角形不存在 ‎ 当时，设，直线的方程为 联立可得，设 ‎，解得或 ‎， ‎ 点到直线的距离 ‎ 当且仅当，即时（此时适合于△＞0的条件）取等号,‎ 所以当时，直线为时，面积取得最大值为.‎ ‎21．已知函数，‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）设，若的最小值为，证明：.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)‎ ‎，‎ 设 ‎；‎ 所以在上单调递减，在上单调递增 ‎，即 ‎ 所以在上单调递增 ‎(2) ‎ ‎ ，设 ‎， 设 ‎，所以在上单调递增 ‎，即，所以在上单调递增 所以在上恰有一个零点且 ‎ 在上单调递减，在上单调递增 ‎， ‎ 由（1）知在上单调递增 所以 所以 ‎22．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，直线与曲线的交点为、，求的值．‎ ‎【详解】解：（1）的参数方程消去参数，易得的普通方程为，‎ 曲线：，‎ 即，‎ ‎∴，‎ 所以曲线的直角坐标方程为：.‎ ‎（2）的参数方程（为参数），设对应参数为，对应参数为，‎ 将的参数方程与联立得：，‎ 得：，，‎ 所以 即.‎ ‎23．设a、b、c均为正数，‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若，证明.‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为，，均为正数，由重要不等式可得 ‎，，，‎ 以上三式相加可得，即；‎ ‎（Ⅱ）因为，由（Ⅰ）可知，‎ 故，所以得证．‎