黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练（三）数学（理）试题

黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练（三）数学（理）试题

大庆实验中学 2020 届高三综合训练（三）数学试卷第1页，共 4 页 大庆实验中学 2020 届高三综合训练（三）数学试卷 第 I 卷（选择题 共 60 分) 一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的． 1．已知集合  |3A x y x= = − ，  2| 7 6<0B x x x= − + ，则 ()RC A B=（ ） A． |1< <3xx B． |1< <6xx C． |1 3xx D． |1 6xx 2．i 是虚数单位，复数 3 13 iz i = + ，则（ ） A． 13 22z −= B． 3 4z = C． 33 22zi=− D． 33 44zi=+ 3．下列命题中是真命题的是（ ） ①“ 1x  ”是“ 2 1x ”的充分不必要条件； ②命题“ 0x ，都有sin 1x ”的否定是“ 0 0x，使得 0sin 1x  ”； ③数据 1 2 8, , ,x x x 的平均数为 6，则数据 1 2 82 5,2 5, ,2 5x x x− − − 的平均数是 6； ④当 3a =− 时，方程组 2 3 2 1 0 6 xy a x y a − + =  −= 有无穷多解. A．①②④ B．③④ C．②③ D．①③④ 4．二项式 261()2x x− 的展开式中 3x 的系数为（ ） A． 5 2− B． 5 2 C．15 16 D． 3 16− 5．设不等式组 0 30 xy xy + − 表示的平面区域为 ，若从圆C ： 224xy+=的内部随机选取一点 P ，则 取自 的概率为（ ） A． 5 24 B． 7 24 C． 11 24 D． 17 24 6．马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约 42 千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业 的马拉松运动员经过长期的训练，跑步时的步幅（一步的距离）一般略低于自身的身高，若某运动员跑完一次全 程马拉松用了 2.5 小时，则他平均每分钟的步数可能为（） A．60 B．120 C．180 D． 240 大庆实验中学 2020 届高三综合训练（三）数学试卷第2页，共 4 页 7．已知 m ， n 是两条不重合的直线， ，  是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ） A．若 // ， ，则 或 m  B．若 ， ，n  ，则 C．若 mn⊥ ， m ⊥ ， n ⊥ ，则⊥ D．若 ， ，则 8．设函数 1( ) ln1 xf x x x += − ，则函数的图像可能为（ ） A． B． C． D． 9．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之 后， 可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图 所示的程序框图，其中输入 1 15x = ， 2 16x = ， 3 18x = ， 4 20x = ， 5 22x = ， 6 24x = ， 7 25x = ，则图中空白框中应填入（ ） A． 6i  ， 7 SS = B． 6i C． ， 7SS= D． ， 10．已知双曲线C ： 22 221( 0, 0)xy abab− =   的左、右两个焦点分别为 1F ， 2F ，若双曲线上 存在点 P 满足 1 2 1 2: : 4: 6:5PF PF F F = ，则该双曲线的离心率为（ ） A．2 B． 5 2 C． 5 3 D．5 11．已知抛物线 ： 2 4xy= 的焦点为 F ，过点 的直线l 交抛物线 于 A ， B 两点，其中点 在第一象限，若 弦 AB 的长为 25 4 ，则 AF BF = （ ） A．2 或 1 2 B．3 或 1 3 C．4 或 1 4 D．5 或 1 5 12．已知四棱锥 P ABCD- 的四条侧棱都相等，底面是边长为2 的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为 81 4  的球面上，则 PA 与底面 ABCD所成角的正弦值为（ ） A． 2 3 B． 或 5 3 C． 22 3 D． 或 第 II 卷（非选择题 共 90 分) 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知平面向量a 与b 的夹角为 3  ， ( 3, 1)a =−， 1b| |= ，则| 2 |ab−=________. 大庆实验中学 2020 届高三综合训练（三）数学试卷第3页，共 4 页 14．已知各项均为正数的等比数列 na 的前 n 项积为 nT ， 48 4aa = ， 11 22log 3b T = （ 0b  且 1b  ），则b = __________. 15．某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则 xy+ 的最大值为________. 16．已知曲线 1C ： ( ) 2xf x e x= − − ，曲线 2C ： ( ) cosg x ax x=+ ， （1）若曲线 在 0x = 处的切线与 在 2x = 处的切线平行，则实数 a =________； （2）若曲线 上任意一点处的切线为 1l ，总存在 上一点处的切线 2l ，使得 12ll⊥ ，则实数a 的取值范围为 ________. 三、解答题：共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分）在 ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 ，b ，c 且 ( )( ) ( )sin sin sinc a C A a b B− + = + ， 2sin sin cos 2 CAB= ， （1）求 ； （2）若 的面积为 43，求 ． 18．（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P ABCD− 中，底面 ABCD为直角梯形 //AB CD ， AB AD⊥ ， PA ⊥ 平面 ， E 是棱 PC 上的一点. （1）证明：平面 ADE ⊥ 平面 PAB ； （2）若 PE EC= ， F 是 PB 的中点， 3AD = ， 22AB AP CD= = = ， 且二面角 F AD E−−的正弦值为 10 10 ，求 的值. 19．（本小题满分 12 分）甲、乙两位同学参加某个知识答题游戏节目，答题分两轮，第一轮为“选题答题环节” 第二轮为“轮流坐庄答题环节”.首先进行第一轮“选题答题环节”，答题规则是：每位同学各自从备选的 5 道 不同题中随机抽出 3 道题进行答题，答对一题加 10 分，答错一题（不答视为答错）减 5 分，已知甲能答对备 选 5 道题中的每道题的概率都是 2 3 ，乙恰能答对备选 5 道题中的其中 3 道题；第一轮答题完毕后进行第二轮 “轮流坐庄答题环节”，答题规则是：先确定一人坐庄答题，若答对，继续答下一题…，直到答错，则换人 （换庄）答下一题…以此类推.例如若甲首先坐庄，则他答第 1 题，若答对继续答第 2 题，如果第 2 题也答对， 继续答第 3 题，直到他答错则换成乙坐庄开始答下一题，…直到乙答错再换成甲坐庄答题，依次类推两人共计 答完 20 道题游戏结束，假设由第一轮答题得分期望高的同学在第二轮环节中最先开始作答，且记第 道题也 由该同学（最先答题的同学）作答的概率为 nP （1 20n ），其中 1 1P = ，已知供甲乙回答的 20 道题中， 甲，乙两人答对其中每道题的概率都是 1 3 ，如果某位同学有机会答第 道题且回答正确则该同学加 10 分，答 大庆实验中学 2020 届高三综合训练（三）数学试卷第4页，共 4 页 错（不答视为答错）则减 5 分，甲乙答题相互独立；两轮答题完毕总得分高者胜出.回答下列问题 （1）请预测第二轮最先开始作答的是谁？并说明理由 （2）①求第二轮答题中 2P ， 3P ；②求证 1 2nP −  为等比数列，并求 nP （1 20n ）的表达式. 20．（本小题满分 12 分）如图，设 F 是椭圆 22 22: 1( 0)xyC a bab+ =   的左焦点，直线： 2ax c=− 与 x 轴交于 P 点， AB 为椭圆的长轴，已知 8AB = ，且 2PA AF= ，过 点作斜率为k 直线l 与椭圆相交于不同的两点 MN、 ， （1）当 1 4k = 时，线段 MN 的中点为 H ，过 作 HG MN⊥ 交 轴于点G ，求 GF ； （2）求 MNF 面积的最大值. 21．（本小题满分 12 分）已知函数 ( )( ) 1 ln 1f x x x= + + ， ( ) ln 1xg x e x−= + + （1）讨论 ()fx的单调性； （2）设 ( ) ( ) ( )h x f x g x=−，若 ()hx的最小值为 M ，证明： 2 211 Mee− −   − . 选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时在答题卡上 在所选题目对应的题号后打钩． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 的参数方程为 21 2 2 2 xt yt  =+  = （t 为参数），以坐标原点O 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2 2 sin 4 =+ ． （1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （2）设点 ( )2,1P ，直线 与曲线 的交点为 A 、 B ，求 PA PB PB PA+ 的值． 23．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）设 a、b、c 均为正数， （Ⅰ）证明： 2 2 2a b c ab bc ca+ +  + + ； （Ⅱ）若 1ab bc ca+ + = ，证明 3abc+ +  .