2020高中数学 课时分层作业11 定积分的简单应用 新人教A版选修2-2

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2020高中数学 课时分层作业11 定积分的简单应用 新人教A版选修2-2

课时分层作业(十一) 定积分的简单应用 ‎(建议用时:40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1.用S表示图176中阴影部分的面积,则S的值是(  )‎ 图176‎ D [在区间[a,b]上图形在x轴下方,积分为负值,‎ ‎∴S=f(x)dx-f(x)dx.故选D.]‎ ‎2.如图177,阴影部分的面积是(  )‎ 图177‎ A.2       B.2- C. D. C [S= (3-x2-2x)dx==.]‎ ‎3.一物体在力F(x)=(单位:N)的作用下沿与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4(单位:m)处,则力F(x)做的功为(  )‎ A.44 J B.46 J 7‎ C.48 J D.50 J B [W=F(x)dx=10dx+ (3x+4)dx ‎=10x+=46(J).]‎ ‎4.以初速度‎40 m/s竖直向上抛一物体,t s时速度v=40-10t2,则此物体达到最高时的高度为(  )‎ ‎ 【导学号:31062103】‎ A. m B. m C. m D. m A [v=0时物体达到最高,‎ 此时40-10t2=0,则t=2 s.‎ 又∵v0=‎40 m/s,∴t0=0 s.‎ ‎∴h=‎ ‎5.如果1 N的力使弹簧伸长‎1 cm,在弹性限度内,为了将弹簧拉长‎10 cm,拉力所做的功为(  )‎ A.0.5 J B.1 J C.50 J D.100 J A [由于弹簧所受的拉力F(x)与伸长量x成正比,依题意,得F(x)=x,为了将弹簧拉长‎10 cm,拉力所做的功为W=F(x)dx=xdx==50(N·cm)=0.5(J).]‎ 二、填空题 ‎6.若两曲线y=x2与y=cx3(c>0)围成图形的面积是,则c=________.‎ ‎[解析] 由得 由题意可知 ‎[答案]  ‎7.质点运动的速度是(18t-3t2)m/s,质点在[0,8]时间段内所通过的路程为________. ‎ 7‎ ‎【导学号:31062104】‎ ‎[解析] 路程s= (18t-3t2)dt+ (3t2-18t)dt ‎=(9t2-t3) +(t3-9t2) =9×62-63+83-9×82-63+9×62=152(m).‎ ‎[答案] 152(m)‎ ‎8.如图178,阴影部分是由曲线y=,y2=x与直线x=2,y=0围成,则其面积为________.‎ 图178‎ ‎[解析] S=dx+dx ‎=x+ln x ‎=+ln 2.‎ ‎[答案] +ln 2‎ 三、解答题 ‎9.已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图179所示,它与直线y=0在原点处相切,此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为,求a的值.‎ 图179‎ ‎[解] 由图知方程f(x)=0有三个实根,‎ 其中有两个相等的实根x1=x2=0,‎ 于是b=0,‎ 所以f(x)=x2(x+a).‎ 有 [0-(x3+ax2)]dx 7‎ ‎=-=,‎ 所以a=±3.‎ 又-a>0⇒a<0,‎ 所以a=-3.‎ ‎10.一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度v=t2-4t+3(m/s)运动,求:‎ ‎(1)此点在t=4 s时的位置;‎ ‎(2)此点在t=4 s时运动的路程. ‎ ‎ 【导学号:31062105】‎ ‎[解] 因为位置决定于位移,所以它是v(t)在[0,4]上的定积分,而路程是位移的绝对值之和,所以需要判断在[0,4]上哪些时间段的位移为负.‎ ‎(1)在t=4 s时,该点的位移为 即在t=4 s时该点在距出发点 m处.‎ ‎(2)∵v(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3),‎ ‎∴在区间[0,1]及[3,4]上,v(t)≥0,‎ 在区间[1,3]上,v(t)≤0,∴该点在t=4 s时的路程为 S= (t2-4t+3)dt+ (t2-4t+3)dt= (t2-4t+3)dt- (t2-4t+3)dt+ (t2-4t+3)dt=4(m).‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1.已知二次函数y=f(x)的图象如图1710所示,则它与x轴所围成的图形的面积为(  )‎ 图1710‎ A. B. C. D. B [由图可知f(x)=-x2+1.∴f(x)与x轴围成的图形的面积S=‎ 7‎ ‎ (1-x2)dx==-=+=.]‎ ‎2.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是(  )‎ A.1+25ln 5 B.8+25ln C.4+25ln 5 D.4+50ln 2‎ C [令v(t)=0,‎ 得t=4或t=-(舍去),‎ ‎∴汽车行驶距离s=‎ ‎=7t-t2+25ln(1+t) ‎=28-24+25ln 5=4+25ln 5.]‎ ‎3.抛物线y=-x2+4x-3与其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成的面积为________.‎ ‎[解析] 由y′=-2x+4,得在点A、B处切线的斜率分别为2和-2,则两切线方程分别为y=2x-2和y=-2x+6.‎ 由得C(2,2).‎ ‎∴S=S△ABC- (-x2+4x-3)dx ‎=‎ ‎=2-=.‎ ‎[答案]  ‎4.如图1711所示,一物体沿斜面在拉力F的作用下由A经B,C运动到D,其中AB=‎50 m,BC=‎40 m,CD=‎30 m,变力F=(单位:N),在AB段运动时F与运动方向成30°角,在BC段运动时F与运动方向成45°角,在CD段运动时F与运动方向相同,则物体由A运动到D所做的功为________.(≈1.732,≈1.414,精确到1 J) ‎ ‎【导学号:31062106】‎ 7‎ 图1711‎ ‎[解析] 在AB段运动时F在运动方向上的分力F1=Fcos 30°,在BC段运动时F在运动方向上的分力F2=Fcos 45°.‎ 由变力做功公式得:‎ W=cos 45°dx+600‎ ‎=+600‎ ‎= +450+600≈1 723(J).‎ 所以物体由A运动到D变力F所做的功为1 723 J.‎ ‎[答案] 1 723 J ‎5.已知S1为直线x=0,y=4-t2及y=4-x2所围成图形的面积,S2为直线x=2,y=4-t2及y=4-x2所围成图形的面积(t为常数).‎ 图1712‎ ‎(1)若t=,求S2;‎ ‎(2)若t∈(0,2),求S1+S2的最小值.‎ ‎[解] (1)当t=时,‎ ‎(2)当t∈(0,2)时,S1= [(4-x2)-(4-t2)]dx ‎=.‎ S2= [(4-t2)-(4-x2)]dx 7‎ ‎=.‎ 所以S=S1+S2=t3-2t2+.‎ S′=4t2-4t=4t(t-1),‎ 令S′=0,得t=0(舍去)或t=1,‎ 当0<t<1时,S′<0,S单调递减,‎ 当1<t<2时,S′>0,S单调递增,‎ 所以当t=1时,Smin=2.‎ 7‎
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