2020高中数学 第一章 三角函数

2020高中数学 第一章 三角函数

三角函数的诱导公式（1）‎ 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 三角函数的诱导公式（一、二、三、四）‎ ‎1. 能借助单位圆中的三角函数定义推导出诱导公式一～四；‎ ‎2. 掌握诱导公式一、二、三、四，会运用诱导公式化简、求值与证明 填空 解答 三角函数的诱导公式是三角函数的基础，注意掌握本质，灵活应用 二、重难点提示 重点：应用诱导公式进行化简、求值和证明。‎ 难点：诱导公式的推导。‎ ‎◆ 四组诱导公式推导及作用 ‎1. 终边相同的角的诱导公式（公式一）‎ 由三角函数定义或单位圆中的三角函数线推知，终边相同的角的同一三角函数值相等，即得诱导公式一：‎ sin（α＋2kπ）＝sinα（k∈Z）；‎ cos（α＋2kπ）＝cosα（k∈Z）；‎ tan（α＋2kπ）＝tanα（k∈Z）。‎ ‎2. 终边关于x轴对称的角的诱导公式（公式二）‎ 设角α的终边与单位圆的交点P（cosα，），角-α的终边与单位圆的交点，由于角α的终边与角-α的终边关于x轴对称，所以P与关于x轴对称，所以sin（－α）＝－sinα；cos（－α）＝cosα；所以，‎ 故诱导公式二：‎ sin（－α）＝－sinα；‎ cos（－α）＝cosα；‎ tan（－α）＝－tanα。‎ ‎3. 终边关于y轴对称的角的诱导公式（公式三）‎ 设角α的终边与单位圆的交点P（cosα，），角的终边与单位圆的交点，由于角α的终边与角的终边关于x轴对称，则P与关于轴对称，所以sin（π－α）＝sinα；cos（π－α）＝－cosα；所以，‎ 故诱导公式三 4‎ sin（π－α）＝sinα；‎ cos（π－α）＝－cosα；‎ tan（π－α）＝－tanα。‎ ‎4. 终边关于原点对称的角的诱导公式（公式四）‎ 设角α的终边与单位圆的交点P（cosα，），角的终边与单位圆的交点，由于角α的终边与角的终边关于原点对称，则P与关于原点对称，所以sin（π＋α）＝－sinα；cos（π＋α）＝－cosα；所以，‎ 故诱导公式四 sin（π＋α）＝－sinα；‎ cos（π＋α）＝－cosα；‎ tan（π＋α）＝tanα。‎ ‎5. 明确各诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将角转化为0～2π求值 公式二 将负角转化为正角求值 公式三 将0～π内的角转化为0～之间的角求值 ‎ 公式四 将角转化为0～求值 ‎【核心归纳】诱导公式的记忆 诱导公式一～四的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”。其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号。将α看成锐角，只是为了公式记忆的方便，实际上α可以是任意角。‎ 注意：公式中的α可以是任意角。‎ 例题1 （给角求值）‎ 计算：（1）sin（－）－cos（－）；‎ ‎（2）。‎ 思路分析：利用诱导公式将负角、大角的三角函数转化为锐角的三角函数。‎ 答案：（1）原式＝－sin（4π＋）－cos（2π＋）＝－sin（π＋）－cos（π＋）＝sin＋cos＝＋＝1；‎ 4‎ ‎（2）原式＝＝‎ ‎＝＝‎ ‎＝－1。‎ 技巧点拨：利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：‎ 例题2 （给值求值）‎ 已知sin β＝，cos（α＋β）＝－1，则sin（α＋2β）＝________。‎ 思路分析：‎ 先由cos（α＋β）＝－1，可求出α＋β，再代入sin（α＋β）中利用诱导公式求解。‎ 答案：由cos（α＋β）＝－1得，‎ α＋β＝2kπ＋π（k∈Z），‎ 则α＋2β＝（α＋β）＋β＝2kπ＋π＋β（k∈Z），‎ ‎∴sin（α＋2β）＝sin（2kπ＋π＋β）‎ ‎＝sin（π＋β）＝－sin β＝－。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 找出所求角和已知角之间的关系，把所求角的三角函数化为已知角的三角函数求解。‎ ‎2. 先用诱导公式转化，再用同角基本关系式求解，因此当用到平方关系时确定符号非常关键，符号不确定时还要分类讨论。‎ 统一形式，巧寻目标角与已知角的关系 ‎【满分训练】设tan（α＋π）＝，求证：＝。‎ 思路分析：本题主要考查诱导公式，从目标角与已知角的关系入手，将所求各角用α＋‎ 4‎ π表示，然后用诱导公式和三角函数关系式求角。‎ 答案：‎ 左边＝＝‎ ‎＝＝＝右边，‎ ‎∴等式成立。‎ 技巧点拨：对于利用诱导公式证明三角恒等式的问题，解题的关键在于公式的灵活运用，思路在于如何配角，如何分配角之间的关系，其中要特别注意函数名称与正负号的正确判断。‎ 4‎