数学文·贵州省遵义市湄潭县湄江高中2017届高三上学期第二次月考数学试卷（文科） Word版含解析

数学文·贵州省遵义市湄潭县湄江高中2017届高三上学期第二次月考数学试卷（文科） Word版含解析

2016-2017 学年贵州省遵义市湄潭县湄江高中高三（上）第二次月 考数学试卷（文科） 一、选择题．（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．已知集合 M={x|x＜1}，N={x|2x＞1}，则 M∩N=（ ） A． ∅ B．{x|x＜0} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1} 2．“a＞0”是“|a|＞0”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．复数 =（ ） A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i 4．已知函数 f（x）= ，若 f（f（ ））=4，则 a=（ ） A．16 B．15 C．2 D． 5．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的 = （ ） A． B．8 C．9 D． 6．甲、乙、丙三人站在一起照相留念，乙正好站中间的概率为（ ） A． B． C． D． 7．设 m，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A．m∥α，n∥β且α∥β，则 m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则 m⊥n C．m⊥α，n ⊂ β，m⊥n，则α⊥β D．m ⊂ α，n ⊂ α，m∥β，n∥β，则α∥β 8．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部 分体积的比值为（ ） A． B． C． D． 9．已知函数 f（x）的定义域为 R．当 x＜0 时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1 时，f（﹣x）= ﹣f（x）；当 x＞ 时，f（x+ ）=f（x﹣ ）．则 f（6）=（ ） A．﹣2 B．1 C．0 D．2 10．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sn=2an﹣4，n ∈ N*，则 an=（ ） A．2n+1 B．2n C．2n﹣1 D．2n﹣2 11．如图，是函数 y=f（x）的导函数 y=f′（x）的图象，则下面哪一个判断是正确的（ ） A．在区间（﹣3，1）内 y=f（x）是增函数 B．在区间（1，3）内 y=f（x）是减函数 C．在区间（4，5）内 y=f（x）是增函数 D．在 x=2 时，y=f（x）取得极小值 12．已知函数 f（x）=丨 x﹣2 丨+1，g（x）=kx．若方程 f（x）=g（x）有两个不相等的实根， 则实数 k 的取值范围是（ ） A．（0， ） B．（ ，1） C．（1，2） D．（2，+∞） 二、填空题．（本题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．设向量 =（m，1）， =（1，2），且| + |2=| |2+| |2，则 m= ． 14．曲线 y=lnx 在点 M（e，1）处切线的方程为 ． 15．若变量 x，y 满足 ，则 x2+y2 的最大值是 ． 16．双曲线 ﹣ =1 的离心率为 ，则 m 等于 ． 三、解答题．（本题 6 小题，共 70 分） 17．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 asin2B= bsinA． （1）求 B； （2）已知 cosA= ，求 sinC 的值． 18．在甲、乙两个盒子中分别装有编号为 1，2，3，4 的四个形状相同的小球，现从甲、乙两 个盒子中各取出 2 个小球，每个小球被取出的可能性相等． （1）求从甲盒中取出的两个球上的编号不都是奇数的概率； （2）求从甲盒取出的小球上编号之和与从乙盒中取出的小球上编号之和相等的概率． 19．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，E、F 分别为 PC、BD 的中点，侧面 PAD⊥底面 ABCD，且 PA=PD= AD． （1）求证：EF∥平面 PAD； （2）求三棱锥 C﹣PBD 的体积． 20．已知椭圆 E： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，右焦点为 F（1，0）． （1）求椭圆的方程； （2）设点 O 为坐标原点，过点 F 作直线 l 与椭圆 E 交于 M，N 两点，若 OM⊥ON，求直线 l 的方程． 21．设函数 f（x）= ﹣klnx，k＞0． （1）求 f（x）的单调区间和极值； （2）证明：若 f（x）存在零点，则 f（x）在区间（1， ]上仅有一个零点． （在 22、23、24 中任选一题作答） 22．已知直线 l： （t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系，曲线 C 的坐标方程为ρ=2cosθ． （1）将曲线 C 的极坐标方程化为直坐标方程； （2）设点 M 的直角坐标为（5， ），直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|MA|•|MB|的值． 23．如图，△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E． （1）证明：△ABE∽△ADC； （2）若△ABC 的面积 S= AD•AE，求∠BAC 的大小． 24．解下列不等式： （1）|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0． （2）|x+3|﹣|2x﹣1|＜ +1． 2016-2017 学年贵州省遵义市湄潭县湄江高中高三（上） 第二次月考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题．（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．已知集合 M={x|x＜1}，N={x|2x＞1}，则 M∩N=（ ） A． ∅ B．{x|x＜0} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1} 【考点】交集及其运算． 【分析】利用指数函数的单调性求出集合 N 中的解集；利用交集的定义求出 M∩N． 【解答】解：N={x|2x＞1}={x|x＞0} ∵M={x|x＜1}， ∴M∩N={X|0＜X＜1} 故选 D 2．“a＞0”是“|a|＞0”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件． 【分析】本题主要是命题关系的理解，结合|a|＞0 就是{a|a≠0}，利用充要条件的概念与集 合的关系即可判断． 【解答】解：∵a＞0 ⇒ |a|＞0，|a|＞0 ⇒ a＞0 或 a＜0 即|a|＞0 不能推出 a＞0， ∴a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件 故选 A 3．复数 =（ ） A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】将分子分线同乘 2+i，整理可得答案． 【解答】解： = = =i， 故选：A 4．已知函数 f（x）= ，若 f（f（ ））=4，则 a=（ ） A．16 B．15 C．2 D． 【考点】函数的值． 【分析】由已知求得 f（ ），然后分类求解得答案． 【解答】解：由 f（x）= ，知 f（ ）=a+1， 若 a≤0，则 f（f（ ））=2a+3=4，得 a= （舍）； 若 a＞0，则 f（f（ ））=log2（a+1）=4，得 a=15． 故选：B． 5．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的 = （ ） A． B．8 C．9 D． 【考点】茎叶图． 【分析】求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；找中位数要把数据按从小到大的顺 序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，据此求出它们的中位数和平 均数，即可求出答案． 【解答】解：甲平均数是： （10+m+20+22+28）， 乙平均数是： （19+n+20+26）， 甲数据从小到大排列，位于中间的两个数的平均数是 21，所以中位数 21． 乙数据从小到大排列，位于中间的数是 20+n，所以中位数 20+n． 根据题意得： ， ∴m=8，n=1， ∴ =8． 故选：B． 6．甲、乙、丙三人站在一起照相留念，乙正好站中间的概率为（ ） A． B． C． D． 【考点】古典概型及其概率计算公式． 【分析】所有的坐法共有 种，乙正好坐中间的坐法有 种，由此可得乙正好坐中间的概率 【解答】解：所有的坐法共有 A 种，乙正好坐中间的坐法有 A 种， 由此可得乙正好坐中间的概率为： 故选 B． 7．设 m，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A．m∥α，n∥β且α∥β，则 m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则 m⊥n C．m⊥α，n ⊂ β，m⊥n，则α⊥β D．m ⊂ α，n ⊂ α，m∥β，n∥β，则α∥β 【考点】平面与平面垂直的性质． 【分析】对于 A、由面面平行的判定定理，得 A 是假命题 对于 B、由 m⊥α，n⊥β且α⊥β，可知 m 与 n 不平行，借助于直线平移先得到一个与 m 或 n 都平行的平面， 则所得平面与α、β都相交，根据 m 与 n 所成角与二面角平面角互补的结论． 对于 C、通过直线与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的性质定理，判断正误即可； 对于 D、利用平面与平面平行的判定定理推出结果即可． 【解答】解：对于 A，若 m∥α，n∥β且α∥β，说明 m、n 是分别在平行平面内的直线，它们 的位置关系应该是平行或异面，故 A 错； 对于 B，由 m⊥α，n⊥β且α⊥β，则 m 与 n 一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通 过平移使得 m 与 n 相交， 且设 m 与 n 确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以 m 与 n 所成的角为 90°， 故命题 B 正确． 对于 C，根据面面垂直的性质，可知 m⊥α，n ⊂ β，m⊥n，∴n∥α，∴α∥β也可能α∩β=l，也 可能α⊥β，故 C 不正确； 对于 D，若“m ⊂ α，n ⊂ α，m∥β，n∥β”，则“α∥β”也可能α∩β=l，所以 D 不成立． 故选 B． 8．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部 分体积的比值为（ ） A． B． C． D． 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计 算即可． 【解答】解：设正方体的棱长为 1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥， ∴正方体切掉部分的体积为 ×1×1×1= ， ∴剩余部分体积为 1﹣ = ， ∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ． 故选：D． 9．已知函数 f（x）的定义域为 R．当 x＜0 时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1 时，f（﹣x）= ﹣f（x）；当 x＞ 时，f（x+ ）=f（x﹣ ）．则 f（6）=（ ） A．﹣2 B．1 C．0 D．2 【考点】抽象函数及其应用． 【分析】求得函数的周期为 1，再利用当﹣1≤x≤1 时，f（﹣x）=﹣f（x），得到 f（1）=﹣f （﹣1），当 x＜0 时，f（x）=x3﹣1，得到 f（﹣1）=﹣2，即可得出结论． 【解答】解：∵当 x＞ 时，f（x+ ）=f（x﹣ ）， ∴当 x＞ 时，f（x+1）=f（x），即周期为 1． ∴f（6）=f（1）， ∵当﹣1≤x≤1 时，f（﹣x）=﹣f（x）， ∴f（1）=﹣f（﹣1）， ∵当 x＜0 时，f（x）=x3﹣1， ∴f（﹣1）=﹣2， ∴f（1）=﹣f（﹣1）=2， ∴f（6）=2． 故选：D． 10．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sn=2an﹣4，n ∈ N*，则 an=（ ） A．2n+1 B．2n C．2n﹣1 D．2n﹣2 【考点】数列递推式． 【分析】分 n=1 时与 n≥2 时讨论，从而解得． 【解答】解：当 n=1 时，a1=2a1﹣4， 解得，a1=4； 当 n≥2 时，Sn=2an﹣4，Sn﹣1=2an﹣1﹣4， 故 an=2an﹣2an﹣1， 故 an=2an﹣1， 故数列{an}是以 4 为首项，2 为公比的等比数列； 故 an=2n+1， 故选：A． 11．如图，是函数 y=f（x）的导函数 y=f′（x）的图象，则下面哪一个判断是正确的（ ） A．在区间（﹣3，1）内 y=f（x）是增函数 B．在区间（1，3）内 y=f（x）是减函数 C．在区间（4，5）内 y=f（x）是增函数 D．在 x=2 时，y=f（x）取得极小值 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】由于 f′（x）≥0 ⇒ 函数 f（x）d 单调递增；f′（x）≤0 ⇒ 单调 f（x）单调递减，观察 f′ （x）的图象可知，通过观察 f′（x）的符号判定函数的单调性． 【解答】解：由于 f′（x）≥0 ⇒ 函数 f（x）单调递增；f′（x）≤0 ⇒ 单调 f（x）单调递减， 观察 f′（x）的图象可知， 当 x ∈ （﹣3，1）时，函数先递减，后递增，故 A 错误， 当 x ∈ （1，3）时，函数先增后减，故 B 错误， 当 x ∈ （4，5）时函数递增，故 C 正确， 由函数的图象可知函数在 4 处取得函数的极小值，故 D 错误 故选：C． 12．已知函数 f（x）=丨 x﹣2 丨+1，g（x）=kx．若方程 f（x）=g（x）有两个不相等的实根， 则实数 k 的取值范围是（ ） A．（0， ） B．（ ，1） C．（1，2） D．（2，+∞） 【考点】函数的零点． 【分析】画出函数 f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数 f（x）的图象（蓝线）和函数 g（x） 的图象（红线）有两个交点，数形结合求得 k 的范围． 【解答】解：由题意可得函数 f（x）的图象（蓝线） 和函数 g（x）的图象（红线）有两个交点， 如图所示：KOA= ， 数形结合可得 ＜k＜1， 故选：B． 二、填空题．（本题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．设向量 =（m，1）， =（1，2），且| + |2=| |2+| |2，则 m= ﹣2 ． 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可． 【解答】解：| + |2=| |2+| |2， 可得 • =0． 向量 =（m，1）， =（1，2）， 可得 m+2=0，解得 m=﹣2． 故答案为：﹣2． 14．曲线 y=lnx 在点 M（e，1）处切线的方程为 x﹣ey=0 ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】由 y=lnx，知 ，故曲线 y=lnx 在点 M（e，1）处切线的斜率 k= ，由此能求 出曲线 y=lnx 在点 M（e，1）处切线的方程． 【解答】解：∵y=lnx，∴ ， ∴曲线 y=lnx 在点 M（e，1）处切线的斜率 k= ， 曲线 y=lnx 在点 M（e，1）处切线的方程为： y﹣1= ）， 整理，得 x﹣ey=0． 故答案为：x﹣ey=0． 15．若变量 x，y 满足 ，则 x2+y2 的最大值是 10 ． 【考点】简单线性规划． 【分析】由约束条件作出可行域，再由 x2+y2 的几何意义，即可行域内动点与原点距离的平方 求得答案． 【解答】解：由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 B（3，﹣1）， x2+y2 的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值|OB|2=32+（﹣1）2=10， 故答案为：10． 16．双曲线 ﹣ =1 的离心率为 ，则 m 等于 9 ． 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】利用双曲线的离心率计算公式 即可得出． 【解答】解：∵双曲线 可得 a2=16，b2=m， 又离心率为 ，则 ， 解得 m=9． 故答案为 9． 三、解答题．（本题 6 小题，共 70 分） 17．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 asin2B= bsinA． （1）求 B； （2）已知 cosA= ，求 sinC 的值． 【考点】解三角形． 【分析】（1）利用正弦定理将边化角即可得出 cosB； （2）求出 sinA，利用两角和的正弦函数公式计算． 【解答】解：（1）∵asin2B= bsinA， ∴2sinAsinBcosB= sinBsinA， ∴cosB= ，∴B= ． （2）∵cosA= ，∴sinA= ， ∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB= = ． 18．在甲、乙两个盒子中分别装有编号为 1，2，3，4 的四个形状相同的小球，现从甲、乙两 个盒子中各取出 2 个小球，每个小球被取出的可能性相等． （1）求从甲盒中取出的两个球上的编号不都是奇数的概率； （2）求从甲盒取出的小球上编号之和与从乙盒中取出的小球上编号之和相等的概率． 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】（1）先求出基本事件总数，然后记事件“甲盒中取出的两个球上的编号不都是奇数” 为事件 A，列举出事件 A 所包含的基本事件，最后根据古典概型的概率公式解之即可； （2）记事件“从甲盒取出的小球上编号之和与从乙盒中取出的小球上编号之和相等”为事件 B， 列举出事件 B 所包含的基本事件，最后根据古典概型的概率公式解之即可 【解答】解：由题意可知，从甲、乙两个盒子中各取 1 个小球的基本事件总数为 16． （1）记“从甲盒中取出的两个球上的编号不都是奇数”为事件 A，由题意可知，从甲盒中取 2 个小球的基本事件总数为 6，则事件 A 的基本事件有： （1，2），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共 5 个． ∴ ， （2）记“从甲盒取出的小球上编号之和与从乙盒中取出的小球上编号之和相等”为事件 B，由 题意可知，从甲、乙两个盒子中各取 2 个小球的基本事件总数为 36， 则事件 B 包含：（12，12），（13，13），（14，14），（14，23），（23，14），（23，23），（24，24） （34，34）共 8 个基本事件． ∴ 19．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，E、F 分别为 PC、BD 的中点，侧面 PAD⊥底面 ABCD，且 PA=PD= AD． （1）求证：EF∥平面 PAD； （2）求三棱锥 C﹣PBD 的体积． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）连接 AC，则 F 是 AC 的中点，E 为 PC 的中点，要证 EF∥平面 PAD，只需证明 EF∥PA 即可； （2）求三棱锥 C﹣PBD 的体积，转化为 P﹣BCD 的体积，求出底面面积和高，即可求出体积． 【解答】解：（1）证明：连接 AC，则 F 是 AC 的中点，E 为 PC 的中点 故在△CPA 中，EF∥PA， 且 PA ⊂ 平面 PAD，EF ⊄ 平面 PAD， ∴EF∥平面 PAD （2）取 AD 的中点 M，连接 PM， ∵PA=PD， ∴PM⊥AD 又平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD=AD， ∴PM⊥平面 ABCD， ∴ 20．已知椭圆 E： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，右焦点为 F（1，0）． （1）求椭圆的方程； （2）设点 O 为坐标原点，过点 F 作直线 l 与椭圆 E 交于 M，N 两点，若 OM⊥ON，求直线 l 的方程． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）根据椭圆的几何性质，求出 a、b 的值即可； （2）讨论直线 MN 的斜率是否存在，设出 MN 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关 系，结合 OM⊥ON， • =0 求出直线的斜率 k，即可求出直线 l 的方程． 【解答】解：（1）依题意得，c=1，∴ ；… 解得 a= ，b=1； ∴椭圆 E 的标准方程为 +y2=1；… （2）设 M（x1，y1），N（x2，y2）， ①当 MN 垂直于 x 轴时，MN 的方程为 x=1，不符题意；… ②当 MN 不垂直于 x 轴时，设 MN 的方程为 y=k（x﹣1）；… 由 得：[1+2k2]x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，… ∴x1+x2= ，x1•x2= ；… ∴y1•y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]= ； 又∵OM⊥ON，∴ • =0； ∴x1•x2+y1y2= =0， 解得 k=± ，… ∴直线 l 的方程为：y=± （x﹣1）．… 21．设函数 f（x）= ﹣klnx，k＞0． （1）求 f（x）的单调区间和极值； （2）证明：若 f（x）存在零点，则 f（x）在区间（1， ]上仅有一个零点． 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）利用 f'（x）≥0 或 f'（x）≤0 求得函数的单调区间并能求出极值； （2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况． 【解答】解：（1）由 f（x）= f'（x）=x﹣ 由 f'（x）=0 解得 x= f（x）与 f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下： X （0， ） （ ） f'（x） ﹣ 0 + f（x） ↓ ↑ 所以，f（x）的单调递增区间为（ ），单调递减区间为（0， ）； f（x）在 x= 处的极小值为 f（ ）= ，无极大值． （2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为 f（ ）= ． 因为 f（x）存在零点，所以 ，从而 k≥e 当 k=e 时，f（x）在区间（1， ）上单调递减，且 f（ ）=0 所以 x= 是 f（x）在区间（1， ）上唯一零点． 当 k＞e 时，f（x）在区间（0， ）上单调递减，且 ， 所以 f（x）在区间（1， ）上仅有一个零点． 综上所述，若 f（x）存在零点，则 f（x）在区间（1， ]上仅有一个零点． （在 22、23、24 中任选一题作答） 22．已知直线 l： （t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系，曲线 C 的坐标方程为ρ=2cosθ． （1）将曲线 C 的极坐标方程化为直坐标方程； （2）设点 M 的直角坐标为（5， ），直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|MA|•|MB|的值． 【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得 x2+y2=2x， 即得它的直角坐标方程； （2）直线 l 的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论． 【解答】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1； （2）直线 l： （t 为参数），普通方程为 ，（5， ）在直线 l 上， 过点 M 作圆的切线，切点为 T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18， 由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18． 23．如图，△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E． （1）证明：△ABE∽△ADC； （2）若△ABC 的面积 S= AD•AE，求∠BAC 的大小． 【考点】圆內接多边形的性质与判定． 【分析】（1）要判断两个三角形相似，可以根据三角形相似判定定理进行证明，但注意观察 已知条件中给出的是角的关系，故采用判定定理 1 更合适，故需要再找到一组对应角相等， 由圆周角定理，易得满足条件的角． （2）根据（1）的结论，我们可得三角形对应对成比例，由此我们可以将△ABC 的面积 转化为 S= AB•AC，再结合三角形面积公式，不难得到∠BAC 的大小． 【解答】证明：（1）由已知△ABC 的角平分线为 AD， 可得∠BAE=∠CAD 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角， 所以∠AEB=∠ACD 故△ABE∽△ADC． 解：（2）因为△ABE∽△ADC， 所以 ， 即 AB•AC=AD•AE． 又 S= AB•ACsin∠BAC， 且 S= AD•AE， 故 AB•ACsin∠BAC=AD•AE． 则 sin∠BAC=1， 又∠BAC 为三角形内角， 所以∠BAC=90°． 24．解下列不等式： （1）|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0． （2）|x+3|﹣|2x﹣1|＜ +1． 【考点】绝对值不等式的解法． 【分析】（1）平方，求出 x 的范围即可；（2）通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集，取并 集即可． 【解答】解：（1）∵|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0， ∴|2x+1|＞2|x﹣1|， ∴（2x+1）2＞4（x﹣1）2， 解得：x＞0， 故不等式的解集是{x|x＞0}； （2）①当 x＜﹣3 时， 原不等式化为﹣（x+3）﹣（1﹣2x）＜ +1， 解得 x＜10，∴x＜﹣3． ②当﹣3≤x＜ 时， 原不等式化为（x+3）﹣（1﹣2x）＜ +1， 解得 x＜﹣52，∴﹣3≤x＜﹣ ， ③当 x≥ 时， 原不等式化为（x+3）+（1﹣2x）＜ +1， 解得 x＞2，∴x＞2， 综上可知，原不等式的解集为：{x|x＜﹣ 或 x＞2}． 2016 年 11 月 25 日