2018-2019学年福建省宁德市高中同心顺联盟校高一下学期期中考试数学试题

2018-2019学年福建省宁德市高中同心顺联盟校高一下学期期中考试数学试题

‎2018-2019学年福建省宁德市高中同心顺联盟校高一下学期期中考试数学试题 ‎ ‎ ‎ ‎（考试时间120分钟，满分150分）‎ ‎　 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂．‎ ‎1．直线的倾斜角为（　　）‎ A．30o B．150o C． 120o D．60o ‎2．当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ）‎ A. 三点确定一平面 B. 不共线三点确定一平面 C. 两条相交直线确定一平面 D. 两条平行直线确定一平面 ‎3.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，‎ 与所成角的大小为（ ） ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎4. 已知点在圆C:，则的取值范围（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．对于不同的直线及平面下列命题中错误的是（ ）‎ A.若则 B.若则 C.若则 D.若则 ‎6．圆和圆的位置关系是(　　)‎ A．内切 B．外切 C．相交 D．外离 ‎7．在同一直角坐标系中，能正确表示直线与的形状是( )‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为（　　）‎ A．6 B．7 C．2 D．4 ‎ ‎ ‎ ‎9.若圆上有个点到直线的距离为1，则等于 （ ）‎ A．2 B．1 C. 4 D．3‎ ‎10．在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2．将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（　　）‎ A． B． C．2π D． ‎ ‎11.如图：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设直线A1B与平面A1DCB1所成角为θ1，二面角A1﹣DC﹣A的大小为θ2，则θ1，θ2为（　　）‎ A．30o，45o B．45o，30o C．30o，60o D．60o，45o ‎12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是（ ）‎ A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面ABC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面BDC 二、填空题：每小题5分，共20分.‎ ‎13.在空间直角坐标系中，设，且，则 ．‎ ‎14. 已知圆C:，点P在圆C上运动，则OP的中点M的轨迹方程　　．‎ ‎（O为坐标原点）‎ ‎15．一直三棱柱的每条棱长都是，且每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为　　‎ ‎16．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且，则下列结论中正确的是　　．‎ ‎①EF∥平面ABCD；②△AEF的面积与与△BEF的面积相等 ‎③平面ACF⊥平面BEF； ‎ ‎④三棱锥E﹣ABF的体积为定值； ‎ 三、解答题：要求写出过程，共70分.‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知三个顶点是，，.‎ ‎（1）求边上的垂直平分线的直线方程；‎ ‎（2）求的面积 ‎18．(12分)如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D是AB的中点．‎ ‎（1）求证：AC⊥BC1； ‎ ‎（2）求证：AC1∥平面CDB1；‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知圆及直线，直线被圆截得的弦长为.（1）求的值； ‎ ‎（2）求过点M并与圆相切的切线MT方程.‎ ‎20．(12分)已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD＝，面ABCD⊥面PAD，E为CD的中点．‎ ‎(1)求证：PD⊥平面PAB；‎ ‎(2)求三棱锥P－ABE的体积．‎ ‎21．（本题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，平面， ， ，，‎ ‎，为中点．‎ ‎(1) 求证：平面⊥平面；‎ ‎(2)线段上是否存在一点，使∥平面?‎ 若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ ‎22．(12分)已知直线l：(k－1)x－2y＋5－3k＝0(k∈R)恒过定点P，圆C经过点A(4,0)和点P，且圆心在直线x－2y＋1＝0上．‎ ‎(1) 求圆C的方程；‎ ‎(2) 已知点P为圆C直径的一个端点，若另一端点为点Q，问y轴上是否存在一点M(0，m)，使得△PMQ为直角三角形，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．‎ 宁德市高中同心顺联盟校 ‎ 2018—2019学年第二学期期中考试高一数学答案卷 ‎ （考试时间：120分钟　　满分：150分 ）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ ‎1.C　2. B　3. B 4. A 5.C 6. C 7.D 8. A 9. B 10.D 11．A 12.B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．1 14. 15. 21π 16. ①③④ ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知三个顶点是，，.‎ ‎（Ⅰ）求边上的垂直平分线的直线方程；‎ ‎（Ⅱ）求的面积 ‎17. （本小题满分10分）‎ 解：（1），‎ ‎ ， …………………2分 ‎ ‎ 则所求直线的斜率为： ………………………………3分 又的中点的坐标为，所以边的上的中垂线所在的直线方程为： ‎ ‎ ……………………………5分 ‎ （2）直线的方程为： .。。。6分 ‎ 则点到直线： 的距离为：‎ ‎ ……………8分 ‎|BC|=………9分 S=8………………10分 ‎ ‎18．(12分)如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D是AB的中点．‎ ‎（1）求证：AC⊥BC1；‎ ‎（2）求证：AC1∥平面CDB1；‎ ‎【解析】（1）证明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，‎ 底面三边长AC＝6，BC＝8，‎ AB＝10，∴AC⊥BC．……………………………2分 又∵C1C⊥AC．BC∩C1C=C BC⊂平面BCC1B1, C1C ⊂平面BCC1B1‎ ‎∴AC⊥平面BCC1B1．……………………………4分 ‎∵BC1⊂平面BCC1B，……………………………5分 ‎∴AC⊥BC1．……………………………6分 ‎（2）证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE，…………7分 又四边形BCC1B1为正方形．‎ ‎∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1．……………9分 ‎∵DE⊂平面CDB1，AC1平面CDB1，……………………………11分 ‎∴AC1∥平面CDB1．……………………………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知圆及直线，直线被圆截得的弦长为.‎ ‎（Ⅰ）求的值； ‎ ‎（Ⅱ）求过点M并与圆相切的切线MT方程.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（1）依题意可得圆心，‎ 则圆心到直线的距离，…………………2分 由勾股定理可知，代入化简得，………………4分 解得，又，所以；…………6分 （2） 由（1）知圆， 又M在圆外，‎ ‎①当切线方程的斜率存在时，设方程为，‎ 由圆心到切线的距离可解得 ，……………………………8分 切线方程为…………9分 ‎②当过斜率不存在，易知直线与圆相切，……………………………11分 综合①②可知切线方程为或.…………12分 ‎20．(12分)已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD＝，面ABCD⊥面PAD，E为CD的中点．‎ ‎(1)求证：PD⊥平面PAB；‎ ‎(2)求三棱锥P－ABE的体积．‎ 解：(1)证明：∵面ABCD⊥面PAD, 面ABCD面PAD=AD,AB⊥AD,AB⊂面ABCD ‎∴AB⊥面PAD, PD⊂面PAD∴PD⊥AB.…………………2分 ‎∵PA＝PD＝，AD＝2，∴PA2＋PD2＝AD2，‎ ‎∴PD⊥PA. ……………………………4分 又PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB,AB⊂平面PAB ‎∴PD⊥平面PAB. ……………………………6分 ‎(2)∵平面PAD⊥平面ABCD.‎ 过P作PO⊥AD于O，则PO⊥平面ABCD，‎ ‎∴PO为三棱锥P－ABE的高，……………………………9分 ‎∴VP－ABE＝S△ABE·PO＝×1××2×2＝.……………12分 ‎21．（本题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，平面， ， ，，，为中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面⊥平面；‎ ‎（Ⅱ）线段上是否存在一点，使∥平面?‎ 若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ ‎(Ⅰ)连接BD,在RT△DAB中,BD==2 …(1分)‎ 知△DBC是等腰三角形。‎ 又∵E为BC的中点。‎ ‎∴DE⊥BC  …(2分)‎ ‎∵PD⊥平面ABCD，且BC⊂平面ABCD ‎∴PD⊥BC …(3分)‎ ‎∵PD∩DE=D ‎∴BC⊥平面PDE …(4分)‎ 又∵BC⊂平面PBC ‎∴平面PBC⊥平面PDE …(5分)‎ ‎(Ⅱ)线段PC上存在一点F,且PF/PC=1/3时,有PA∥平面BDF.…(6分)‎ 证明如下：‎ 连接AC交BD于点O,在平面PAC中过点O作OF∥PA,则交PC于F…(7分)‎ 又∵OF⊂平面BDF，PA⊈平面BDF   ‎ ‎∴PA∥平面BDF      …(9分)‎ ‎∵四边形ABCD中AB∥CD，‎ ‎∴易知△ABO∽△CDO 又∵CD=2AB=2，‎ ‎∴AO/OC=AB/CD=1/2   …(10分)‎ ‎∵OF∥PA ‎∴PF/FC=AO/CO=1/2  …(11分)‎ ‎∴当PF/PC=1/3时,PA∥平面BDF …(12分)‎ ‎22．(12分)已知直线l：(k－1)x－2y＋5－3k＝0(k∈R)恒过定点P，圆C经过点A(4,0)和点P，且圆心在直线x－2y＋1＝0上．‎ ‎(1) 求圆C的方程；‎ ‎(2) 已知点P为圆C直径的一个端点，若另一端点为点Q，问y轴上是否存在一点M(0，m)，使得△PMQ为直角三角形，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．‎ 解：(1)直线l的方程可化为k(x－3)－(x＋2y－5)＝0，由解得 ‎∴定点P的坐标为(3,1)．……………………………2分 设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，‎ 则依题意有…………3分 解得……………………………5分 ‎∴圆C的方程为x2＋y2－14x－8y＋40＝0. ………………6分 ‎(3)由(2)知圆C的标准方程为(x－7)2＋(y－4)2＝25，∴圆心C(7,4)，半径r＝5. ……………………………7分 ‎∵P、Q是直径的两个端点，‎ ‎∴圆心C(7,4)是P(3,1)与Q的中点，‎ ‎∴Q(11,7)．……………………………8分 ‎∵y轴上的点M(0，m)在圆外，‎ ‎∴∠PMQ是锐角，即M不是直角顶点．……………………………9分 若P是△PMQ的直角顶点，‎ 则×＝－1，得m＝5； ………10分 若Q是△PMQ的直角顶点，‎ 则×＝－1，得m＝.………11分 综上所述，在y轴上存在一点M(0，m)，使△PMQ为直角三角形，m＝5或m＝.………12分