湖南省郴州市2020届高三第二次教学质量监测数学（文）试题 Word版含解析

湖南省郴州市2020届高三第二次教学质量监测数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 郴州市2020届高三第二次教学质量监测试卷（文科）数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可求出集合，，然后进行交集的运算即可．‎ ‎【详解】解：，‎ ‎；‎ ‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】考查描述法、区间表示集合的概念，以及交集及其运算，属于基础题．‎ ‎2.在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简复数为、的形式，可以确定对应的点位于的象限．‎ ‎【详解】解：复数 故复数对应的坐标为位于第三象限 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题．‎ ‎3.已知如表所示数据的回归直线方程为，则实数的值为（ ）‎ - 22 -‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎14‎ ‎20‎ ‎32‎ ‎37‎ A. 25 B. 26 C. 27 D. 28‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据样本中心点一定在回归直线方程上，列出关于的方程，解之即可得到本题答案.‎ ‎【详解】由已知数据计算可得，‎ ‎，‎ 因为样本中心点一定在回归直线方程上，‎ 所以，解得．‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查线性回归方程的应用，属基础题.‎ ‎4.已知角的终边在直线上，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题，得，然后套用两角差的正切公式，即可得到本题答案.‎ ‎【详解】因为角的终边在直线上，‎ 所以，则.‎ 故选：B - 22 -‎ ‎【点睛】本题主要考查任意角的三角函数，以及利用两角差的正切公式求值，考查学生的运算求解能力.‎ ‎5.已知，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的单调性，利用与中间值0，1的大小关系，即可作出正确的判断.‎ ‎【详解】因为，，，‎ 所以．‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查判断对数，指数幂的大小关系，利用函数的单调性及中间值，是解决此类题目的关键.‎ ‎6.达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 22 -‎ ‎【分析】‎ 由已知，设．可得．于是可得，进而得出结论．‎ 详解】解：依题意，设．‎ 则．‎ ‎，．‎ 设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．‎ 则，‎ ‎．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎7.已知向量，且则向量在方向上的投影为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题，可先算得m的值，然后套用向量的投影公式，即可得到本题答案.‎ ‎【详解】因为，所以，解得， ‎ 所以，‎ 则，‎ 所以在方向上的投影为．‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查平面向量垂直的等价条件，以及平面向量的投影公式，考查学生的运算求解能力.‎ - 22 -‎ ‎8.设满足约束条件：，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求得的最小值.‎ 详解】‎ 由,得，作出不等式组对应的可行域（阴影部分），‎ 平移直线，由平移可知当直线经过点A时，直线的截距最小，此时z取得最小值. ‎ 由，解得，‎ 将A的坐标代入，得，‎ 即目标函数的最小值为1.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合图形并利用目标函数的几何意义，是解决此类题目的关键.‎ ‎9.函数在区间上的大致图象如图所示，则可能是（ ）‎ - 22 -‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特殊值及函数的单调性判断即可；‎ ‎【详解】解：当时，，无意义，故排除A；‎ 又，则，故排除D；‎ 对于C，当时，，所以不单调，故排除C；‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题.‎ ‎10.下列结论中正确的个数是（ ）‎ ‎①在中，“”是“”的必要不充分条件；‎ ‎②若，的最小值为2；‎ ‎③夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱；‎ ‎④数列的通项公式为，则数列的前项和．（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数的单调性以及充分条件和必要条件的定义进行判断①，举反例判断②，根据圆柱的定义判断③，由等比数列的性质与求和公式判断④.‎ - 22 -‎ ‎【详解】对于①，在中，，得，反之也成立，即是的充要条件，所以①不正确；‎ 对于②，当时，，所以，所以，最小值为2，不正确，所以②不正确；‎ 对于③，夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱，不正确，只有当截面平行于底面时是圆柱，所以③不正确；‎ 对于④，数列的通项公式为，当时，数列前项和，‎ 时，，所以④不正确.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查命题的真假判断，其中涉及到对三角函数单调性，基本不等式，立体几何的相关概念，等比数列的求和公式的考查.‎ ‎11.设双曲线的左右焦点分别为若在双曲线的右支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用双曲线的定义，算得，再利用焦半径的取值范围，得离心率的取值范围，又由双曲线离心率大于1，即可得到本题答案.‎ ‎【详解】由题，得，又，‎ 所以，另外，因为双曲线离心率，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查双曲线离心率的相关问题，考查学生的分析问题和解决问题能力.‎ ‎12.已知定义在上的函数的导数为，满足．且对任意 - 22 -‎ ‎，有，若．则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，由题，可得函数在上单调递增，且函数为偶函数，又，，，所以，即.‎ ‎【详解】构造函数，，‎ ‎，‎ 函数在上单调递增，‎ 函数满足．‎ 函数为偶函数，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，且函数在上单调递增，‎ ‎，即，‎ 故选：A - 22 -‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及利用函数的单调性判断大小，涉及到构造函数.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.抛物线的焦准距是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 抛物线化为标准方程，即可求得抛物线焦点到准线的距离.‎ ‎【详解】解：抛物线化为标准方程为.‎ ‎.‎ ‎.‎ 抛物线的焦准距是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质，解题关键是理解焦准距的含义，属于基础题.‎ ‎14.函数，则____________．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别把变量代入到对应的函数解析式中，结合对数的运算性质，即可得到本题答案．‎ ‎【详解】由题，得．‎ 故答案为：10‎ ‎【点睛】本题主要考查利用分段函数求值，属基础题.‎ ‎15.在中，内角的对边分别为．已知．则的中线的长为____________．‎ ‎【答案】‎ - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理求出的值，再利用余弦定理求出的值．‎ ‎【详解】‎ 如图所示，在中，，，，‎ 由余弦定理得，，即，‎ 整理得，解得或（舍去）； ‎ 所以，‎ 中，由余弦定理得，，‎ 解得，‎ 所以的中线的长为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形，属基础题.‎ ‎16.已知在三棱锥中，，，，．且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可得是以为斜边的直角三角形，的外心为斜边的中点，设的外心为，过作面的垂线，过作面的垂线，两垂线的交点即为球心．由面面，可得即为球心，的外接圆半径即为球半径．求得的外接圆半径即可．‎ - 22 -‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴是以为斜边的直角三角形，‎ 故的外心为斜边的中点，设的外心为，‎ 过作面的垂线，过作面的垂线，两垂线的交点即为球心．‎ ‎∵面面，‎ ‎∴即为球心，的外接圆半径即为球半径，‎ 由题，得等腰三角形底边上的高为，‎ ‎∴，解得，‎ 则三棱锥外接球的表面积为．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，确定球心的位置以及求得球的半径，是解决此类题目的关键.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为．已知．‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1），；，（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据已知条件列出关于与的方程组，解出与的值，即可得到数列 - 22 -‎ 的通项公式，然后计算出与的值，即可得到数列的通项公式；‎ ‎（2）先根据第（1）题的结果计算岀数列的通项公式，然后运用错位相减法计算出前项和．‎ ‎【详解】（1）由题，得，‎ 将，代入上式，可得 ‎，‎ 解得（舍去），或．‎ ‎∴数列的通项公式为，．‎ ‎∴，，‎ ‎∴数列的通项公式为，．‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎∴①‎ ‎②‎ ‎①②，得 ‎，‎ ‎∴．‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合应用，以及用错位相减法求和，考查学生的运算求解能力.‎ ‎18.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，， 为等边三角形，且平面平面，设为的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设为的中点，连结，根据条件可证得四边形是平行四边形，得，从而可得到平面； ‎ ‎（2）利用等体积法，即由，可得到本题答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设为的中点，连结， ‎ 为的中点，且，‎ 又且，‎ 且，‎ 四边形是平行四边形，‎ ‎，‎ - 22 -‎ 又平面，平面，‎ 平面；‎ ‎（2）由（1）得，‎ 平面平面，且平面平面，，‎ 面，又面，‎ ‎，‎ 在中，，，‎ ‎，‎ 在中，， ，‎ ‎，‎ 设到平面的距离为，‎ 由，得，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查线面平行的判定以及利用等体积法求点到面的距离，考查学生的空间想象能力，运算求解能力.‎ ‎19.“让几千万农村贫困人口生活好起来，是我心中的牵挂．”习近平总书记多次对精准扶贫、精准脱贫作出重要指示，某大学生村官为帮助某扶贫户脱贫，帮助其种植某品种金桔，并利用互联网进行网络销售，为了更好销售，现从金桔树上随机摘下100个果实进行测重，每个金桔质量分布在区间（单位：克），并且依据质量数据作出其频率分布直方图，如图所示：‎ ‎（1）按分层抽样的方法从质量落在，的金桔中随机抽取5个，再从这5个金桔中随机抽2个，求这2个金桔质量至少有一个不小于40克的概率；‎ - 22 -‎ ‎（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率．根据经验，该户的金桔种植地上大约有100000个金桔待出售，某电商提出两种收购方案：‎ 方案：所有金桔均以4元/千克收购；‎ 方案：低于40克的金桔以2元/千克收购，其余的以5元/千克收购；‎ 请你通过计算为该户选择收益较好的方案．‎ ‎【答案】（1）；（2）选方案好.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据分层抽样找出金桔个数，然后找出所有事件，以及满足题目要求的事件，套用古典概型的概率公式，即可得到本题答案.‎ ‎（2）根据两个不同的方案，计算出收益，判断最优方案．‎ ‎【详解】解：（1）由题，得金桔质量在和的比例为，‎ 所以从质量落在，的金桔中分别取2个和3个，‎ 记金桔中取的2个设为，金桔中取的3个设为， ‎ 有，共10个事件，‎ 满足题目要求的有，，共9个事件，‎ 所以2个金桔质量至少有一个不小于40克的概率为；‎ ‎（2）方案好，理由如下：‎ 由频率直方图可知:金桔质量在各个区间的频率依次为0.1，0.2，0.3，0.25，0.15．‎ 各个区间的金桔个数为：10000，20000，30000，25000，15000，‎ 若按方案销售：；‎ 若按方案销售：‎ 低于40克的金桔有个，不低于40克的金桔有70000个，‎ 总收益有，‎ 故选方案好．‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题主要考查频率直方图的应用，分层抽样以及古典概型的求法，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运算求解能力.‎ ‎20.已知，点分别为椭圆的左、右顶点，直线交于另一点为等腰直角三角形，且.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于两点，总使得为锐角，求直线斜率的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题意可知：由，求得点坐标，即可求得椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线，代入椭圆方程，由韦达定理，由，由为锐角，则，由向量数量积的坐标公式，即可求得直线斜率的取值范围．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）根据题意是等腰直角三角形 ‎，‎ ‎，‎ 设由 得 则 代入椭圆方程得 椭圆的方程为 - 22 -‎ ‎（Ⅱ）根据题意，直线的斜率存在，可设方程为 设 由得 由直线与椭圆有两个不同的交点则 即 得 又 为锐角则 即 ‎ ②‎ 由①②得或 故直线斜率可取值范围是 ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，韦达定理，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎21.已知函数的图象过原点，且在原点处的切线与直线垂直．（为自然对数的底数）．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ - 22 -‎ ‎（2）若对任意的，总有成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先由题可得，由此得到，再分，及讨论得出结论；‎ ‎（2）所求问题等价于在上恒成立，构造函数，只需求出函数在上的最大值即可．‎ ‎【详解】（1）依题意，，即，故，‎ 由在原点处的切线与直线垂直可知，，则，‎ ‎，‎ ‎①当时，上恒成立，此时函数在上单调递增；‎ ‎②当时，由解得或，由解得，‎ 此时函数在，上单调递增，在上单调递减；‎ ‎③当时，由解得或，解得，‎ 此时函数在，上单调递增，在上单调递减；‎ ‎（2）由（1）可知，，则对任意上恒成立，‎ ‎，在上恒成立，‎ 设，则，‎ 令，则，‎ 由解得，‎ 易知当时，，单调递增，当时，，‎ - 22 -‎ 单调递减，‎ ‎，‎ 在上单调递减，‎ ‎，‎ ‎，即实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究含参函数的单调性，以及利用导数研究不等式恒成立问题，考查学生的逻辑思维和推理论证能力，体现了转化思想和分类讨论思想.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做， 则按所做的第一题记分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线的极坐标方程为，射线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程，并指出是何种曲线；‎ ‎（Ⅱ）若射线与曲线交于两点，射线与曲线交于两点，求面积的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ），曲线是以为圆心，为半径的圆；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由曲线的参数方程能求出曲线的普通方程，由此能求出曲线的极坐标方程．‎ ‎（Ⅱ）令，，则，利用诱导公式及二倍角公式化简，再由余弦函数的性质求出面积的取值范围；‎ - 22 -‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由（为参数）化为普通方程为 ‎，整理得 曲线是以为圆心，为半径的圆.‎ ‎（Ⅱ）令 ‎，，，，‎ 面积的取值范围为 ‎【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.设函数.‎ ‎（1）若，求实数的取值范围；‎ ‎（2）证明：，恒成立.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将不等式化为，利用零点分段法，求得不等式的解集.‎ ‎（2）将要证明的不等式转化为证，恒成立，由 - 22 -‎ 的最小值为，得到只要证，即证，利用绝对值不等式和基本不等式，证得上式成立.‎ ‎【详解】（1）∵，∴，即 当时，不等式化为，∴‎ 当时，不等式化为，此时无解 当时，不等式化为，∴‎ 综上，原不等式的解集为 ‎（2）要证，恒成立 即证，恒成立 ‎∵的最小值为－2，∴只需证，即证 又 ‎∴成立，∴原题得证 ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分类与整合思想.‎ - 22 -‎ - 22 -‎