2017-2018学年湖南省郴州市嘉禾一中、临武一中高二上学期期中联考数学（文）试题（解析版）
2017-2018学年湖南省郴州市嘉禾一中、临武一中高二上学期期中联考数学（文）试题（解析版）
一．选择题（共12题，每题5分，共计60分）
1. 已知存在性命题，则命题的否定是（ ）
A. B. 对
C. D. 对
【答案】B
【解析】存在性命题，则命题的否定是
故选：B
2. 中,,,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
∴。
故选：A
3. 设等差数列的前项和为，若，则的值为( )
A. 27 B. 36 C. 45 D. 54
【答案】D
【解析】试题分析：由得,故,故应选D.
考点：等差数列的通项公式与前项和公式．
4. “2
0，b>0）的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由双曲线（a>0，b>0）的离心率为，得：，即
∴椭圆的离心率为
故选：C
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
11. 有下列四个命题
①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若c≤1，则x2＋2x＋c＝0有实根”；
④“若A∪B＝A，则A⊆B”的逆否命题．
其中真命题的个数是( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】试题分析：①中逆命题是假命题；②中否命题是假命题；③中当时有，所以方程有实数根，命题正确；④中原命题是假命题，因此逆否命题是假命题；所以正确的只有1个
考点：四种命题
12. 若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A. 6 B. 3 C. 2 D. 8
【答案】B
【解析】设P（x，y），F（-1，0）
则=（x，y）•（x+1，y）=x2+x+y2，
又点P在椭圆上，所以x2+x+y2=x2+x+（3﹣x2）=x2+x+3=（x+2）2+2，
又﹣2≤x≤2，
所以当x=2时，（x+2）2+2取得最大值为6，即的最大值为6，
故选：A．
点睛：本题利用代数方法处理数量积问题，借助点在椭圆上把两元问题转化为一元问题，配方后，利用二次函数的图象与性质即可得到的最大值.
填空题（共4题，每题5分，共计20分）
13. 抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离是________．
【答案】2
【解析】抛物线y＝4x2化为标准形式：x2=
∴焦点到准线的距离是p=
14. 若变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
【答案】
【解析】略
15. 在△ABC中，已知 则△ABC的形状为_______.
【答案】等边三角形
【解析】由及正弦定理得，
又，即 ，
∴，即，
∴，∴。
∴，∴。
∴。故△ABC为等边三角形。所以答案为：等边三角形。
16. 已知数列满足，定义：使乘积为正整数的叫做“简易数”，则在内所有的“简易数”的和为________．
【答案】4082
【解析】∵，
∴，，
则“简易数”为使log2（k+1）为整数的整数，即满足2n=k+1，
∴k=2n﹣1，
则在区间1，2017]内所有“简易数”的和为：
．
故答案为：2036
.....................
三、解答题（第17题10分，其余每道各题12分，共70分）
17. 已知在中，内角所对边的边长分别是a,b,c，若a,b,c满足．
（1）求角B；
（2）若，求的面积。
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）利用余弦定理求出角B；（2）利用余弦定理得到，解得a值，进而得到的面积.
试题解析：
（1）由题目可知∴
故
（2）∵，
∴，即，解得
当a=2时，S=
当a=4时, S=
18. 已知命题：，命题．
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（3）若命题“”为真命题，且命题“”为假命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】试题分析：（1）命题P为真就是方程得判别式小于等于0，（2）把所给方程进行参变量分离得到，借助对勾函数的单调性结合x的范围得到的值域即为所求，（3）一方面命题为真命题，则，另一方面，命题为假命题，则，最后取交集得到所求
．
试题解析：解：（1）若命题：为真命题，
则方程的判别式，
所以实数的取值范围为；
（2）若命题为真命题，
，因为，所以，所以
因为，所以，当且仅当时取等号，
又在上单调增，上单调减，，，所以值域为，
所以实数的取值范围
（3）命题为真命题，则
；
命题为真命题，则
，
所以命题为假命题，则，
所以若命题为真命题，命题为假命题，则
所以实数的取值范围
考点：含逻辑连结词的命题判定，恒成立与存在性问题的转化．
19. 已知双曲线的离心率为，实轴长为2．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为 ,求实数m的值.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）由离心率为，实轴长为2．可得，再利用即可得出；
（2）设，与双曲线的联立可得，利用根与系数的关系可得，即可得出
试题解析：（1）由题意，解得，∴，∴所求双曲线的方程为．
（2），由弦长公式得．
考点：1．双曲线方程；2．直线与双曲线相交的弦长问题
20. 某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
①写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
②当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【答案】(1)见解析(2) 当x＝100时，年获利最大
【解析】试题分析：（1）分两种情况进行研究，当时，投入成本为（万元），根据年利润=销售收入-成本，列出函数关系式，当时，投入成本为，根据年利润=销售收入-成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当时，利用二次函数求最值，当时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案.謂.
试题解析：时，当时， ，.
,
综上所述，当x=100时，L(X)取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大.
21. 已知数列{an}的前n项和Sn＝4n，数列{bn}满足b1＝－3，
bn＋1＝bn＋(2n－3)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的通项公式；
(3)若cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
【答案】(1) 当n＝1时an＝4， 当 n≥2时，an＝3×4n-1. (2) bn＝n2－4n(n∈N*)．(3)Tn＝4+(3n-13)×4n］/3
【解析】试题分析：（1）利用Sn与an的关系求出数列{an}的通项公式；（2）利用累加法求出数列{bn}的通项公式；（3）利用错位相减法求出数列{cn}的前n项和Tn.
试题解析：
解：(1)∵Sn＝4n，∴Sn－1＝4n－1(n≥2)，
∴an＝Sn－Sn－1＝4n－4n－1＝3×4n－1(n≥2)．
当n＝1时，3×41－1＝3≠S1＝a1＝4，
∴当n＝1时an＝4， 当 n≥2时，an＝3×4n-1.
(2)∵bn＋1＝bn＋(2n－3)，
∴b2－b1＝-1，b3－b2＝1，b4－b3＝3，…，bn－bn－1＝2n－5(n≥2)．
以上各式相加得
bn－b1＝-1+1＋3＋5＋…＋(2n－5)＝（n-1）(n-3)(n≥2)．
∵b1＝－3，∴bn＝n2－4n(n≥2)．
又上式对于n＝1也成立，
∴bn＝n2－4n(n∈N*)．
(3)由题意得当n=1时，cn＝-12， 当n≥2时，cn＝3(n－4)×4n-1.
①当n=1时, Tn＝-12
②当n≥2时，Tn＝－12＋3×（-2）×41＋3×（-1）×42＋3×1×43＋…＋3(2n－3)×4n－1，
∴4Tn＝－48＋3×（-2）×42＋3×（-1）×43＋3×1×44＋…＋3(2n－3)×4n.
相减得－3Tn＝12＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－1－3(2n－3)×4n.
∴Tn＝(n-4)×4n－(4＋42＋43＋…＋4n－1)＝4+(3n-13)×4n］/3
又上式对于n＝1也成立，
∴综上Tn＝4+(3n-13)×4n］/3
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
22. 已知椭圆C：的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值，并求此时直线l的方程．
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）由离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为可得从而求得的值，进而可得求椭圆的方程；（2）直线的方程为，由点到直线距离公式可得与椭圆方程联立可得，再根据弦长公式可得，从而可得，进而可得△面积的最大值.
试题解析：（1）设椭圆的半焦距为，依题意∴，
∴所求椭圆方程为．
（2）设，，
①当⊥轴时，为，代入，得，∴；
②当与轴不垂直时，设直线的方程为，
由已知，得，
把代入椭圆方程，整理，
，，，
∴ ，
当时，；
当时，，
当且仅当，即时等号成立．
综上所述．
∴当最大时，△面积取最大值．
考点：1、待定系数法求椭圆方程及三角形面积公式；2、点到直线距离公式及基本不等式求最值.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及三角形面积公式、点到直线距离公式及基本不等式求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.
