四川省南充市高级中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学（理）试题

四川省南充市高级中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学（理）试题

南充高中2019-2020学年度上期 高2018级第二次月考数学试卷（理）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题 ‎1.设，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，即.‎ ‎【详解】，即..故B正确.‎ 考点：集合间的关系.‎ ‎2.直线的倾斜角是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．‎ ‎【详解】因为直线x+y﹣1＝0的斜率为：，‎ 直线的倾斜角为：α．‎ 所以tanα，‎ α＝120°‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．‎ ‎3.‎ ‎ 为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )‎ A. 简单随机抽样 B. 按性别分层抽样 C. 按学段分层抽样 D. 系统抽样 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：符合分层抽样法的定义，故选C.‎ 考点：分层抽样．‎ ‎4. 若a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：先判断“a=1”⇒“|a|=1”的真假，再判断“|a|=1”时，“a=1”的真假，进而结合充要条件的定义即可得到答案．‎ 解：当“a=1”时，“|a|=1”成立 即“a=1”⇒“|a|=1”为真命题 但“|a|=1”时，“a=1”不一定成立 即“|a|=1”时，“a=1”为假命题 故“a=1”是“|a|=1”的充分不必要条件 故选A 点评：本题考查的知识点是充要条件，其中根据绝对值的定义，判断“a=1”⇒“|a|=1”与“|a|=1”时，“a=1”的真假，是解答本题的关键．‎ ‎5.按照程序框图（如图）执行，第4个输出的数是（　　）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按步骤写出对应程序，从而得到答案.‎ ‎【详解】解：第一次输出的，则，满足条件，然后 第二次输出的，则，满足条件，然后 第三次输出的，则，满足条件，然后 第四次输出的，则，满足条件，然后 第五次输出的，则，不满足条件，然后退出循环 故第4个输出的数是7 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查算法框图，重在考查学生的计算能力和分析能力.‎ ‎6.函数的图象大致是　　‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的奇偶性排除选项B、C项，然后利用特殊值判断，即可得到答案．‎ ‎【详解】由题意，函数满足，‎ 所以函数为偶函数，排除B、C，‎ 又因为时，，此时，所以排除D，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别问题，其中解答中熟练应用函数的奇偶性进行排除，以及利用特殊值进行合理判断是解答的关键，着重考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题.‎ ‎7.已知是两个不同的平面，下列四个条件中能推出的是（　　）‎ ‎①存在一条直线；‎ ‎②存在一个平面；‎ ‎③存在两条平行直线；‎ ‎④存在两条异面直线．‎ A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：对①，由线面垂直的性质知①能推出，对②，如教室的墙角的两墙面都与底面垂直，则这两个墙面不平行；对③由图3知，，但相交，故③推不出，结合选项，排除A，B，D,故选C.‎ 考点：空间线面、面面平行垂直的判定与性质 ‎8.已知平面向量＝(1，－3)，＝(4，－2)，λ＋与垂直，则λ＝(　　)‎ A. －1 B. 1‎ C. －2 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出λ＋的坐标，利用列方程求解即可 ‎【详解】＝(1，－3)，＝(4，－2)，‎ ‎∴λ＋＝λ(1，－3)＋(4，－2)＝(λ＋4，－3λ－2)，‎ ‎∵λ＋与垂直，‎ ‎∴λ＋4＋(－3)(－3λ－2)＝0，‎ ‎∴λ＝－1，故选A.‎ ‎9.如图，在直二面角的棱上有、两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，则直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立空间坐标系，求出两条异面直线的方向向量，代入夹角公式，可得答案．‎ ‎【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的坐标系，‎ 则A（0，0，0），B（4，0，0），C（0，0，6），D（4，﹣8，0），‎ 故（4，0，0），（4，﹣8，﹣6），‎ 故直线AB与CD所成角的余弦值为，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，异面直线及其所成的角，难度不大，属于基础题．‎ ‎10.椭圆的焦点在轴上，则它的离心率的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆 1的焦点在x轴上，确定a的范围，表示出椭圆的离心率，利用基本不等式，可得结论．‎ ‎【详解】∵椭圆 1的焦点在x轴上，‎ ‎∴5a＞4a2+1‎ ‎∴‎ ‎∵椭圆的离心率为（当且仅当，即a时取等号）‎ ‎∴椭圆的离心率的取值范围为（0，]‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程与离心率，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎11.已知函数（），若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析可得函数f（x）为奇函数且为增函数，进而可以将原问题转化为m对任意实数t≥1恒成立，由基本不等式的性质分析可得有最小值，进而分析可得m的取值范围．‎ ‎【详解】根据题意，函数f（x）＝x3+3x，其定义域为R，关于原点对称，‎ 有f（﹣x）＝﹣（x3+3x）＝﹣f（x），则f（x）为奇函数，‎ 又由f′（x）＝3x2+3＞0，则f（x）为增函数，‎ 若不等式f（2m+mt2）+f（4t）＜0对任意实数t≥1恒成立，‎ 则f（2m+mt2）＜﹣f（4t），即2m+mt2＜﹣4t对任意实数t≥1恒成立，‎ ‎2m+mt2＜﹣4t⇔m，即m，‎ 又由t≥1，则t2，则有最小值，当且仅当时等号成立 若m对任意实数t≥1恒成立，必有m；‎ 即m的取值范围为（﹣∞，）；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析判断函数f（x）＝x3+3x的奇偶性与单调性．‎ ‎12.已知等比数列满足，且，，成等差数列，则的最大值为（ ）‎ A. 1022 B. 1023 C. 1024 D. 1025‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比数列通项公式和等差数列定义列出方程组，求出首项和公比，从而得到，进而a1a2a3…an＝24+3+2+1+…+（5﹣n），由此能求出结果．‎ ‎【详解】∵等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，，2a7成等差数列，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴，‎ ‎∴a1a2a3…an＝24+3+2+1+…+（5﹣n），‎ ‎∴当n＝4或n＝5时，‎ a1a2a3…an取最大值，且最大值为210＝1024．‎ 故选:C．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列、等差数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中等题．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题 ‎13.已知等差数列的通项公式，则它的公差为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的定义可得出该数列的公差.‎ ‎【详解】因为数列为等差数列，且.‎ ‎，因此，等差数列的公差为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用等差数列的通项公式求公差，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.在中，角,,的对边分别为 ，若，则等于____‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 由已知．在中，，．‎ ‎15.已知，任取、，则使得的概率是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先把（x2+y2﹣4）0转化为；画出图形求出图中阴影部分占正方形的面积比即可．‎ ‎【详解】（x2+y2﹣4）0等价于 不等式；‎ 画出图形，如图所示；‎ 则不等式组表示的是图中的阴影部分，‎ 所求的概率为P．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了几何概型的应用问题，解题时应根据题意画出图形，计算对应图形的面积，是基础题目．‎ ‎16.若对圆上任意一点，的取值与，无关，则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得故|3x﹣4y+a|+|3x﹣4y﹣9|可以看作点P到直线m：3x﹣4y+a＝0与直线l：3x﹣4y﹣9＝0距离之和的5倍，进一步分析说明圆位于两直线内部，再由点到直线的距离公式求解直线3x﹣4y+a＝0与圆相切时的a值，则答案可求．‎ ‎【详解】设z＝|3x﹣4y+a|+|3x﹣4y﹣9|＝5（），‎ 故|3x﹣4y+a|+|3x﹣4y﹣9|可以看作点P（x，y）到直线m：3x﹣4y+a＝0与直线l：3x﹣4y﹣9＝0距离之和的5倍，‎ ‎∵|3x﹣4y+a|+|3x﹣4y﹣9|的取值与x，y无关，‎ ‎∴这个距离之和与点P在圆上的位置无关，‎ 如图所示：可知直线m平移时，P点与直线m，l的距离之和均为m，l的距离，‎ 即此时圆在两直线内部，‎ 当直线m与圆相切时，，‎ 化简得|a﹣1|＝5，‎ 解得a＝6或a＝﹣4（舍去），‎ ‎∴a≥6．‎ 故答案为：a≥6．‎ ‎【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查数学转化思想方法，属于难题．‎ 三、解答题 ‎17.已知命题：方程无解，命题：，恒成立，若是真命题，且也是真命题，求的取值范围．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出当，为真时命题的等价条件，再利用复合命题及其真假求解即可．‎ ‎【详解】当为真时，有：，解得：；‎ 当命题为真时，有：，对恒成立，即，‎ 由是真命题，且也是真命题得：与都是真命题；即 综上，所求的取值范围是 ‎【点睛】本题考查了复合命题及其真假，考查二次方程及恒成立问题，正确求解命题为真的条件是关键，是中档题 ‎18.已知三角形的顶点坐标为，,,是边上的中点．‎ ‎（Ⅰ）求边所在直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）求中线的长；‎ ‎（Ⅲ）求边的高所在直线的方程．‎ ‎【答案】(1) 6x-y+11=0 (2) （3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由两点式直接写方程，（2）求出中点，用两点距离公式求解，（3）求出AB的斜率，得到边上高的斜率，进而可得边的高所在直线的方程 ‎【详解】解：（1）由两点式写方程得，‎ 即 6x-y+11=0‎ 或 直线AB的斜率为 直线AB的方程为 即 6x-y+11=0‎ ‎（2）设M的坐标为（），则由中点坐标公式得 故M（1，1）‎ ‎（3），‎ 则边的高所在直线的方程为即 ‎19.某公司在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.‎ ‎（1）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；‎ ‎（2）根据频率分布直方图，估计投入4万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；‎ ‎（3）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：‎ 广告投入（单位：万元）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 销售收益（单位：百万元）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎7‎ 表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程.‎ 附公式：，.‎ ‎【答案】（1）2;（2）;（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可计算图中各小长方形宽度；‎ ‎（Ⅱ）以各组的区间中点值代表该组的取值，即可计算销售收益的平均值；‎ ‎（Ⅲ）求出回归系数，即可得出结论．‎ ‎【详解】（Ⅰ）设各小长方形宽度为，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，故；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知各小组依次是，‎ 其中点分别为，对应的频率分别为，‎ 故可估计平均值为；‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知空白栏中填5．‎ 由题意可知，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 根据公式，可求得，，‎ 即回归直线方程为．‎ ‎【点睛】本题考查回归方程，考查频率分布直方图，考查学生的读图、计算能力，属于中档题．‎ ‎20.在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，，，．在梯形中，，且，，平面．‎ ‎（1）求证：．‎ ‎（2）求二面角的正切值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明BC⊥AC．EC⊥BC，推出BC⊥平面ACEF，然后证明BC⊥AF．‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，求出平面DEF法向量，平面EFA法向量，利用空间向量的数量积求解二面角D﹣EF﹣A的正切值即可．‎ ‎【详解】（1）在中，，所以，由勾股定理知：，故．‎ 又因为平面，平面，‎ 所以，而，‎ 所以平面，又平面，‎ 所以．‎ ‎（2）由题易知可建如图所示空间直角坐标系，则，，，，‎ ‎，，‎ 设平面法向量为，‎ 则由知：，，故取．‎ 而由（1）知：平面法向量为，‎ ‎．‎ 故，‎ ‎，‎ 二面角的正切值为．‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面垂直判断定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力，是中档题．‎ ‎21.已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4（a＞0）及直线l：x﹣y+3＝0．当直线l被圆C截得的弦长为时，求 ‎（Ⅰ）a的值；‎ ‎（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）a＝1；（Ⅱ）5x﹣12y+45＝0或x＝3．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，然后根据垂径定理得到弦心距，弦的一半及圆的半径成直角三角形，利用勾股对了列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后由a大于0，得到满足题意a的值；‎ ‎（Ⅱ）把（Ⅰ）求出a的值代入圆的方程中确定出圆的方程，即可得到圆心的坐标，并判断得到已知点在圆外，分两种情况：当切线的斜率不存在时，得到x＝3为圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，由（3，5）和设出的k写出切线的方程，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，把k的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程．综上，得到所有满足题意的切线的方程．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）依题意可得圆心C（a，2），半径r＝2，‎ 则圆心到直线l：x﹣y+3＝0的距离，‎ 由勾股定理可知，代入化简得|a+1|＝2，‎ 解得a＝1或a＝﹣3，‎ 又a＞0，所以a＝1；‎ ‎（Ⅱ）由（1）知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，圆心坐标为（1，2），圆的半径r＝2‎ 由（3，5）到圆心的距离为r＝2，得到（3，5）在圆外，‎ ‎∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为y﹣5＝k（x﹣3）‎ 由圆心到切线的距离dr＝2，‎ 化简得：12k＝5，可解得，‎ ‎∴切线方程为5x﹣12y+45＝0；‎ ‎②当过（3，5）斜率不存在直线方程为x＝3与圆相切．‎ 由①②可知切线方程为5x﹣12y+45＝0或x＝3．‎ ‎【点睛】此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题 ‎22.已知椭圆经过点，且右焦点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过的直线交椭圆与，两点，记，若的最大值和最小值分别为，，求的值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 列方程组求解出，即可；‎ ‎(2) 对k讨论，分别建立方程组，找到根与系数关系，建立t的恒成立方程进行求解．‎ ‎【详解】解：（1）有椭圆的右焦点为，知，即，‎ 则：‎ 又椭圆过点，则，又，求得 椭圆方程：.‎ ‎（2）当直线斜率存在时，设的方程为，‎ 由得，即，‎ 在椭圆内部，，‎ ‎，‎ 则 ‎，‎ ‎ ③‎ 将①②代入③得 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则 ‎，即，‎ 又是两个根，，‎ 当直线斜率不存在时，联立得，‎ 不妨设 ‎，，‎ ‎.‎ 可知.‎ 综上 ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的几何性质、标准方程以及直线与椭圆的位置关系，考查转化能力与计算能力，属于中档题目．‎ ‎ ‎