湖南省郴州市2021届高三上学期第一次质检数学试题
科目： 数 学
（试题卷）
注意事项：
1. 答题前， 考生务必将自己的姓名、 准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上， 并认真核对条形码上的姓名、 准考证号和科目。
2. 学生作答时， 选择题和非选择题均须作在答题卡上， 在本试题卷上作答尤效。 考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3. 考试结束后， 将本试题卷和答题卡一并交回。
4. 本试题卷共 5 页。 如缺页， 考生须声明， 否则后果自负。
姓 名:
准考证号:
绝密★启用前
郴州市 2021 届高三第一次教学质量监测试卷
数 学
一、 单项选择题 (本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知全集 U=R，集合 M={xÎR|x2-x<0}，集合 N={yÎR|y=sinx，xÎB}，则 MÇN=
A. (0，1] B. (0，1) C. (-1，0) D. Æ
2. 已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z(1-i)=1+2i，则复数 z 在复平面上所对应点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 下列函数中，在(0，+¥)上是减函数且是偶函数的是
A. f(x)=x2+1 B. f(x)=-x3 C. f(x)=lg D. f(x)=2 |x|
4. 已知角 a 的终边经过点(2，4)，则 cos2a=
A. - B. C.± D.
5. “0
0”成立的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 《 易经》 是中国传统文化中的精髓. 图 1 是易经先天八卦图， 每一卦由三根线组成(“───”表示一根阳线，“─ ─”表示一根阴线)，现从八卦中任取两卦，这两卦的阳线数目相同的概率为
A.
B.
C.
D.
图 1
1. 已知 P 是边长为 3 的正方形 ABCD 内(包含边界)的一点，则的最大值是
A. 6 B. 3 C. 9 D. 8
2. 若实数 x，y 满足 x |x| +y | y | =1，则点(x，y)到直线 x+y=-1 的距离的取值范围是
A. (0，1] B. [1， ]
C. D. (1， ]
二、 多项选择题 （本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分)
3. 定义：若函数 f(x)的图像经过变换 r 后所得图像对应的函数的值域与f(x)的值域相同，则称变换Г是f(x)的“同值变换”，下面给出四个函数及其对应的变换Г，其中 Г属于f(x)的“同值变换“的是
A. f(x)=x2-2x， Г： 将函数 f(x)的图像关于 y 轴对称
B. f(x)=2x-1， Г： 将函数 f(x)的图像关于 x 轴对称
C. f(x)=log2x， Г： 将函数 f(x)的图像关于 y=x 直线对称
D. f(x)=cos(x+)， Г： 将函数 f(x)的图像关于点(-2，0)对称
4. 若将函数 f(x)=sin2x 的图象向左平移个单位长度，得到函数 g(x)的图象，则下列说
法正确的是
A.g(x)的最小正周期为p B. g(x)=sin(2x+ )
C. 是函数g(x)图象的一条对称轴 D. g(x)在上的最大值为
5. 已知 a>0，b>0，且 a2+b2=2，则下列不等式中一定成立的是
A. ab£1 B. C. lga+lgb£0 D. a+b£ 2
1. 已知函数 y= f(x)在 R 上可导且 f(0)=1，其导函数 f ´(x)满足(x+1)[ f ´(x)-f(x)]>0，对
于函数 g(x)= ，下列结论正确的是
A.函数g(x) 在(-¥，-1)上为增函数 B. x=-1 是函数 g(x)的极小值点
C. 函数 g(x)必有 2 个零点 D. e2 f(e)>ee f(2)
三、 填空题 (本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
2. 已知(x+2y)n 展开式的二项式系数和为 64，则其展开式中含 x4y2 项的系数是 .
3. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn+1=2an，则 an = .
4. 已知双曲线 C : (a>0，b>0)的左右焦点分别为 F 1，F2 ，直线 l 过点 F2交 双曲线右支于 P，Q 两点，若| PF1 | =3| PF2 |，| PQ |=3 |PF2 | ，则双曲线 C 的离心率为
.
5. 四棱锥 P-ABCD 各顶点都在球心为O 的球面上， 且 PA^平面 ABCD， 底面 ABCD 为矩形，PA=AB=2，AD=4，则球 O 的体积是 ；设 E、F 分别是 PB、BC 中点，则平面AEF 被球O所截得的截面面积为 .
四、 解答题 (本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
6. (本小题满分 10 分)
请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
①，②,i 为虚数单位 ③△ ABC 的面积为 3.
在△ ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 b-c=2，cosA= ，
.
(I)求 a；
(II)求 sin的值.
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
1. ( 本小题满分 12 分)
已知公差不等于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4=16，a1，a2，a5成等比数列.
(I)求数列{an}的通项公式；
(II)求数列的前 n 项和 Tn .
1. (本小题满分 12 分)
如图 2，四棱锥 P-ABCD 中，L.PAB 是边长为 2 的正三角形，底面 ABCD 为菱形，且平面
PAB^平面 ABCD，ÐABC=60°，E 为 PD 上一点，满足.
(I)证明：AB^PC;
(II)求二面角 P-AC-E 的余弦值
2. (本小题满分12分)
某蔬菜种植基地有一批蔬菜需要两天内采摘完毕，天气预报显示这两天每天是否有雨相互独立，无雨的概率都为 0.8 . 现有两种方案可以选择：
方案一：基地人员自己采摘，不额外聘请工人，需要两天完成，两天都无雨收益为 2 万元，只有一天有雨收益为 1 万元，两天都有雨收益为 0.75 万元。
方案二：基地额外聘请工人，只要一天就可以完成采摘。当天无雨收益为 2 万元，有雨收益为 1万元。 额外聘请工人的成本为 a 万元.
问：(I)若不额外聘请工人，写出基地收益 X 的分布列及基地的预期收益；(II)该基地是否应该外聘工人?请说明理由.
1. ( 本小题满分 12 分)
如图 3,在平面直角坐标系 xOy 中, 巳知椭圆的离心率为 ,且
右焦点 F(c,0)(c>0)到直线 l: x= 的距离为 3.
(I)求椭圆 C 的方程；
(II)过点F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线l和 AB
于点 P,C,当ÐPAC 取得最小值时,求直线 AB 的方程 .
1. ( 本小题满分 12 分)
巳知函数 J(x)=ex+a(x+1)
(I)若 f(x)≥0,求 a 的取值范围；
(II)证明：.
