2012年北京市高考数学试卷（文科）

2012年北京市高考数学试卷（文科）

‎2012年北京市高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．（5分）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，） C．﹙，3﹚ D．（3，+∞）‎ ‎2．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（　　）‎ A．（1，3） B．（3，1） C．（﹣1，3） D．（3，﹣1）‎ ‎3．（5分）设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎5．（5分）函数f（x）=的零点个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎6．（5分）已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是（　　）‎ A．a1+a3≥2a2 B．a12+a32≥2a22‎ C．若a1=a3，则a1=a2 D．若a3＞a1，则a4＞a2‎ ‎7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（　　）‎ A．28+6 B．30+6 C．56+12 D．60+12‎ ‎8．（5分）某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（　　）‎ A．5 B．7 C．9 D．11‎ ‎　‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．（5分）直线y=x被圆x2+（y﹣2）2=4截得的弦长为　　．‎ ‎10．（5分）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1=，S2=a3，则a2=　　，Sn=　　．‎ ‎11．（5分）在△ABC中，若a=3，b=，，则∠C的大小为　　．‎ ‎12．（5分）已知函数f（x）=lgx，若f（ab）=1，则f（a2）+f（b2）=　　．‎ ‎13．（5分）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为　　．‎ ‎14．（5分）已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2．若∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，则m的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（13分）已知函数f（x）=．‎ ‎（1）求f（x）的定义域及最小正周期；‎ ‎（2）求f（x）的单调递减区间．‎ ‎16．（14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．‎ ‎（1）求证：DE∥平面A1CB；‎ ‎（2）求证：A1F⊥BE；‎ ‎（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．‎ ‎17．（13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；‎ ‎“厨余垃圾”箱 ‎“可回收物”箱 ‎“其他垃圾”箱 厨余垃圾 ‎400‎ ‎100‎ ‎100‎ 可回收物 ‎30‎ ‎240‎ ‎30‎ 其他垃圾 ‎20‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；‎ ‎（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；‎ ‎（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．‎ ‎（求：S2=[++…+]，其中为数据x1，x2，…，xn的平均数）‎ ‎18．（13分）已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx．‎ ‎（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；‎ ‎（2）当a=3，b=﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．‎ ‎19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．‎ ‎20．（13分）设A是如下形式的2行3列的数表，‎ a b c d e f 满足性质P：a，b，c，d，e，f∈[﹣1，1]，且a+b+c+d+e+f=0．‎ 记ri（A）为A的第i行各数之和（i=1，2），Cj（A）为A的第j列各数之和（j=1，2，3）；记k（A）为|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值．‎ ‎（1）对如下数表A，求k（A）的值 ‎1‎ ‎1‎ ‎﹣0.8‎ ‎0.1‎ ‎﹣0.3‎ ‎﹣1‎ ‎（2）设数表A形如 ‎1‎ ‎1‎ ‎﹣1﹣2d d d ‎﹣1‎ 其中﹣1≤d≤0．求k（A）的最大值；‎ ‎（Ⅲ）对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k（A）的最大值．‎ ‎　‎ ‎2012年北京市高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．（5分）（2012•北京）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，） C．﹙，3﹚ D．（3，+∞）‎ ‎【分析】求出集合B，然后直接求解A∩B．‎ ‎【解答】解：因为B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0﹜={x|x＜﹣1或x＞3}，‎ 又集合A={x∈R|3x+2＞0﹜={x|x}，‎ 所以A∩B={x|x}∩{x|x＜﹣1或x＞3}={x|x＞3}，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2012•北京）在复平面内，复数对应的点的坐标为（　　）‎ A．（1，3） B．（3，1） C．（﹣1，3） D．（3，﹣1）‎ ‎【分析】由==1+3i，能求出在复平面内，复数对应的点的坐标．‎ ‎【解答】解：∵=‎ ‎==1+3i，‎ ‎∴在复平面内，复数对应的点的坐标为（1，3），‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2012•北京）设不等式组 ‎，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域 和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．‎ ‎【解答】解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1=4，‎ 满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，‎ 面积为=4﹣π，‎ ‎∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2012•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎【分析】列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．‎ ‎【解答】解：第1次判断后S=1，k=1，‎ 第2次判断后S=2，k=2，‎ 第3次判断后S=8，k=3，‎ 第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2012•北京）函数f（x）=的零点个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【分析】先判断函数的单调性，由于在定义域上两个增函数的和仍为增函数，故函数f（x）为单调增函数，而f（0）＜0，f（）＞0‎ 由零点存在性定理可判断此函数仅有一个零点 ‎【解答】解：函数f（x）的定义域为[0，+∞）‎ ‎∵y=在定义域上为增函数，y=﹣在定义域上为增函数 ‎∴函数f（x）=在定义域上为增函数 而f（0）=﹣1＜0，f（1）=＞0‎ 故函数f（x）=的零点个数为1个 故选B ‎　‎ ‎6．（5分）（2012•北京）已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是（　　）‎ A．a1+a3≥2a2 B．a12+a32≥2a22‎ C．若a1=a3，则a1=a2 D．若a3＞a1，则a4＞a2‎ ‎【分析】a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立；，所以；若a1=a3，则a1=a1q2，从而可知a1=a2或a1=﹣a2；若a3＞a1，则a1q2＞a1，而a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故可得结论．‎ ‎【解答】解：设等比数列的公比为q，则a1+a3=，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立，故A不正确；‎ ‎，∴，故B正确；‎ 若a1=a3，则a1=a1q2，∴q2=1，∴q=±1，∴a1=a2或a1=﹣a2，故C不正确；‎ 若a3＞a1，则a1q2＞a1，∴a4﹣a2=a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故D不正确 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2012•北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（　　）‎ A．28+6 B．30+6 C．56+12 D．60+12‎ ‎【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．‎ ‎【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，‎ 一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，‎ 所以S底==10，‎ S后=，‎ S右==10，‎ S左==6．‎ 几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2012•北京）某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（　　）‎ A．5 B．7 C．9 D．11‎ ‎【分析】由已知中图象表示某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系，可分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案．‎ ‎【解答】解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点 则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率 由图易得当n=9时，直线OP的斜率最大 即前9年的年平均产量最高，‎ 故选C ‎　‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．（5分）（2012•北京）直线y=x被圆x2+（y﹣2）2=4截得的弦长为　　．‎ ‎【分析】确定圆的圆心坐标与半径，求得圆心到直线y=x的距离，利用垂径定理构造直角三角形，即可求得弦长．‎ ‎【解答】解：圆x2+（y﹣2）2=4的圆心坐标为（0，2），半径为2‎ ‎∵圆心到直线y=x的距离为 ‎∴直线y=x被圆x2+（y﹣2）2=4截得的弦长为2=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2012•北京）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1=，S2=a3，则a2=　1　，Sn=　　．‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质可求出公差，从而可求出第二项，以及等差数列的前n项和．‎ ‎【解答】解：根据{an}为等差数列，S2=a1+a2=a3=+a2；‎ ‎∴d=a3﹣a2=‎ ‎∴a2=+=1‎ Sn==‎ 故答案为：1，‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2012•北京）在△ABC中，若a=3，b=，，则∠C的大小为　　．‎ ‎【分析】利用正弦定理=，可求得∠B，从而可得∠C的大小．‎ ‎【解答】解：∵△ABC中，a=3，b=，，‎ ‎∴由正弦定理=得：=，‎ ‎∴sin∠B=．又b＜a，‎ ‎∴∠B＜∠A=．‎ ‎∴∠B=．‎ ‎∴∠C=π﹣﹣=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2012•北京）已知函数f（x）=lgx，若f（ab）=1，则f（a2）+f（b2）=　2　．‎ ‎【分析】由函数f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，知f（a2）+f（b2）=lga2+lgb2=2lg（ab）．由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，‎ f（a2）+f（b2）=lga2+lgb2‎ ‎=lg（ab）2=2lg（ab）=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2012•北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为　1　．‎ ‎【分析】直接利用向量转化，求出数量积即可．‎ ‎【解答】解：因为====1．‎ 故答案为：1‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2012•北京）已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2．若∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，则m的取值范围是　（﹣4，0）　．‎ ‎【分析】由于g（x）=2x﹣2≥0时，x≥1，根据题意有f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x＞1时成立，根据二次函数的性质可求 ‎【解答】解：∵g（x）=2x﹣2，当x≥1时，g（x）≥0，‎ 又∵∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0‎ ‎∴此时f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立 则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面 则 ‎∴﹣4＜m＜0‎ 故答案为：（﹣4，0）‎ ‎　‎ 三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（13分）（2012•北京）已知函数f（x）=．‎ ‎（1）求f（x）的定义域及最小正周期；‎ ‎（2）求f（x）的单调递减区间．‎ ‎【分析】（1）由sinx≠0可得x≠kπ（k∈Z），将f（x）化为f（x）=sin（2x﹣）﹣1即可求其最小正周期；‎ ‎（2）由（1）得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，再由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，x≠kπ（k∈Z）即可求f（x）的单调递减区间．‎ ‎【解答】解：（1）由sinx≠0得x≠kπ（k∈Z），‎ 故求f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．‎ ‎∵f（x）=‎ ‎=2cosx（sinx﹣cosx）‎ ‎=sin2x﹣cos2x﹣1‎ ‎=sin（2x﹣）﹣1‎ ‎∴f（x）的最小正周期T==π．‎ ‎（2）∵函数y=sinx的单调递减区间为[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）‎ ‎∴由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，x≠kπ（k∈Z）‎ 得kπ+≤x≤kπ+，（k∈Z）‎ ‎∴f（x）的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]（k∈Z）‎ ‎　‎ ‎16．（14分）（2012•北京）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．‎ ‎（1）求证：DE∥平面A1CB；‎ ‎（2）求证：A1F⊥BE；‎ ‎（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．‎ ‎【分析】（1）D，E分别为AC，AB的中点，易证DE∥平面A1CB；‎ ‎（2）由题意可证DE⊥平面A1DC，从而有DE⊥A1F，又A1F⊥CD，可证A1F⊥平面BCDE，问题解决；‎ ‎（3）取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC，平面DEQ即为平面DEP，由DE⊥平面，P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，可证A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ．‎ ‎【解答】解：（1）∵D，E分别为AC，AB的中点，‎ ‎∴DE∥BC，又DE⊄平面A1CB，‎ ‎∴DE∥平面A1CB．‎ ‎（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，‎ ‎∴DE⊥AC，‎ ‎∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，‎ ‎∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，‎ ‎∴DE⊥A1F，又A1F⊥CD，‎ ‎∴A1F⊥平面BCDE，‎ ‎∴A1F⊥BE．‎ ‎（3）线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC．‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴DE∥PQ．‎ ‎∴平面DEQ即为平面DEP．‎ 由（Ⅱ）知DE⊥平面A1DC，‎ ‎∴DE⊥A1C，‎ 又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，‎ ‎∴A1C⊥DP，‎ ‎∴A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ，‎ 故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．‎ ‎　‎ ‎17．（13分）（2012•北京）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；‎ ‎“厨余垃圾”箱 ‎“可回收物”箱 ‎“其他垃圾”箱 厨余垃圾 ‎400‎ ‎100‎ ‎100‎ 可回收物 ‎30‎ ‎240‎ ‎30‎ 其他垃圾 ‎20‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；‎ ‎（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；‎ ‎（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．‎ ‎（求：S2=[++…+]，其中为数据x1，x2，…，xn的平均数）‎ ‎【分析】（1）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率；‎ ‎（2）生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率；‎ ‎（3）计算方差可得=，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为；‎ ‎（2）由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错误的概率为；‎ ‎（3）由题意可知：∵a+b+c=600，∴a，b，c的平均数为200‎ ‎∴=，‎ ‎∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000．‎ ‎　‎ ‎18．（13分）（2012•北京）已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx．‎ ‎（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；‎ ‎（2）当a=3，b=﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．‎ ‎【分析】（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；‎ ‎（2）当a=3，b=﹣9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2﹣9x+1，求导函数，确定函数的极值点，进而可得k≤﹣3时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）=28；﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28，由此可得结论．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=ax2+1（a＞0），则f′（x）=2ax，k1=2a，‎ g（x）=x3+bx，则g′（x）=3x2+b，k2=3+b，‎ 由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b ①‎ 又f（1）=a+1，g（1）=1+b，‎ ‎∴a+1=1+b，‎ 即a=b，代入①式，可得：a=3，b=3．‎ ‎（2）当a=3，b=﹣9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2﹣9x+1‎ 则h′（x）=3x2+6x﹣9，‎ 令h'（x）=0，‎ 解得：x1=﹣3，x2=1；‎ ‎∴k≤﹣3时，函数h（x）在（﹣∞，﹣3）上单调增，在（﹣3，1]上单调减，（1，2）上单调增，所以在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）=28‎ ‎﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28‎ 所以k的取值范围是（﹣∞，﹣3]‎ ‎　‎ ‎19．（14分）（2012•北京）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离，利用△AMN的面积为，可求k的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，‎ ‎∴‎ ‎∴b=‎ ‎∴椭圆C的方程为；‎ ‎（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，‎ ‎∴|MN|==‎ ‎∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为 ‎∴△AMN的面积S=‎ ‎∵△AMN的面积为，‎ ‎∴‎ ‎∴k=±1．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）（2012•北京）设A是如下形式的2行3列的数表，‎ a b c d e f 满足性质P：a，b，c，d，e，f∈[﹣1，1]，且a+b+c+d+e+f=0．‎ 记ri（A）为A的第i行各数之和（i=1，2），Cj（A）为A的第j列各数之和（j=1，2，3）；记k（A）为|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值．‎ ‎（1）对如下数表A，求k（A）的值 ‎1‎ ‎1‎ ‎﹣0.8‎ ‎0.1‎ ‎﹣0.3‎ ‎﹣1‎ ‎（2）设数表A形如 ‎1‎ ‎1‎ ‎﹣1﹣2d d d ‎﹣1‎ 其中﹣1≤d≤0．求k（A）的最大值；‎ ‎（Ⅲ）对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k（A）的最大值．‎ ‎【分析】（1）根据ri（A）为A的第i行各数之和（i=1，2），Cj（A）为A的第j列各数之和（j=1，2，3）；记k（A）为|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值可求出所求；‎ ‎（2）k（A）的定义可求出k（A）=1+d，然后根据d的取值范围可求出所求；‎ ‎（III）任意改变A三维行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*仍满足性质P，并且k（A）=k（A*）‎ 因此，不防设r1（A）≥0，c1（A）≥0，c2（A）≥0，然后利用不等式的性质可知3k（A）≤r1（A）+c1（A）+c2（A），从而求出k（A）的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）因为r1（A）=1.2，r2（A）=﹣1.2，c1（A）=1.1，c2‎ ‎（A）=0.7，c3（A）=﹣1.8，‎ 所以k（A）=0.7‎ ‎（2）r1（A）=1﹣2d，r2（A）=﹣1+2d，c1（A）=c2（A）=1+d，c3（A）=﹣2﹣2d 因为﹣1≤d≤0，‎ 所以|r1（A）|=|r2（A）|≥1+d≥0，|c3（A）|≥1+d≥0‎ 所以k（A）=1+d≤1‎ 当d=0时，k（A）取得最大值1‎ ‎（III）任给满足性质P的数表A（如下所示）‎ ‎ a ‎ b ‎ c ‎ d ‎ e ‎ f 任意改变A三维行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A*仍满足性质P，并且k（A）=k（A*）‎ 因此，不防设r1（A）≥0，c1（A）≥0，c2（A）≥0，‎ 由k（A）的定义知，k（A）≤r1（A），k（A）≤c1（A），k（A）≤c2（A），‎ 从而3k（A）≤r1（A）+c1（A）+c2（A）=（a+b+c）+（a+d）+（b+e）=（a+b+c+d+e+f）+（a+b﹣f）=a+b﹣f≤3‎ 所以k（A）≤1‎ 由（2）可知，存在满足性质P的数表A使k（A）=1，故k（A）的最大值为1．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；zlzhan；邢新丽；xize；刘长柏；豫汝王世崇；minqi5；wfy814；吕静（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日