2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)

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文档介绍

2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)

‎2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 ‎1.(5分)已知集合M={x|﹣1<x<3},N={x|﹣2<x<1},则M∩N=(  )‎ A.(﹣2,1) B.(﹣1,1) C.(1,3) D.(﹣2,3)‎ ‎2.(5分)若tanα>0,则(  )‎ A.sinα>0 B.cosα>0 C.sin2α>0 D.cos2α>0‎ ‎3.(5分)设z=+i,则|z|=(  )‎ A. B. C. D.2‎ ‎4.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0)的离心率为2,则实数a=(  )‎ A.2 B. C. D.1‎ ‎5.(5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是(  )‎ A.f(x)•g(x)是偶函数 B.|f(x)|•g(x)是奇函数 C.f(x)•|g(x)|是奇函数 D.|f(x)•g(x)|是奇函数 ‎6.(5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.(5分)在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=cos(2x+),④y=tan(2x﹣)中,最小正周期为π的所有函数为(  )‎ A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③‎ ‎8.(5分)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是(  )‎ A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 ‎9.(5分)执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.(5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,AF=|x0|,则x0=(  )‎ A.1 B.2 C.4 D.8‎ ‎11.(5分)设x,y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7,则a=(  )‎ A.﹣5 B.3 C.﹣5或3 D.5或﹣3‎ ‎12.(5分)已知函数f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>‎ ‎0,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(﹣∞,﹣1) D.(﹣∞,﹣2)‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分 ‎13.(5分)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为   .‎ ‎14.(5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,‎ 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;‎ 乙说:我没去过C城市;‎ 丙说:我们三人去过同一城市;‎ 由此可判断乙去过的城市为   .‎ ‎15.(5分)设函数f(x)=,则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是   .‎ ‎16.(5分)如图,为测量山高MN,选择A和另一座的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°,已知山高BC=100m,则山高MN=    m.‎ ‎ ‎ 三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 ‎17.(12分)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2﹣5x+6=0的根.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{}的前n项和.‎ ‎18.(12分)从某企业生产的产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:‎ 质量指标值分组 ‎[75,85)‎ ‎[85,95)‎ ‎[95,105)‎ ‎[105,115)‎ ‎[115,125)‎ 频数 ‎6‎ ‎26‎ ‎38‎ ‎22‎ ‎8‎ ‎(1)在表格中作出这些数据的频率分布直方图;‎ ‎(2)估计这种产品质量指标的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);‎ ‎(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定?‎ ‎19.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.‎ ‎(1)证明:B1C⊥AB;‎ ‎(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高.‎ ‎20.(12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2﹣8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.‎ ‎(1)求M的轨迹方程;‎ ‎(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.‎ ‎21.(12分)设函数f(x)=alnx+x2﹣bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0,‎ ‎(1)求b;‎ ‎(2)若存在x0≥1,使得f(x0)<,求a的取值范围.‎ ‎ ‎ 请考生在第22,23,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。【选修4-1:几何证明选讲】‎ ‎22.(10分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.‎ ‎(Ⅰ)证明:∠D=∠E;‎ ‎(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.‎ ‎ ‎ ‎【选修4-4:坐标系与参数方程】‎ ‎23.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)‎ ‎(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.‎ ‎(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.‎ ‎ ‎ ‎【选修4-5:不等式选讲】‎ ‎24.若a>0,b>0,且+=.‎ ‎(Ⅰ)求a3+b3的最小值;‎ ‎(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 ‎1.(5分)已知集合M={x|﹣1<x<3},N={x|﹣2<x<1},则M∩N=(  )‎ A.(﹣2,1) B.(﹣1,1) C.(1,3) D.(﹣2,3)‎ ‎【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.‎ ‎【解答】解:M={x|﹣1<x<3},N={x|﹣2<x<1},‎ 则M∩N={x|﹣1<x<1},‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)若tanα>0,则(  )‎ A.sinα>0 B.cosα>0 C.sin2α>0 D.cos2α>0‎ ‎【分析】化切为弦,然后利用二倍角的正弦得答案.‎ ‎【解答】解:∵tanα>0,‎ ‎∴,‎ 则sin2α=2sinαcosα>0.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查三角函数值的符号,考查了二倍角的正弦公式,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)设z=+i,则|z|=(  )‎ A. B. C. D.2‎ ‎【分析】先求z,再利用求模的公式求出|z|.‎ ‎【解答】解:z=+i=+i=.‎ 故|z|==.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的运算,属于容易题.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0)的离心率为2,则实数a=(  )‎ A.2 B. C. D.1‎ ‎【分析】由双曲线方程找出a,b,c,代入离心率,从而求出a.‎ ‎【解答】解:由题意,‎ e===2,‎ 解得,a=1.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了双曲线的定义,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是(  )‎ A.f(x)•g(x)是偶函数 B.|f(x)|•g(x)是奇函数 C.f(x)•|g(x)|是奇函数 D.|f(x)•g(x)|是奇函数 ‎【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,‎ ‎∴f(﹣x)=﹣f(x),g(﹣x)=g(x),‎ f(﹣x)•g(﹣x)=﹣f(x)•g(x),故函数是奇函数,故A错误,‎ ‎|f(﹣x)|•g(﹣x)=|f(x)|•g(x)为偶函数,故B错误,‎ f(﹣x)•|g(﹣x)|=﹣f(x)•|g(x)|是奇函数,故C正确.‎ ‎|f(﹣x)•g(﹣x)|=|f(x)•g(x)|为偶函数,故D错误,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】利用向量加法的三角形法则,将,分解为+和+的形式,进而根据D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,结合数乘向量及向量加法的平行四边形法则得到答案.‎ ‎【解答】解:∵D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,‎ ‎∴+=(+)+(+)=+=(+)=,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用,熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则是解答的关键.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=cos(2x+),④y=tan(2x﹣)中,最小正周期为π的所有函数为(  )‎ A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③‎ ‎【分析】根据三角函数的周期性,求出各个函数的最小正周期,从而得出结论.‎ ‎【解答】解:∵函数①y=cos丨2x丨=cos2x,它的最小正周期为 =π,‎ ‎②y=丨cosx丨的最小正周期为=π,‎ ‎③y=cos(2x+)的最小正周期为 =π,‎ ‎④y=tan(2x﹣)的最小正周期为 ,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题主要考查三角函数的周期性及求法,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是(  )‎ A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 ‎【分析】由题意画出几何体的图形即可得到选项.‎ ‎【解答】解:根据网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,‎ 可知几何体如图:几何体是三棱柱.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查三视图复原几何体的直观图的判断方法,考查空间想象能力.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据框图的流程模拟运行程序,直到不满足条件,计算输出M的值.‎ ‎【解答】解:由程序框图知:第一次循环M=1+=,a=2,b=,n=2;‎ 第二次循环M=2+=,a=,b=,n=3;‎ 第三次循环M=+=,a=,b=,n=4.‎ 不满足条件n≤3,跳出循环体,输出M=.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,AF=|x0|,则x0=(  )‎ A.1 B.2 C.4 D.8‎ ‎【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出.‎ ‎【解答】解:抛物线C:y2=x的焦点为F,‎ ‎∵A(x0,y0)是C上一点,AF=|x0|,x0>0.‎ ‎∴=x0+,‎ 解得x0=1.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)设x,y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7,则a=(  )‎ A.﹣5 B.3 C.﹣5或3 D.5或﹣3‎ ‎【分析】如图所示,当a≥1时,由,解得.当直线z=x+ay经过A点时取得最小值为7,同理对a<1得出.‎ ‎【解答】解:如图所示,‎ 当a≥1时,由,‎ 解得,y=.‎ ‎∴.‎ 当直线z=x+ay经过A点时取得最小值为7,‎ ‎∴,化为a2+2a﹣15=0,‎ 解得a=3,a=﹣5舍去.‎ 当a<1时,不符合条件.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了线性规划的有关知识、直线的斜率与交点,考查了数形结合的思想方法,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)已知函数f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(﹣∞,﹣1) D.(﹣∞,﹣2)‎ ‎【分析】由题意可得f′(x)=3ax2﹣6x=3x(ax﹣2),f(0)=1;分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可.‎ ‎【解答】解:∵f(x)=ax3﹣3x2+1,‎ ‎∴f′(x)=3ax2﹣6x=3x(ax﹣2),f(0)=1;‎ ‎①当a=0时,f(x)=﹣3x2+1有两个零点,不成立;‎ ‎②当a>0时,f(x)=ax3﹣3x2+1在(﹣∞,0)上有零点,故不成立;‎ ‎③当a<0时,f(x)=ax3﹣3x2+1在(0,+∞)上有且只有一个零点;‎ 故f(x)=ax3﹣3x2+1在(﹣∞,0)上没有零点;‎ 而当x=时,f(x)=ax3﹣3x2+1在(﹣∞,0)上取得最小值;‎ 故f()=﹣3•+1>0;‎ 故a<﹣2;‎ 综上所述,‎ 实数a的取值范围是(﹣∞,﹣2);‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用,同时考查了函数的零点的判定的应用,属于基础题.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分 ‎13.(5分)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为  .‎ ‎【分析】首先求出所有的基本事件的个数,再从中找到2本数学书相邻的个数,最后根据概率公式计算即可.‎ ‎【解答】解:2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,所有的基本事件有共有=6种结果,‎ 其中2本数学书相邻的有(数学1,数学2,语文),(数学2,数学1,语文),(语文,数学1,数学2),(语文,数学2,数学1)共4个,故本数学书相邻的概率P=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查了古典概型的概率公式的应用,关键是不重不漏的列出满足条件的基本事件.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,‎ 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;‎ 乙说:我没去过C城市;‎ 丙说:我们三人去过同一城市;‎ 由此可判断乙去过的城市为 A .‎ ‎【分析】可先由乙推出,可能去过A城市或B城市,再由甲推出只能是A,B中的一个,再由丙即可推出结论.‎ ‎【解答】解:由乙说:我没去过C城市,则乙可能去过A城市或B城市,‎ 但甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市,则乙只能是去过A,B中的任一个,‎ 再由丙说:我们三人去过同一城市,‎ 则由此可判断乙去过的城市为A.‎ 故答案为:A.‎ ‎【点评】本题主要考查简单的合情推理,要抓住关键,逐步推断,是一道基础题.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)设函数f(x)=,则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是 x≤8 .‎ ‎【分析】利用分段函数,结合f(x)≤2,解不等式,即可求出使得f(x)≤2成立的x的取值范围.‎ ‎【解答】解:x<1时,ex﹣1≤2,‎ ‎∴x≤ln2+1,‎ ‎∴x<1;‎ x≥1时,≤2,‎ ‎∴x≤8,‎ ‎∴1≤x≤8,‎ 综上,使得f(x)≤2成立的x的取值范围是x≤8.‎ 故答案为:x≤8.‎ ‎【点评】本题考查不等式的解法,考查分段函数,考查学生的计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)如图,为测量山高MN,选择A和另一座的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°,已知山高BC=100m,则山高MN= 150  m.‎ ‎【分析】△ABC中,由条件利用直角三角形中的边角关系求得 AC;△AMC中,由条件利用正弦定理求得AM;Rt△AMN中,根据MN=AM•sin∠MAN,计算求得结果.‎ ‎【解答】解:△ABC中,∵∠BAC=45°,∠ABC=90°,BC=100,‎ ‎∴AC==100.‎ ‎△AMC中,∵∠MAC=75°,∠MCA=60°,‎ ‎∴∠AMC=45°,由正弦定理可得,解得AM=100.‎ Rt△AMN中,MN=AM•sin∠MAN=100×sin60°=150(m),‎ 故答案为:150.‎ ‎【点评】本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系,属于中档题.‎ ‎ ‎ 三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 ‎17.(12分)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2﹣5x+6=0的根.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{}的前n项和.‎ ‎【分析】(1)解出方程的根,根据数列是递增的求出a2,a4的值,从而解出通项;‎ ‎(2)将第一问中求得的通项代入,用错位相减法求和.‎ ‎【解答】解:(1)方程x2﹣5x+6=0的根为2,3.又{an}是递增的等差数列,‎ 故a2=2,a4=3,可得2d=1,d=,‎ 故an=2+(n﹣2)×=n+1,‎ ‎(2)设数列{}的前n项和为Sn,‎ Sn=,①‎ Sn=,②‎ ‎①﹣②得Sn==,‎ 解得Sn==2﹣.‎ ‎【点评】本题考查等的性质及错位相减法求和,是近几年高考对数列解答题考查的主要方式.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)从某企业生产的产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:‎ 质量指标值分组 ‎[75,85)‎ ‎[85,95)‎ ‎[95,105)‎ ‎[105,115)‎ ‎[115,125)‎ 频数 ‎6‎ ‎26‎ ‎38‎ ‎22‎ ‎8‎ ‎(1)在表格中作出这些数据的频率分布直方图;‎ ‎(2)估计这种产品质量指标的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);‎ ‎(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定?‎ ‎【分析】(1)根据频率分布直方图做法画出即可;‎ ‎(2)用样本平均数和方差来估计总体的平均数和方差,代入公式计算即可.‎ ‎(3)求出质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值,再和0.8比较即可.‎ ‎【解答】解:(1)频率分布直方图如图所示:‎ ‎(2)质量指标的样本平均数为=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100,‎ 质量指标的样本的方差为S2=(﹣20)2×0.06+(﹣10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104,‎ 这种产品质量指标的平均数的估计值为100,方差的估计值为104.‎ ‎(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68,‎ 由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.‎ ‎【点评】本题主要考查了频率分布直方图,样本平均数和方差,考查了学习的细心的绘图能力和精确的计算能力.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1‎ C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.‎ ‎(1)证明:B1C⊥AB;‎ ‎(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高.‎ ‎【分析】(1)连接BC1,则O为B1C与BC1的交点,证明B1C⊥平面ABO,可得B1C⊥AB;‎ ‎(2)作OD⊥BC,垂足为D,连接AD,作OH⊥AD,垂足为H,证明△CBB1为等边三角形,求出B1到平面ABC的距离,即可求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高.‎ ‎【解答】(1)证明:连接BC1,则O为B1C与BC1的交点,‎ ‎∵侧面BB1C1C为菱形,‎ ‎∴BC1⊥B1C,‎ ‎∵AO⊥平面BB1C1C,‎ ‎∴AO⊥B1C,‎ ‎∵AO∩BC1=O,‎ ‎∴B1C⊥平面ABO,‎ ‎∵AB⊂平面ABO,‎ ‎∴B1C⊥AB;‎ ‎(2)解:作OD⊥BC,垂足为D,连接AD,作OH⊥AD,垂足为H,‎ ‎∵BC⊥AO,BC⊥OD,AO∩OD=O,‎ ‎∴BC⊥平面AOD,‎ ‎∴OH⊥BC,‎ ‎∵OH⊥AD,BC∩AD=D,‎ ‎∴OH⊥平面ABC,‎ ‎∵∠CBB1=60°,‎ ‎∴△CBB1为等边三角形,‎ ‎∵BC=1,∴OD=,‎ ‎∵AC⊥AB1,∴OA=B1C=,‎ 由OH•AD=OD•OA,可得AD==,∴OH=,‎ ‎∵O为B1C的中点,‎ ‎∴B1到平面ABC的距离为,‎ ‎∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的高.‎ ‎【点评】本题考查线面垂直的判定与性质,考查点到平面距离的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2﹣8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.‎ ‎(1)求M的轨迹方程;‎ ‎(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.‎ ‎【分析】(1)由圆C的方程求出圆心坐标和半径,设出M坐标,由与数量积等于0列式得M的轨迹方程;‎ ‎(2)设M的轨迹的圆心为N,由|OP|=|OM|得到ON⊥PM.求出ON所在直线的斜率,由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程,由点到直线的距离公式求出O到l的距离,再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度,代入三角形面积公式得答案.‎ ‎【解答】解:(1)由圆C:x2+y2﹣8y=0,得x2+(y﹣4)2=16,‎ ‎∴圆C的圆心坐标为(0,4),半径为4.‎ 设M(x,y),则,.‎ 由题意可得:.‎ 即x(2﹣x)+(y﹣4)(2﹣y)=0.‎ 整理得:(x﹣1)2+(y﹣3)2=2.‎ ‎∴M的轨迹方程是(x﹣1)2+(y﹣3)2=2.‎ ‎(2)由(1)知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆,‎ 由于|OP|=|OM|,‎ 故O在线段PM的垂直平分线上,‎ 又P在圆N上,‎ 从而ON⊥PM.‎ ‎∵kON=3,‎ ‎∴直线l的斜率为﹣.‎ ‎∴直线PM的方程为,即x+3y﹣8=0.‎ 则O到直线l的距离为.‎ 又N到l的距离为,‎ ‎∴|PM|==.‎ ‎∴.‎ ‎【点评】本题考查圆的轨迹方程的求法,训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系,训练了点到直线的距离公式的应用,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)设函数f(x)=alnx+x2﹣bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0,‎ ‎(1)求b;‎ ‎(2)若存在x0≥1,使得f(x0)<,求a的取值范围.‎ ‎【分析】(1)利用导数的几何意义即可得出;‎ ‎(2)对a分类讨论:当a时,当a<1时,当a>1时,再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出.‎ ‎【解答】解:(1)f′(x)=(x>0),‎ ‎∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0,‎ ‎∴f′(1)=a+(1﹣a)×1﹣b=0,解得b=1.‎ ‎(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)可知:f(x)=alnx+,‎ ‎∴=.‎ ‎①当a时,则,‎ 则当x>1时,f′(x)>0,‎ ‎∴函数f(x)在(1,+∞)单调递增,‎ ‎∴存在x0≥1,使得f(x0)<的充要条件是,即,‎ 解得;‎ ‎②当a<1时,则,‎ 则当x∈时,f′(x)<0,函数f(x)在上单调递减;‎ 当x∈时,f′(x)>0,函数f(x)在上单调递增.‎ ‎∴存在x0≥1,使得f(x0)<的充要条件是,‎ 而=+,不符合题意,应舍去.‎ ‎③若a>1时,f(1)=,成立.‎ 综上可得:a的取值范围是.‎ ‎【点评】本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.‎ ‎ ‎ 请考生在第22,23,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。【选修4-1:几何证明选讲】‎ ‎22.(10分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.‎ ‎(Ⅰ)证明:∠D=∠E;‎ ‎(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形,可得∠D=∠CBE,由CB=CE,可得∠E=∠CBE,即可证明:∠D=∠E;‎ ‎(Ⅱ)设BC的中点为N,连接MN,证明AD∥BC,可得∠A=∠CBE,进而可得∠A=∠E,即可证明△ADE为等边三角形.‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,‎ ‎∴∠D=∠CBE,‎ ‎∵CB=CE,‎ ‎∴∠E=∠CBE,‎ ‎∴∠D=∠E;‎ ‎(Ⅱ)设BC的中点为N,连接MN,则由MB=MC知MN⊥BC,‎ ‎∴O在直线MN上,‎ ‎∵AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,‎ ‎∴OM⊥AD,‎ ‎∴AD∥BC,‎ ‎∴∠A=∠CBE,‎ ‎∵∠CBE=∠E,‎ ‎∴∠A=∠E,‎ 由(Ⅰ)知,∠D=∠E,‎ ‎∴△ADE为等边三角形.‎ ‎【点评】本题考查圆的内接四边形性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎【选修4-4:坐标系与参数方程】‎ ‎23.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)‎ ‎(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.‎ ‎(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程,直接消掉参数t得直线l的普通方程;‎ ‎(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离,除以 sin30°进一步得到|PA|,化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)对于曲线C:+=1,可令x=2cosθ、y=3sinθ,‎ 故曲线C的参数方程为,(θ为参数).‎ 对于直线l:,‎ 由①得:t=x﹣2,代入②并整理得:2x+y﹣6=0;‎ ‎(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).‎ P到直线l的距离为.‎ 则,其中α为锐角.‎ 当sin(θ+α)=﹣1时,|PA|取得最大值,最大值为.‎ 当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.‎ ‎【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化,训练了点到直线的距离公式,体现了数学转化思想方法,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎【选修4-5:不等式选讲】‎ ‎24.若a>0,b>0,且+=.‎ ‎(Ⅰ)求a3+b3的最小值;‎ ‎(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由条件利用基本不等式求得ab≥2,再利用基本不等式求得a3+b3的最小值.‎ ‎(Ⅱ)根据 ab≥2及基本不等式求的2a+3b>8,从而可得不存在a,b,使得2a+3b=6.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵a>0,b>0,且+=,‎ ‎∴=+≥2,∴ab≥2,‎ 当且仅当a=b=时取等号.‎ ‎∵a3+b3 ≥2≥2=4,当且仅当a=b=时取等号,‎ ‎∴a3+b3的最小值为4.‎ ‎(Ⅱ)∵2a+3b≥2=2,当且仅当2a=3b时,取等号.‎ 而由(1)可知,2≥2=4>6,‎ 故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.‎ ‎【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用,要注意检验等号成立条件是否具备,属于基础题.‎ ‎ ‎
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