2014年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)

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文档介绍

2014年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)

‎2014年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)‎ ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分)‎ ‎1.(5分)设集合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则M∩N中元素的个数为(  )‎ A.2 B.3 C.5 D.7‎ ‎2.(5分)已知角α的终边经过点(﹣4,3),则cosα=(  )‎ A. B. C.﹣ D.﹣‎ ‎3.(5分)不等式组的解集为(  )‎ A.{x|﹣2<x<﹣1} B.{x|﹣1<x<0} C.{x|0<x<1} D.{x|x>1}‎ ‎4.(5分)已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.(5分)函数y=ln(+1)(x>﹣1)的反函数是(  )‎ A.y=(1﹣ex)3(x>﹣1) B.y=(ex﹣1)3(x>﹣1) C.y=(1﹣ex)3(x∈R) D.y=(ex﹣1)3(x∈R)‎ ‎6.(5分)已知,为单位向量,其夹角为60°,则(2﹣)•=(  )‎ A.﹣1 B.0 C.1 D.2‎ ‎7.(5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有(  )‎ A.60种 B.70种 C.75种 D.150种 ‎8.(5分)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=(  )‎ A.31 B.32 C.63 D.64‎ ‎9.(5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2‎ ‎,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点,若△AF1B的周长为4,则C的方程为(  )‎ A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1‎ ‎10.(5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为(  )‎ A. B.16π C.9π D.‎ ‎11.(5分)双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于(  )‎ A.2 B.2 C.4 D.4‎ ‎12.(5分)奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=(  )‎ A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)‎ ‎13.(5分)(x﹣2)6的展开式中x3的系数是   .(用数字作答)‎ ‎14.(5分)函数y=cos2x+2sinx的最大值是   .‎ ‎15.(5分)设x,y满足约束条件,则z=x+4y的最大值为   .‎ ‎16.(5分)直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线,若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于   .‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17.(10分)数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1﹣an+2.‎ ‎(Ⅰ)设bn=an+1﹣an,证明{bn}是等差数列;‎ ‎(Ⅱ)求{an}的通项公式.‎ ‎18.(12分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B.‎ ‎19.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2.‎ ‎(Ⅰ)证明:AC1⊥A1B;‎ ‎(Ⅱ)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1﹣AB﹣C的大小.‎ ‎20.(12分)设每个工作日甲,乙,丙,丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.‎ ‎(Ⅰ)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;‎ ‎(Ⅱ)实验室计划购买k台设备供甲,乙,丙,丁使用,若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1,求k的最小值.‎ ‎21.(12分)函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).‎ ‎(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若f(x)在区间(1,2)是增函数,求a的取值范围.‎ ‎22.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.‎ ‎(Ⅰ)求C的方程;‎ ‎(Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.‎ ‎ ‎ ‎2014年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分)‎ ‎1.(5分)设集合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则M∩N中元素的个数为(  )‎ A.2 B.3 C.5 D.7‎ ‎【分析】根据M与N,找出两集合的交集,找出交集中的元素即可.‎ ‎【解答】解:∵M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},‎ ‎∴M∩N={1,2,6},即M∩N中元素的个数为3.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)已知角α的终边经过点(﹣4,3),则cosα=(  )‎ A. B. C.﹣ D.﹣‎ ‎【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值.‎ ‎【解答】解:∵角α的终边经过点(﹣4,3),∴x=﹣4,y=3,r==5.‎ ‎∴cosα===﹣,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)不等式组的解集为(  )‎ A.{x|﹣2<x<﹣1} B.{x|﹣1<x<0} C.{x|0<x<1} D.{x|x>1}‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式、绝对值不等式,分别求出不等式组中每个不等式的解集,再取交集,即得所求.‎ ‎【解答】解:由不等式组可得 ,解得0<x<1,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】由E为AB的中点,可取AD中点F,连接EF,则∠CEF为异面直线CE与BD所成角,设出正四面体的棱长,求出△CEF的三边长,然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值.‎ ‎【解答】解:如图,‎ 取AD中点F,连接EF,CF,‎ ‎∵E为AB的中点,‎ ‎∴EF∥DB,‎ 则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角,‎ ‎∵ABCD为正四面体,E,F分别为AB,AD的中点,‎ ‎∴CE=CF.‎ 设正四面体的棱长为2a,‎ 则EF=a,‎ CE=CF=.‎ 在△CEF中,由余弦定理得:‎ ‎=.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查异面直线及其所成的角,关键是找角,考查了余弦定理的应用,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)函数y=ln(+1)(x>﹣1)的反函数是(  )‎ A.y=(1﹣ex)3(x>﹣1) B.y=(ex﹣1)3(x>﹣1) C.y=(1﹣ex)3(x∈R) D.y=(ex﹣1)3(x∈R)‎ ‎【分析】由已知式子解出x,然后互换x、y的位置即可得到反函数.‎ ‎【解答】解:∵y=ln(+1),‎ ‎∴+1=ey,即=ey﹣1,‎ ‎∴x=(ey﹣1)3,‎ ‎∴所求反函数为y=(ex﹣1)3,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查反函数解析式的求解,属基础题.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)已知,为单位向量,其夹角为60°,则(2﹣)•=(  )‎ A.﹣1 B.0 C.1 D.2‎ ‎【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义,求得、的值,可得(2﹣)•的值.‎ ‎【解答】解:由题意可得,=1×1×cos60°=,=1,‎ ‎∴(2﹣)•=2﹣=0,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有(  )‎ A.60种 B.70种 C.75种 D.150种 ‎【分析】根据题意,分2步分析,先从6名男医生中选2人,再从5名女医生中选出1人,由组合数公式依次求出每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,先从6名男医生中选2人,有C62=15种选法,‎ 再从5名女医生中选出1人,有C51=5种选法,‎ 则不同的选法共有15×5=75种;‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查分步计数原理的应用,注意区分排列、组合的不同.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=(  )‎ A.31 B.32 C.63 D.64‎ ‎【分析】由等比数列的性质可得S2,S4﹣S2,S6﹣S4成等比数列,代入数据计算可得.‎ ‎【解答】解:S2=a1+a2,S4﹣S2=a3+a4=(a1+a2)q2,S6﹣S4=a5+a6=(a1+a2)q4,‎ 所以S2,S4﹣S2,S6﹣S4成等比数列,‎ 即3,12,S6﹣15成等比数列,‎ 可得122=3(S6﹣15),‎ 解得S6=63‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查等比数列的性质,得出S2,S4﹣S2,S6﹣S4成等比数列是解决问题的关键,属基础题.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点,若△AF1B的周长为4,则C的方程为(  )‎ A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1‎ ‎【分析】利用△AF1B的周长为4,求出a=,根据离心率为,可得c=1,求出b,即可得出椭圆的方程.‎ ‎【解答】解:∵△AF1B的周长为4,‎ ‎∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a,‎ ‎∴4a=4,‎ ‎∴a=,‎ ‎∵离心率为,‎ ‎∴,c=1,‎ ‎∴b==,‎ ‎∴椭圆C的方程为+=1.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查椭圆的定义与方程,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为(  )‎ A. B.16π C.9π D.‎ ‎【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上,记为O,求出PO1,OO1,解出球的半径,求出球的表面积.‎ ‎【解答】解:设球的半径为R,则 ‎∵棱锥的高为4,底面边长为2,‎ ‎∴R2=(4﹣R)2+()2,‎ ‎∴R=,‎ ‎∴球的表面积为4π•()2=.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查球的表面积,球的内接几何体问题,考查计算能力,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于(  )‎ A.2 B.2 C.4 D.4‎ ‎【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式,建立方程组即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为2,‎ ‎∴e=,双曲线的渐近线方程为y=,不妨取y=,即bx﹣ay=0,‎ 则c=2a,b=,‎ ‎∵焦点F(c,0)到渐近线bx﹣ay=0的距离为,‎ ‎∴d=,‎ 即,‎ 解得c=2,‎ 则焦距为2c=4,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算,利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式,建立方程组是解决本题的关键,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=(  )‎ A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1‎ ‎【分析】根据函数的奇偶性的性质,得到f(x+8)=f(x),即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵f(x+2)为偶函数,f(x)是奇函数,‎ ‎∴设g(x)=f(x+2),‎ 则g(﹣x)=g(x),‎ 即f(﹣x+2)=f(x+2),‎ ‎∵f(x)是奇函数,‎ ‎∴f(﹣x+2)=f(x+2)=﹣f(x﹣2),‎ 即f(x+4)=﹣f(x),f(x+8)=f(x+4+4)=﹣f(x+4)=f(x),‎ 则f(8)=f(0)=0,f(9)=f(1)=1,‎ ‎∴f(8)+f(9)=0+1=1,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题主要考查函数值的计算,利用函数奇偶性的性质,得到函数的对称轴是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)‎ ‎13.(5分)(x﹣2)6的展开式中x3的系数是 ﹣160 .(用数字作答)‎ ‎【分析】根据题意,由二项式定理可得(x﹣2)6的展开式的通项,令x的系数为3,可得r=3,将r=3代入通项,计算可得T4=﹣160x3,即可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,(x﹣2)6的展开式的通项为Tr+1=C6rx6﹣r(﹣2)r=(﹣1)r•2r•C6rx6﹣r,‎ 令6﹣r=3可得r=3,‎ 此时T4=(﹣1)3•23•C63x3=﹣160x3,即x3的系数是﹣160;‎ 故答案为﹣160.‎ ‎【点评】本题考查二项式定理的应用,关键要得到(x﹣2)6的展开式的通项.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)函数y=cos2x+2sinx的最大值是  .‎ ‎【分析】利用二倍角公式对函数化简可得y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=,结合﹣1≤sinx≤1及二次函数的性质可求函数有最大值 ‎【解答】解:∵y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=‎ 又∵﹣1≤sinx≤1‎ 当sinx=时,函数有最大值 故答案为:‎ ‎【点评】本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简,二次函数在闭区间上的最值的求解,解题中要注意﹣1≤sinx≤1的条件.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)设x,y满足约束条件,则z=x+4y的最大值为 5 .‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由图得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.‎ ‎【解答】解:由约束条件作出可行域如图,‎ 联立,解得C(1,1).‎ 化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式,得.‎ 由图可知,当直线过C点时,直线在y轴上的截距最大,z最大.‎ 此时zmax=1+4×1=5.‎ 故答案为:5.‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线,若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于  .‎ ‎【分析】设l1与l2的夹角为2θ,由于l1与l2的交点A(1,3)在圆的外部,由直角三角形中的边角关系求得sinθ= 的值,可得cosθ、tanθ 的值,再根据tan2θ=,计算求得结果.‎ ‎【解答】解:设l1与l2的夹角为2θ,由于l1与l2的交点A(1,3)在圆的外部,‎ 且点A与圆心O之间的距离为OA==,‎ 圆的半径为r=,‎ ‎∴sinθ==,‎ ‎∴cosθ=,tanθ==,‎ ‎∴tan2θ===,‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质,直角三角形中的变角关系,同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用,属于中档题.‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17.(10分)数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1﹣an+2.‎ ‎(Ⅰ)设bn=an+1﹣an,证明{bn}是等差数列;‎ ‎(Ⅱ)求{an}的通项公式.‎ ‎【分析】(Ⅰ)将an+2=2an+1﹣an+2变形为:an+2﹣an+1=an+1﹣an+2,再由条件得bn+1=bn+2,根据条件求出b1,由等差数列的定义证明{bn}是等差数列;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)和等差数列的通项公式求出bn,代入bn=an+1﹣an并令n从1开始取值,依次得(n﹣1)个式子,然后相加,利用等差数列的前n项和公式求出{an}的通项公式an.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由an+2=2an+1﹣an+2得,‎ an+2﹣an+1=an+1﹣an+2,‎ 由bn=an+1﹣an得,bn+1=bn+2,‎ 即bn+1﹣bn=2,‎ 又b1=a2﹣a1=1,‎ 所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得,bn=1+2(n﹣1)=2n﹣1,‎ 由bn=an+1﹣an得,an+1﹣an=2n﹣1,‎ 则a2﹣a1=1,a3﹣a2=3,a4﹣a3=5,…,an﹣an﹣1=2(n﹣1)﹣1,‎ 所以,an﹣a1=1+3+5+…+2(n﹣1)﹣1‎ ‎==(n﹣1)2,‎ 又a1=1,‎ 所以{an}的通项公式an=(n﹣1)2+1=n2﹣2n+2.‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式,及累加法求数列的通项公式和转化思想,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B.‎ ‎【分析】由3acosC=2ccosA,利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA,再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC,利用tanB=tan[π﹣(A+C)]=﹣tan(A+C)即可得出.‎ ‎【解答】解:∵3acosC=2ccosA,‎ 由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA,‎ ‎∴3tanA=2tanC,‎ ‎∵tanA=,‎ ‎∴2tanC=3×=1,解得tanC=.‎ ‎∴tanB=tan[π﹣(A+C)]=﹣tan(A+C)=﹣=﹣=﹣1,‎ ‎∵B∈(0,π),‎ ‎∴B=‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2.‎ ‎(Ⅰ)证明:AC1⊥A1B;‎ ‎(Ⅱ)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1﹣AB﹣C的大小.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得;‎ ‎(Ⅱ)作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角,解三角形由反三角函数可得.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵A1D⊥平面ABC,A1D⊂平面AA1C1C,‎ ‎∴平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC ‎∴BC⊥平面AA1C1C,连结A1C,‎ 由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C,‎ 又AC1⊥BC,A1C∩BC=C,‎ ‎∴AC1⊥平面A1BC,AB1⊂平面A1BC,‎ ‎∴AC1⊥A1B;‎ ‎(Ⅱ)∵BC⊥平面AA1C1C,BC⊂平面BCC1B1,‎ ‎∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1,‎ 作A1E⊥CC1,E为垂足,可得A1E⊥平面BCC1B1,‎ 又直线AA1∥平面BCC1B1,‎ ‎∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离,即A1E=,‎ ‎∵A1C为∠ACC1的平分线,∴A1D=A1E=,‎ 作DF⊥AB,F为垂足,连结A1F,‎ 又可得AB⊥A1D,A1F∩A1D=A1,‎ ‎∴AB⊥平面A1DF,∵A1F⊂平面A1DF ‎∴A1F⊥AB,‎ ‎∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角,‎ 由AD==1可知D为AC中点,‎ ‎∴DF==,‎ ‎∴tan∠A1FD==,‎ ‎∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan ‎【点评】本题考查二面角的求解,作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键,属中档题.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)设每个工作日甲,乙,丙,丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.‎ ‎(Ⅰ)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;‎ ‎(Ⅱ)实验室计划购买k台设备供甲,乙,丙,丁使用,若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1,求k的最小值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加,即得所求.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得若k=2,不满足条件.若k=3,求得“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.06<0.1,满足条件,从而得出结论.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为 ‎0.6×0.5×0.5×0.4+(1﹣0.6)×0.5×0.5×0.4+0.6×(1﹣0.5)×0.5×0.4+0.6×0.5×(1﹣0.5)×0.4+0.6×0.5×0.5×(1﹣0.4)=0.31.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得若k=2,则“同一工作日需使用设备的人数大于2”的概率为0.31>0.1,不满足条件.‎ 若k=3,则“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为 0.6×0.5×0.5×‎ ‎0.4=0.06<0.1,满足条件.‎ 故k的最小值为3.‎ ‎【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).‎ ‎(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若f(x)在区间(1,2)是增函数,求a的取值范围.‎ ‎【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,通过导数为0,利用二次函数的根,通过a的范围讨论f(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)当a>0,x>0时,f(x)在区间(1,2)是增函数,当a<0时,f(x)在区间(1,2)是增函数,推出f′(1)≥0且f′(2)≥0,即可求a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=ax3+3x2+3x,‎ ‎∴f′(x)=3ax2+6x+3,‎ 令f′(x)=0,即3ax2+6x+3=0,则△=36(1﹣a),‎ ‎①若a≥1时,则△≤0,f′(x)≥0,∴f(x)在R上是增函数;‎ ‎②因为a≠0,∴a≤1且a≠0时,△>0,f′(x)=0方程有两个根,x1=,x2=,‎ 当0<a<1时,则当x∈(﹣∞,x2)或(x1,+∞)时,f′(x)>0,故函数在(﹣∞,x2)或(x1,+∞)是增函数;在(x2,x1)是减函数;‎ 当a<0时,则当x∈(﹣∞,x1)或(x2,+∞),f′(x)<0,故函数在(﹣∞,x1)或(x2,+∞)是减函数;在(x1,x2)是增函数;‎ ‎(Ⅱ)当a>0,x>0时,f′(x)=3ax2+6x+3>0 故a>0时,f(x)在区间(1,2)是增函数,‎ 当a<0时,f(x)在区间(1,2)是增函数,‎ 当且仅当:f′(1)≥0且f′(2)≥0,解得﹣,‎ a的取值范围[)∪(0,+∞).‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的应用,判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围,考查分类讨论思想的应用.‎ ‎ ‎ ‎22.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.‎ ‎(Ⅰ)求C的方程;‎ ‎(Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设点Q的坐标为(x0,4),把点Q的坐标代入抛物线C的方程,求得x0=,根据|QF|=|PQ|求得 p的值,可得C的方程.‎ ‎(Ⅱ)设l的方程为 x=my+1 (m≠0),代入抛物线方程化简,利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|.把直线l′的方程代入抛物线方程化简,利用韦达定理、弦长公式求得|MN|.由于MN垂直平分线段AB,故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|,由此求得m的值,可得直线l的方程.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设点Q的坐标为(x0,4),把点Q的坐标代入抛物线C:y2=2px(p>0),‎ 可得x0=,∵点P(0,4),∴|PQ|=.‎ 又|QF|=x0+=+,|QF|=|PQ|,‎ ‎∴+=×,求得 p=2,或 p=﹣2(舍去).‎ 故C的方程为 y2=4x.‎ ‎(Ⅱ)由题意可得,直线l和坐标轴不垂直,y2=4x的焦点F(1,0),‎ 设l的方程为 x=my+1(m≠0),‎ 代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0,显然判别式△=16m2+16>0,y1+y2=4m,y1•y2=﹣4.‎ ‎∴AB的中点坐标为D(2m2+1,2m),弦长|AB|=|y1﹣y2|==4(m2+1).‎ 又直线l′的斜率为﹣m,∴直线l′的方程为 x=﹣y+2m2+3.‎ 过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,‎ 把线l′的方程代入抛物线方程可得 y2+y﹣4(2m2+3)=0,∴y3+y4=,y3•y4=﹣4(2m2+3).‎ 故线段MN的中点E的坐标为(+2m2+3,),∴|MN|=|y3﹣y4|=,‎ ‎∵MN垂直平分线段AB,故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|,‎ ‎∴+DE2=MN2,‎ ‎∴4(m2+1)2 ++=×,化简可得 m2﹣1=0,‎ ‎∴m=±1,∴直线l的方程为 x﹣y﹣1=0,或 x+y﹣1=0.‎ ‎【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理、弦长公式的应用,体现了转化的数学思想,属于难题.‎ ‎ ‎
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