2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）

2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）

‎2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）‎ ‎1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（　　）‎ A．2 B．3 C．5 D．7‎ ‎2．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎3．（5分）不等式组的解集为（　　）‎ A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}‎ ‎4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）函数y=ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（　　）‎ A．y=（1﹣ex）3（x＞﹣1） B．y=（ex﹣1）3（x＞﹣1） C．y=（1﹣ex）3（x∈R） D．y=（ex﹣1）3（x∈R）‎ ‎6．（5分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎7．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（　　）‎ A．60种 B．70种 C．75种 D．150种 ‎8．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6=（　　）‎ A．31 B．32 C．63 D．64‎ ‎9．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2‎ ‎，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（　　）‎ A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1‎ ‎10．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（　　）‎ A． B．16π C．9π D．‎ ‎11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（　　）‎ A．2 B．2 C．4 D．4‎ ‎12．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1‎ ‎　‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)‎ ‎13．（5分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是　 　．（用数字作答）‎ ‎14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是　 　．‎ ‎15．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为　 　．‎ ‎16．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（10分）数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1﹣an+2．‎ ‎（Ⅰ）设bn=an+1﹣an，证明{bn}是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）求{an}的通项公式．‎ ‎18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．‎ ‎19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．‎ ‎（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；‎ ‎（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．‎ ‎20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．‎ ‎（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；‎ ‎（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．‎ ‎21．（12分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．‎ ‎22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．‎ ‎　‎ ‎2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）‎ ‎1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（　　）‎ A．2 B．3 C．5 D．7‎ ‎【分析】根据M与N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可．‎ ‎【解答】解：∵M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，‎ ‎∴M∩N={1，2，6}，即M∩N中元素的个数为3．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．‎ ‎【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．‎ ‎∴cosα===﹣，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）不等式组的解集为（　　）‎ A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取交集，即得所求．‎ ‎【解答】解：由不等式组可得 ，解得0＜x＜1，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 取AD中点F，连接EF，CF，‎ ‎∵E为AB的中点，‎ ‎∴EF∥DB，‎ 则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，‎ ‎∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，‎ ‎∴CE=CF．‎ 设正四面体的棱长为2a，‎ 则EF=a，‎ CE=CF=．‎ 在△CEF中，由余弦定理得：‎ ‎=．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）函数y=ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（　　）‎ A．y=（1﹣ex）3（x＞﹣1） B．y=（ex﹣1）3（x＞﹣1） C．y=（1﹣ex）3（x∈R） D．y=（ex﹣1）3（x∈R）‎ ‎【分析】由已知式子解出x，然后互换x、y的位置即可得到反函数．‎ ‎【解答】解：∵y=ln（+1），‎ ‎∴+1=ey，即=ey﹣1，‎ ‎∴x=（ey﹣1）3，‎ ‎∴所求反函数为y=（ex﹣1）3，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查反函数解析式的求解，属基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得、的值，可得（2﹣）•的值．‎ ‎【解答】解：由题意可得，=1×1×cos60°=，=1，‎ ‎∴（2﹣）•=2﹣=0，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（　　）‎ A．60种 B．70种 C．75种 D．150种 ‎【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，‎ 再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，‎ 则不同的选法共有15×5=75种；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6=（　　）‎ A．31 B．32 C．63 D．64‎ ‎【分析】由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．‎ ‎【解答】解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，‎ 所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，‎ 即3，12，S6﹣15成等比数列，‎ 可得122=3（S6﹣15），‎ 解得S6=63‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的性质，得出S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（　　）‎ A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1‎ ‎【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：∵△AF1B的周长为4，‎ ‎∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，‎ ‎∴4a=4，‎ ‎∴a=，‎ ‎∵离心率为，‎ ‎∴，c=1，‎ ‎∴b==，‎ ‎∴椭圆C的方程为+=1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（　　）‎ A． B．16π C．9π D．‎ ‎【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．‎ ‎【解答】解：设球的半径为R，则 ‎∵棱锥的高为4，底面边长为2，‎ ‎∴R2=（4﹣R）2+（）2，‎ ‎∴R=，‎ ‎∴球的表面积为4π•（）2=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（　　）‎ A．2 B．2 C．4 D．4‎ ‎【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，‎ ‎∴e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，‎ 则c=2a，b=，‎ ‎∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为，‎ ‎∴d=，‎ 即，‎ 解得c=2，‎ 则焦距为2c=4，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1‎ ‎【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，‎ ‎∴设g（x）=f（x+2），‎ 则g（﹣x）=g（x），‎ 即f（﹣x+2）=f（x+2），‎ ‎∵f（x）是奇函数，‎ ‎∴f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2），‎ 即f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x），‎ 则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，‎ ‎∴f（8）+f（9）=0+1=1，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)‎ ‎13．（5分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是　﹣160　．（用数字作答）‎ ‎【分析】根据题意，由二项式定理可得（x﹣2）6的展开式的通项，令x的系数为3，可得r=3，将r=3代入通项，计算可得T4=﹣160x3，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，（x﹣2）6的展开式的通项为Tr+1=C6rx6﹣r（﹣2）r=（﹣1）r•2r•C6rx6﹣r，‎ 令6﹣r=3可得r=3，‎ 此时T4=（﹣1）3•23•C63x3=﹣160x3，即x3的系数是﹣160；‎ 故答案为﹣160．‎ ‎【点评】本题考查二项式定理的应用，关键要得到（x﹣2）6的展开式的通项．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是　　．‎ ‎【分析】利用二倍角公式对函数化简可得y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=，结合﹣1≤sinx≤1及二次函数的性质可求函数有最大值 ‎【解答】解：∵y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=‎ 又∵﹣1≤sinx≤1‎ 当sinx=时，函数有最大值 故答案为：‎ ‎【点评】本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简，二次函数在闭区间上的最值的求解，解题中要注意﹣1≤sinx≤1的条件．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为　5　．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得C（1，1）．‎ 化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得．‎ 由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．‎ 此时zmax=1+4×1=5．‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于　　．‎ ‎【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ= 的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根据tan2θ=，计算求得结果．‎ ‎【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，‎ 且点A与圆心O之间的距离为OA==，‎ 圆的半径为r=，‎ ‎∴sinθ==，‎ ‎∴cosθ=，tanθ==，‎ ‎∴tan2θ===，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（10分）数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1﹣an+2．‎ ‎（Ⅰ）设bn=an+1﹣an，证明{bn}是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）求{an}的通项公式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）将an+2=2an+1﹣an+2变形为：an+2﹣an+1=an+1﹣an+2，再由条件得bn+1=bn+2，根据条件求出b1，由等差数列的定义证明{bn}是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出bn，代入bn=an+1﹣an并令n从1开始取值，依次得（n﹣1）个式子，然后相加，利用等差数列的前n项和公式求出{an}的通项公式an．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由an+2=2an+1﹣an+2得，‎ an+2﹣an+1=an+1﹣an+2，‎ 由bn=an+1﹣an得，bn+1=bn+2，‎ 即bn+1﹣bn=2，‎ 又b1=a2﹣a1=1，‎ 所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1，‎ 由bn=an+1﹣an得，an+1﹣an=2n﹣1，‎ 则a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，…，an﹣an﹣1=2（n﹣1）﹣1，‎ 所以，an﹣a1=1+3+5+…+2（n﹣1）﹣1‎ ‎==（n﹣1）2，‎ 又a1=1，‎ 所以{an}的通项公式an=（n﹣1）2+1=n2﹣2n+2．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．‎ ‎【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）即可得出．‎ ‎【解答】解：∵3acosC=2ccosA，‎ 由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，‎ ‎∴3tanA=2tanC，‎ ‎∵tanA=，‎ ‎∴2tanC=3×=1，解得tanC=．‎ ‎∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，‎ ‎∵B∈（0，π），‎ ‎∴B=‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．‎ ‎（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；‎ ‎（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；‎ ‎（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，‎ ‎∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC ‎∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，‎ 由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，‎ 又AC1⊥BC，A1C∩BC=C，‎ ‎∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，‎ ‎∴AC1⊥A1B；‎ ‎（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，‎ ‎∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，‎ 作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，‎ 又直线AA1∥平面BCC1B1，‎ ‎∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=，‎ ‎∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E=，‎ 作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，‎ 又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1，‎ ‎∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF ‎∴A1F⊥AB，‎ ‎∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，‎ 由AD==1可知D为AC中点，‎ ‎∴DF==，‎ ‎∴tan∠A1FD==，‎ ‎∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan ‎【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．‎ ‎（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；‎ ‎（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，不满足条件．若k=3，求得“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.06＜0.1，满足条件，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为 ‎0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，则“同一工作日需使用设备的人数大于2”的概率为0.31＞0.1，不满足条件．‎ 若k=3，则“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为 0.6×0.5×0.5×‎ ‎0.4=0.06＜0.1，满足条件．‎ 故k的最小值为3．‎ ‎【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，利用二次函数的根，通过a的范围讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，推出f′（1）≥0且f′（2）≥0，即可求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ax3+3x2+3x，‎ ‎∴f′（x）=3ax2+6x+3，‎ 令f′（x）=0，即3ax2+6x+3=0，则△=36（1﹣a），‎ ‎①若a≥1时，则△≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在R上是增函数；‎ ‎②因为a≠0，∴a≤1且a≠0时，△＞0，f′（x）=0方程有两个根，x1=，x2=，‎ 当0＜a＜1时，则当x∈（﹣∞，x2）或（x1，+∞）时，f′（x）＞0，故函数在（﹣∞，x2）或（x1，+∞）是增函数；在（x2，x1）是减函数；‎ 当a＜0时，则当x∈（﹣∞，x1）或（x2，+∞），f′（x）＜0，故函数在（﹣∞，x1）或（x2，+∞）是减函数；在（x1，x2）是增函数；‎ ‎（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f′（x）=3ax2+6x+3＞0 故a＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，‎ 当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，‎ 当且仅当：f′（1）≥0且f′（2）≥0，解得﹣，‎ a的取值范围[）∪（0，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得 p的值，可得C的方程．‎ ‎（Ⅱ）设l的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px（p＞0），‎ 可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．‎ 又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，‎ ‎∴+=×，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）．‎ 故C的方程为 y2=4x．‎ ‎（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），‎ 设l的方程为 x=my+1（m≠0），‎ 代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．‎ ‎∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．‎ 又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为 x=﹣y+2m2+3．‎ 过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，‎ 把线l′的方程代入抛物线方程可得 y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．‎ 故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，‎ ‎∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，‎ ‎∴+DE2=MN2，‎ ‎∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得 m2﹣1=0，‎ ‎∴m=±1，∴直线l的方程为 x﹣y﹣1=0，或 x+y﹣1=0．‎ ‎【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．‎ ‎　‎