2006年湖北省高考数学试卷(理科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

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文档介绍

2006年湖北省高考数学试卷(理科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

‎2006年湖北省高考数学试卷(理科)‎ 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)‎ ‎1. 已知向量a‎→‎‎=(‎3‎,1)‎,b‎→‎是不平行于x轴的单位向量,且a‎→‎‎⋅b‎→‎=‎‎3‎,则b‎→‎‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎(‎3‎‎2‎,‎1‎‎2‎)‎ B.‎(‎1‎‎2‎,‎3‎‎2‎)‎ C.‎(‎1‎‎4‎,‎3‎‎3‎‎4‎)‎ D.‎‎(1, 0)‎ ‎2. 若互不相等的实数a,b,c成等差数列,c,a,b成等比数列,且a+3b+c=‎10‎,则a=( )‎ A.‎4‎ B.‎2‎ C.‎-2‎ D.‎‎-4‎ ‎3. 若‎△ABC的内角A满足sin2A=‎‎2‎‎3‎,则sinA+cosA=(‎        ‎‎)‎ A.‎15‎‎3‎ B.‎-‎‎15‎‎3‎ C.‎5‎‎3‎ D.‎‎-‎‎5‎‎3‎ ‎4. 设f(x)=lg‎2+x‎2-x,则f(x‎2‎)+f(‎2‎x)‎的定义域为( )‎ A.‎(-4, 0)∪(0, 4)‎ B.‎(-4, -1)∪(1, 4)‎ C.‎(-2, -1)∪(1, 2)‎ D.‎‎(-4, -2)∪(2, 4)‎ ‎5. 在‎(x-‎‎1‎‎3‎x‎)‎‎24‎的展开式中,x的幂的指数是整数的项共有( )‎ A.‎3‎项 B.‎4‎项 C.‎5‎项 D.‎9‎项 ‎6. 关于直线m,n与平面α,β,有以下四个命题:‎ ‎①若m // α,n // β且α // β,则m // n;‎ ‎②若m⊥α,n⊥β且α⊥β,则m⊥n;‎ ‎③若m⊥α,n // β且α // β,则m⊥n;‎ ‎④若m // α,n⊥β且α⊥β,则m // n;‎ 其中真命题的序号是( )‎ A.①② B.③④ C.①④ D.②③‎ ‎7. 设过点P(x, y)‎的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若BP‎→‎‎=2‎PA‎→‎且OQ‎→‎‎⋅AB‎→‎=1‎,则点P的轨迹方程是( )‎ A.‎3x‎2‎+‎3‎‎2‎y‎2‎=1(x>0,y>0)‎ B.‎‎3x‎2‎-‎3‎‎2‎y‎2‎=1(x>0,y>0)‎ C.‎3‎‎2‎x‎2‎‎-3y‎2‎=1(x>0,y>0)‎ D.‎‎3‎‎2‎x‎2‎‎+3y‎2‎=1(x>0,y>0)‎ ‎8. 有限集合S中元素的个数记做card(S)‎,设A,B都为有限集合,给出下列命题:‎ ‎①A∩B=⌀‎的充要条件是card(A∪B)=card(A)+card(B)‎;‎ ‎②A⊆B的必要条件是card(A)≤card(B)‎;‎ ‎③A⊈B的充要条件是card(A)≤card(B)‎;‎ ‎④A=B的充要条件是card(A)=card(B)‎;‎ 其中真命题的序号是( )‎ A.③④ B.①② C.①④ D.②③‎ ‎9. 已知平面区域D由以A(1, 3)‎,B(5, 2)‎,C(3, 1)‎为顶点的三角形内部以及边界组成.若在区域D上有无穷多个点‎(x, y)‎可使目标函数z=x+my取得最小值,则m=(‎ ‎‎)‎ A.‎-2‎ B.‎-1‎ C.‎1‎ D.‎‎4‎ ‎10. 关于x的方程‎(x‎2‎-1‎)‎‎2‎-|x‎2‎-1|+k=‎0‎,给出下列四个命题:‎ ‎①存在实数k,使得方程恰有‎2‎个不同的实根;‎ ‎ 8 / 8‎ ‎②存在实数k,使得方程恰有‎4‎个不同的实根;‎ ‎③存在实数k,使得方程恰有‎5‎个不同的实根;‎ ‎④存在实数k,使得方程恰有‎8‎个不同的实根;‎ 其中假命题的个数是( )‎ A.‎0‎ B.‎1‎ C.‎2‎ D.‎‎3‎ 二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)‎ ‎11. 设x,y为实数,且x‎1-i‎+y‎1-2i=‎‎5‎‎1-3i,则x+y=‎________.‎ ‎12. 接种某疫苗后,出现发热反应的概率为‎0.80‎,现有‎5‎人接种了该疫苗,至少有‎3‎人出现发热反应的概率为________.(精确到‎0.01‎)‎ ‎13. 已知直线‎5x-12y+a=0‎与圆x‎2‎‎-2x+y‎2‎=0‎相切,则a的值为________.‎ ‎14. 某工程队有‎6‎项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,有工程丁必须在工程丙完成后立即进行.那么安排这‎6‎项工程的不同排法种数是________.(用数字作答)‎ ‎15. 将杨辉三角中的每一个数Cnr都换成‎1‎‎(n+1)‎Cnr,就得到一个如下图所示的分数三角形,成为莱布尼茨三角形,从莱布尼茨三角形可看出‎1‎‎(n+1)‎Cnr‎+‎1‎‎(n+1)‎Cnx=‎‎1‎nCn-1‎r,其中x=r+1‎,令an‎=‎1‎‎3‎+‎1‎‎12‎+‎1‎‎30‎+‎1‎‎60‎+…+‎1‎nCn-1‎‎2‎+‎‎1‎‎(n+1)‎Cn‎2‎,则limn→∞‎an‎=‎________.‎ 三、解答题(共6小题,满分75分)‎ ‎16. 设函数f(x)=a‎→‎⋅(b‎→‎+c‎→‎)‎,其中向量a‎→‎‎=(sinx,-cosx)‎,b‎→‎‎=(sinx,-3cosx)‎,c‎→‎‎=(-cosx,sinx)‎,x∈R.‎ ‎(1)求函数f(x)‎的最大值和最小正周期;‎ ‎(2)将函数f(x)‎的图象按向量d‎→‎平移,使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称,求长度最小的d‎→‎.‎ ‎ 8 / 8‎ ‎17. 已知二次函数y=f(x)‎的图象经过坐标原点,其导函数为f‎'‎‎(x)=6x-2‎,数列‎{an}‎的前n项和为Sn,点‎(n, Sn)(n∈N‎*‎)‎均在函数y=f(x)‎的图象上.‎ 求数列‎{an}‎的通项公式;‎ 设bn‎=‎‎3‎anan+1‎,Tn是数列‎{bn}‎的前n项和,求使得Tn‎<‎m‎20‎对所有n∈‎N‎*‎都成立的最小正整数m.‎ ‎18. 如图,在底面边长为‎1‎,侧棱长为‎2‎的正四棱柱ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中,P是侧棱CC‎1‎上的一点,CP=m.‎ ‎(I)‎试确定m,使直线AP与平面BDD‎1‎B‎1‎所成角为‎60‎‎∘‎;‎ ‎(II)‎在线段A‎1‎C‎1‎上是否存在一个定点Q,使得对任意的m,D‎1‎Q⊥AP,并证明你的结论.‎ ‎ 8 / 8‎ ‎19. 在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70, 100)‎.已知成绩在‎90‎分以上(含‎90‎分)的学生有‎12‎名.‎ ‎(1)试问此次参赛学生总数约为多少人?‎ ‎(2)若该校计划奖励竞赛成绩排在前‎50‎名的学生,试问设奖的分数线约为多少分?可共查阅的(部分)标准正态分布表Φ(x‎0‎)=P(x0)‎的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且x=4‎为它的右准线.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设P为右准线上不同于点‎(4, 0)‎的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M、N,证明点B在以MN为直径的圆内.‎ ‎ 8 / 8‎ ‎21. 设x=3‎是函数f(x)=(x‎2‎+ax+b)e‎3-x(x∈R)‎的一个极值点.‎ ‎(1)求a与b的关系式(用a表示b),并求f(x)‎的单调区间;‎ ‎(2)设a>0‎,g(x)=(a‎2‎+‎25‎‎4‎)‎ex.若存在ξ‎1‎,ξ‎2‎‎∈[0, 4]‎使得‎|f(ξ‎1‎)-g(ξ‎2‎)|<1‎成立,求a的取值范围.‎ ‎ 8 / 8‎ 参考答案与试题解析 ‎2006年湖北省高考数学试卷(理科)‎ 一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)‎ ‎1.B ‎2.D ‎3.A ‎4.B ‎5.D ‎6.D ‎7.D ‎8.B ‎9.C ‎10.A 二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)‎ ‎11.‎‎4‎ ‎12.‎‎0.94‎ ‎13.‎-18‎或‎8‎ ‎14.‎‎20‎ ‎15.‎‎1‎‎2‎ 三、解答题(共6小题,满分75分)‎ ‎16.解:(1)由题意得,‎f(x)=a⋅(b+c)=(sinx, -cosx)⋅(sinx-cosx, sinx-3cosx)‎ ‎=sin‎2‎x-2sinxcosx+3cos‎2‎x=2+cos2x-sin2x=2+‎2‎sin(2x+‎3π‎4‎)‎‎.‎ 所以,f(x)‎的最大值为‎2+‎‎2‎,最小正周期是‎2π‎2‎‎=π.‎ ‎(2)由sin(2x+‎3π‎4‎)=0‎得‎2x+‎3π‎4‎=k.π,即x=kπ‎2‎-‎‎3π‎8‎,k∈Z,‎ 于是d=(kπ‎2‎-‎3π‎8‎, -2)‎,‎|d|=‎‎(kπ‎2‎-‎3π‎8‎‎)‎‎2‎+4‎,k∈Z.‎ 因为k为整数,要使‎|d|‎最小,则只有k=1‎,此时d=(-π‎8‎, -2)‎即为所求.‎ ‎17.‎an‎=6n-5(n∈N‎*‎)‎ ‎10‎ ‎18.解:‎(1)‎建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(1, 0, 0)‎‎,B(1, 1, 0)‎,‎ P(0, 1, m)‎‎,C(0, 1, 0)‎,‎ D(0, 0, 0)‎‎,B‎1‎‎(1, 1, 2)‎,D‎1‎‎(0, 0, 2)‎.‎ 所以BD‎→‎‎=(-1,-1,0),BB‎1‎‎→‎=(0,0,2)‎,‎ AP‎→‎‎=(-1,1,m),AC‎→‎=(-1,1,0)‎‎.‎ 又由AC‎→‎‎⋅BD‎→‎=0,AC‎→‎⋅BB‎1‎‎→‎=0知AC‎→‎为平面BB‎1‎D‎1‎D的一个法向量.‎ 设AP与面BDD‎1‎B‎1‎所成的角为θ,‎ 则sinθ=cos(π‎2‎-θ)=‎|AP‎→‎|⋅|AC‎→‎|‎‎˙‎=‎2‎‎2‎‎⋅‎‎2+‎m‎2‎=‎‎3‎‎2‎,‎ 解得m=‎‎6‎‎3‎.故当m=‎‎6‎‎3‎时,‎ 直线AP与平面BDD‎1‎B‎1‎所成角为‎60‎‎∘‎;‎ ‎ 8 / 8‎ ‎(2)‎若在A‎1‎C‎1‎上存在这样的点Q,设此点的横坐标为x,‎ 则Q(x,1-x,2),D‎1‎Q‎→‎=(x,1-x,0)‎.‎ 依题意,对任意的m要使D‎1‎Q在平面APD‎1‎上的射影垂直于AP.等价于 D‎1‎Q‎→‎‎⊥AP‎→‎⇔D‎1‎Q‎→‎⋅AP‎→‎=0⇔-x+(1-x)=0⇔x=‎‎1‎‎2‎ 即Q为A‎1‎C‎1‎的中点时,满足题设的要求.‎ ‎19.解:(1)设参赛学生的分数为ξ,因为ξ∼N(70, 100)‎,‎ 由条件知,‎P(ξ≥90)=1-P(ξ<90)=1-φ(90)‎ ‎=1-Φ(‎90-70‎‎10‎)=1-Φ(2)=1-0.9772=0.0228‎‎.‎ 这说明成绩在‎90‎分以上(含‎90‎分)的学生人数约占全体参赛人数的‎2.28%‎,‎ ‎∴ 参赛总人数约为‎12‎‎0.0228‎‎≈526‎(人).‎ ‎(2)假定设奖的分数线为x分,则 P(ξ≥x)=1-P(ξ0‎,‎ ‎∴ BM‎→‎‎⋅BP‎→‎>0‎,则‎∠MBP为锐角,从而‎∠MBN为钝角,‎ ‎ 8 / 8‎ 故点B在以MN为直径的圆内.‎ ‎21.解:(1)f'(x)=-[x‎2‎+(a-2)x+b-a]‎e‎3-x,‎ 由f'(3)=0‎,得‎-[‎3‎‎2‎+(a-2)3+b-a]e‎3-3‎=0‎,即得b=-3-2a,‎ 则f'(x)=[x‎2‎+(a-2)x-3-2a-a]‎e‎3-x ‎=-[x‎2‎+(a-2)x-3-3a]e‎3-x=-(x-3)(x+a+1)‎e‎3-x‎.‎ 令f'(x)=0‎,得x‎1‎‎=3‎或x‎2‎‎=-a-1‎,‎ 由于x=3‎是极值点,‎ 所以x+a+1≠0‎,那么a≠-4‎.‎ 当a<-4‎时,x‎2‎‎>3=‎x‎1‎,则 在区间‎(-∞, 3)‎上,f'(x)<0‎,f(x)‎为减函数;‎ 在区间‎(3, -a-1)‎上,f'(x)>0‎,f(x)‎为增函数;‎ 在区间‎(-a-1, +∞)‎上,f'(x)<0‎,f(x)‎为减函数.‎ 当a>-4‎时,x‎2‎‎<3=‎x‎1‎,则 在区间‎(-∞, -a-1)‎上,f'(x)<0‎,f(x)‎为减函数;‎ 在区间‎(-a-1, 3)‎上,f'(x)>0‎,f(x)‎为增函数;‎ 在区间‎(3, +∞)‎上,f'(x)<0‎,f(x)‎为减函数.‎ ‎(2)由(1)知,当a>0‎时,f(x)‎在区间‎(0, 3)‎上的单调递增,在区间‎(3, 4)‎上单调递减,‎ 那么f(x)‎在区间‎[0, 4]‎上的值域是‎[min(f(0), f(4)), f(3)]‎,‎ 而f(0)=-(2a+3)e‎3‎<0‎,f(4)=(2a+13)e‎-1‎>0‎,f(3)=a+6‎,‎ 那么f(x)‎在区间‎[0, 4]‎上的值域是‎[-(2a+3)e‎3‎, a+6]‎.‎ 又g(x)=(a‎2‎+‎25‎‎4‎)‎ex在区间‎[0, 4]‎上是增函数,‎ 且它在区间‎[0, 4]‎上的值域是‎[a‎2‎+‎25‎‎4‎, (a‎2‎+‎25‎‎4‎)e‎4‎]‎,‎ 由于‎(a‎2‎+‎25‎‎4‎)-(a+6)=a‎2‎-a+‎1‎‎4‎=(a-‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎≥0‎,‎ 所以只须仅须‎(a‎2‎+‎25‎‎4‎)-(a+6)<1‎且a>0‎,‎ 解得‎0
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