2013年广东省高考数学试卷(理科)

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文档介绍

2013年广东省高考数学试卷(理科)

‎2013年广东省高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)设集合M={x|x2+2x=0,x∈R},N={x|x2﹣2x=0,x∈R},则M∪N=(  )‎ A.{0} B.{0,2} C.{﹣2,0} D.{﹣2,0,2}‎ ‎2.(5分)定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sinx中,奇函数的个数是(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎3.(5分)若复数z满足iz=2+4i,则在复平面内,z对应的点的坐标是(  )‎ A.(2,4) B.(2,﹣4) C.(4,﹣2) D.(4,2)‎ ‎4.(5分)已知离散型随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 则X的数学期望E(X)=(  )‎ A. B.2 C. D.3‎ ‎5.(5分)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是(  )‎ A.4 B. C. D.6‎ ‎6.(5分)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是(  )‎ A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n C.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β D.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β ‎7.(5分)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于,则C的方程是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.(5分)设整数n≥4,集合X={1,2,3,…,n}.令集合S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三条件x<y<z,y<z<x,z<x<y恰有一个成立}.若(x,y,z)和(z,w,x)都在S中,则下列选项正确的是(  )‎ A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∉S B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S C.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∈S D.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∉S ‎ ‎ 二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.‎ ‎9.(5分)不等式x2+x﹣2<0的解集为  .‎ ‎10.(5分)若曲线y=kx+lnx在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k=  .‎ ‎11.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入n的值为4,则输出s的值为  .‎ ‎12.(5分)在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=  .‎ ‎13.(5分)给定区域D:.令点集T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0‎ ‎,y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点},则T中的点共确定   条不同的直线.‎ ‎14.(5分)(坐标系与参数方程选做题)‎ 已知曲线C的参数方程为(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为  .‎ ‎15.如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6,ED=2,则BC=  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎16.(12分)已知函数f(x)=cos(x﹣),x∈R.‎ ‎(Ⅰ)求f(﹣)的值; ‎ ‎(Ⅱ)若cosθ=,θ∈(,2π),求f(2θ+).‎ ‎17.(12分)某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.‎ ‎(1)根据茎叶图计算样本均值;‎ ‎(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人?‎ ‎(3)从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.‎ ‎18.(14分)如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,,O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE,其中A′O=.‎ ‎(1)证明:A′O⊥平面BCDE;‎ ‎(2)求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值.‎ ‎19.(14分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,,n∈N*.‎ ‎(1)求a2的值;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(3)证明:对一切正整数n,有.‎ ‎20.(14分)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x﹣y﹣2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;‎ ‎(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|•|BF|的最小值.‎ ‎21.(14分)设函数f(x)=(x﹣1)ex﹣kx2(k∈R).‎ ‎(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)当时,求函数f(x)在[0,k]上的最大值M.‎ ‎ ‎ ‎2013年广东省高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)(2013•广东)设集合M={x|x2+2x=0,x∈R},N={x|x2﹣2x=0,x∈R},则M∪N=(  )‎ A.{0} B.{0,2} C.{﹣2,0} D.{﹣2,0,2}‎ ‎【分析】根据题意,分析可得,M={0,﹣2},N={0,2},进而求其并集可得答案.‎ ‎【解答】解:分析可得,‎ M为方程x2+2x=0的解集,则M={x|x2+2x=0}={0,﹣2},‎ N为方程x2﹣2x=0的解集,则N={x|x2﹣2x=0}={0,2},‎ 故集合M∪N={0,﹣2,2},‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2013•广东)定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sinx中,奇函数的个数是(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎【分析】根据函数奇偶性的定义及图象特征逐一盘点即可.‎ ‎【解答】解:y=x3的定义域为R,关于原点对称,且(﹣x)3=﹣x3,所以函数y=x3为奇函数;‎ y=2x的图象过点(0,1),既不关于原点对称,也不关于y轴对称,为非奇非偶函数;‎ y=x2+1的图象过点(0,1)关于y轴对称,为偶函数;‎ y=2sinx的定义域为R,关于原点对称,且2sin(﹣x)=﹣2sinx,所以y=2sinx为奇函数;‎ 所以奇函数的个数为2,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2013•广东)若复数z满足iz=2+4i,则在复平面内,z对应的点的坐标是(  )‎ A.(2,4) B.(2,﹣4) C.(4,﹣2) D.(4,2)‎ ‎【分析】由题意可得z=,再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为 4﹣2i,从而求得z对应的点的坐标.‎ ‎【解答】解:复数z满足iz=2+4i,则有z===4﹣2i,‎ 故在复平面内,z对应的点的坐标是(4,﹣2),‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2013•广东)已知离散型随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 则X的数学期望E(X)=(  )‎ A. B.2 C. D.3‎ ‎【分析】利用数学期望的计算公式即可得出.‎ ‎【解答】解:由数学期望的计算公式即可得出:E(X)==.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2013•广东)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是(  )‎ A.4 B. C. D.6‎ ‎【分析】由题意直接利用三视图的数据求解棱台的体积即可.‎ ‎【解答】解:几何体是四棱台,下底面是边长为2的正方形,上底面是边长为1的正方形,棱台的高为2,‎ 并且棱台的两个侧面与底面垂直,‎ 四楼台的体积为V==.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2013•广东)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是(  )‎ A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n C.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β D.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β ‎【分析】由α⊥β,m⊂α,n⊂β,可推得m⊥n,m∥n,或m,n异面;由α∥β,m⊂α,n⊂β,可得m∥n,或m,n异面;由m⊥n,m⊂α,n⊂β,可得α与β可能相交或平行;由m⊥α,m∥n,则n⊥α,再由n∥β可得α⊥β.‎ ‎【解答】解:选项A,若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则可能m⊥n,m∥n,或m,n异面,故A错误;‎ 选项B,若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n,或m,n异面,故B错误;‎ 选项C,若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α与β可能相交,也可能平行,故C错误;‎ 选项D,若m⊥α,m∥n,则n⊥α,再由n∥β可得α⊥β,故D正确.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2013•广东)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于,则C的方程是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】设出双曲线方程,利用双曲线的右焦点为F(3,0),离心率为 ,建立方程组,可求双曲线的几何量,从而可得双曲线的方程.‎ ‎【解答】解:设双曲线方程为 (a>0,b>0),则 ‎∵双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于 ,‎ ‎∴,∴c=3,a=2,∴b2=c2﹣a2=5‎ ‎∴双曲线方程为 .‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2013•广东)设整数n≥4,集合X={1,2,3,…,n}.令集合S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三条件x<y<z,y<z<x,z<x<y恰有一个成立}.若(x,y,z)和(z,w,x)都在S中,则下列选项正确的是(  )‎ A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∉S B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S C.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∈S D.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∉S ‎【分析】特殊值排除法,取x=2,y=3,z=4,w=1,可排除错误选项,即得答案.‎ ‎【解答】解:方法一:特殊值排除法,‎ 取x=2,y=3,z=4,w=1,显然满足(x,y,z)和(z,w,x)都在S中,‎ 此时(y,z,w)=(3,4,1)∈S,(x,y,w)=(2,3,1)∈S,故A、C、D均错误;‎ 只有B成立,故选B.‎ 直接法:‎ 根据题意知,只要y<z<w,z<w<y,w<y<z中或x<y<w,y<w<x,w<x<y中恰有一个成立则可判断(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S.‎ ‎∵(x,y,z)∈S,(z,w,x)∈S,‎ ‎∴x<y<z…①,y<z<x…②,z<x<y…③三个式子中恰有一个成立; z<w<x…④,w<x<z…⑤,x<z<w…⑥三个式子中恰有一个成立.‎ 配对后有四种情况成立,‎ 第一种:①⑤成立,此时w<x<y<z,于是(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S;‎ 第二种:①⑥成立,此时x<y<z<w,于是(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S;‎ 第三种:②④成立,此时y<z<w<x,于是(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S;‎ 第四种:③④成立,此时z<w<x<y,于是(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S.‎ 综合上述四种情况,可得(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.‎ ‎9.(5分)(2013•广东)不等式x2+x﹣2<0的解集为 (﹣2,1) .‎ ‎【分析】先求相应二次方程x2+x﹣2=0的两根,根据二次函数y=x2+x﹣2的图象即可写出不等式的解集.‎ ‎【解答】解:方程x2+x﹣2=0的两根为﹣2,1,‎ 且函数y=x2+x﹣2的图象开口向上,‎ 所以不等式x2+x﹣2<0的解集为(﹣2,1).‎ 故答案为:(﹣2,1).‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2013•广东)若曲线y=kx+lnx在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k= ﹣1 .‎ ‎【分析】先求出函数的导数,再由题意知在1处的导数值为0,列出方程求出k的值.‎ ‎【解答】解:由题意得,y′=k+,‎ ‎∵在点(1,k)处的切线平行于x轴,‎ ‎∴k+1=0,得k=﹣1,‎ 故答案为:﹣1.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)(2013•广东)执行如图所示的程序框图,若输入n的值为4,则输出s的值为 7 .‎ ‎【分析】由已知中的程序框图及已知中输入4,可得:进入循环的条件为i≤4,即i=1,2,3,4.模拟程序的运行结果,即可得到输出的S值.‎ ‎【解答】解:当i=1时,S=1+1﹣1=1;‎ 当i=2时,S=1+2﹣1=2;‎ 当i=3时,S=2+3﹣1=4;‎ 当i=4时,S=4+4﹣1=7;‎ 当i=5时,退出循环,输出S=7;‎ 故答案为:7.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2013•广东)在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7= 20 .‎ ‎【分析】根据等差数列性质可得:3a5+a7=2(a5+a6)=2(a3+a8).‎ ‎【解答】解:由等差数列的性质得:‎ ‎3a5+a7=2a5+(a5+a7)=2a5+(2a6)=2(a5+a6)=2(a3+a8)=20,‎ 故答案为:20.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2013•广东)给定区域D:.令点集T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点},则T中的点共确定 6  条不同的直线.‎ ‎【分析】先根据所给的可行域,利用几何意义求最值,z=x+y表示直线在y轴上的截距,只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可,从而得出点集T中元素的个数,即可得出正确答案.‎ ‎【解答】解:画出不等式表示的平面区域,如图.‎ 作出目标函数对应的直线,因为直线z=x+y与直线x+y=4平行,故直线z=x+y过直线x+y=4上的整数点:(4,0),(3,1),(2,2),(1,3)或(0,4)时,直线的纵截距最大,z最大;‎ 当直线过(0,1)时,直线的纵截距最小,z最小,从而点集T={(4,0),(3,1),(2,2),(1,3),(0,4),(0,1)},经过这六个点的直线一共有6条.‎ 即T中的点共确定6条不同的直线.‎ 故答案为:6.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2013•广东)(坐标系与参数方程选做题)‎ 已知曲线C的参数方程为(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为 ρcosθ+ρsinθ﹣2=0(填或也得满分) .‎ ‎【分析】先求出曲线C的普通方程,再利用直线与圆相切求出切线的方程,最后利用x=ρcosθ,y=ρsinθ代换求得其极坐标方程即可.‎ ‎【解答】解:由(t为参数),两式平方后相加得x2+y2=2,…(4分)‎ ‎∴曲线C是以(0,0)为圆心,半径等于的圆.‎ C在点(1,1)处的切线l的方程为x+y=2,‎ 令x=ρcosθ,y=ρsinθ,‎ 代入x+y=2,并整理得ρcosθ+ρsinθ﹣2=0,即或,‎ 则l的极坐标方程为 ρcosθ+ρsinθ﹣2=0(填或也得满分). …(10分)‎ 故答案为:ρcosθ+ρsinθ﹣2=0(填或也得满分).‎ ‎ ‎ ‎15.(2013•广东)如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6,ED=2,则BC=  .‎ ‎【分析】利用AB是圆O的直径,可得∠ACB=90°.即AC⊥BD.又已知BC=CD,可得△ABD是等腰三角形,可得∠D=∠B.再利用弦切角定理可得∠ACE=∠B,得到∠AEC=∠ACB=90°,进而得到△CED∽△ACB,利用相似三角形的性质即可得出.‎ ‎【解答】解:∵AB是圆O的直径,∴∠ACB=90°.即AC⊥BD.‎ 又∵BC=CD,∴AB=AD,∴∠D=∠ABC,∠EAC=∠BAC.‎ ‎∵CE与⊙O相切于点C,∴∠ACE=∠ABC.∴∠AEC=∠ACB=90°.‎ ‎∴△CED∽△ACB.‎ ‎∴,又CD=BC,‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎16.(12分)(2013•广东)已知函数f(x)=cos(x﹣),x∈R.‎ ‎(Ⅰ)求f(﹣)的值; ‎ ‎(Ⅱ)若cosθ=,θ∈(,2π),求f(2θ+).‎ ‎【分析】(1)把x=﹣直接代入函数解析式求解.‎ ‎(2)先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值以及sin2θ,然后将x=2θ+代入函数解析式,并利用两角和与差公式求得结果.‎ ‎【解答】解:(1)‎ ‎(2)因为,‎ 所以 所以,‎ 所以=‎ ‎ ‎ ‎17.(12分)(2013•广东)某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.‎ ‎(1)根据茎叶图计算样本均值;‎ ‎(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人?‎ ‎(3)从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.‎ ‎【分析】(1)茎叶图中共同的数字是数字的十位,这是解决本题的突破口,根据所给的茎叶图数据,代入平均数公式求出结果;‎ ‎(2)先由(1)求得的平均数,再利用比例关系即可推断该车间12名工人中有几名优秀工人的人数;‎ ‎(3)设“从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人”为事件A,结合组合数利用概率的计算公式即可求解事件A的概率.‎ ‎【解答】解:(1)样本均值为;‎ ‎(2)抽取的6名工人中有2名为优秀工人,所以12名工人中有4名优秀工人;‎ ‎(3)设“从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人”为事件A,‎ 所以,‎ 即恰有1名优秀工人的概率为.‎ ‎ ‎ ‎18.(14分)(2013•广东)如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,,O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE,其中A′O=.‎ ‎(1)证明:A′O⊥平面BCDE;‎ ‎(2)求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值.‎ ‎【分析】(1)连接OD,OE.在等腰直角三角形ABC中,∠B=∠C=45°,,AD=AE=,CO=BO=3.分别在△COD与△OBE中,利用余弦定理可得OD,OE.利用勾股定理的逆定理可证明∠A′OD=∠A′OE=90°,再利用线面垂直的判定定理即可证明;‎ ‎(2)方法一:过点O作OF⊥CD的延长线于F,连接A′F.利用(1)可知:A′O⊥平面BCDE,根据三垂线定理得A′F⊥CD,所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角.在直角△OCF中,求出OF即可;‎ 方法二:取DE中点H,则OH⊥OB.以O为坐标原点,OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角.‎ ‎【解答】(1)证明:连接OD,OE.‎ 因为在等腰直角三角形ABC中,∠B=∠C=45°,,CO=BO=3.‎ 在△COD中,,同理得.‎ 因为,.‎ 所以A′O2+OD2=A′D2,A′O2+OE2=A′E2.‎ 所以∠A′OD=∠A′OE=90°‎ 所以A′O⊥OD,A′O⊥OE,OD∩OE=O.‎ 所以A′O⊥平面BCDE.‎ ‎(2)方法一:‎ 过点O作OF⊥CD的延长线于F,连接A′F 因为A′O⊥平面BCDE.‎ 根据三垂线定理,有A′F⊥CD.‎ 所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角.‎ 在Rt△COF中,.‎ 在Rt△A′OF中,=.‎ 所以.‎ 所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为.‎ 方法二:‎ 取DE中点H,则OH⊥OB.‎ 以O为坐标原点,OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.‎ 则O(0,0,0),A′(0,0,),C(0,﹣3,0),D(1,﹣2,0)=(0,0,)是平面BCDE的一个法向量.‎ 设平面A′CD的法向量为n=(x,y,z),.‎ 所以,令x=1,则y=﹣1,.‎ 所以是平面A′CD的一个法向量 设二面角A′﹣CD﹣B的平面角为θ,且 所以 所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为 ‎ ‎ ‎19.(14分)(2013•广东)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,,n∈N*.‎ ‎(1)求a2的值;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(3)证明:对一切正整数n,有.‎ ‎【分析】(1)利用已知a1=1,,n∈N*.令n=1即可求出;‎ ‎(2)利用an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2)即可得到nan+1=(n+1)an+n(n+1),可化为,.再利用等差数列的通项公式即可得出;‎ ‎(3)利用(2),通过放缩法(n≥2)即可证明.‎ ‎【解答】解:(1)当n=1时,,解得a2=4‎ ‎(2)①‎ 当n≥2时,②‎ ‎①﹣②得 整理得nan+1=(n+1)an+n(n+1),即,‎ 当n=1时,‎ 所以数列{}是以1为首项,1为公差的等差数列 所以,即 所以数列{an}的通项公式为,n∈N*‎ ‎(3)因为(n≥2)‎ 所以=.‎ 当n=1,2时,也成立.‎ ‎ ‎ ‎20.(14分)(2013•广东)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x﹣y﹣2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;‎ ‎(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|•|BF|的最小值.‎ ‎【分析】(1)利用焦点到直线l:x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程,即可解得c,从而得出抛物线C的方程;‎ ‎(2)先设,,由(1)得到抛物线C的方程求导数,得到切线PA,PB的斜率,最后利用直线AB的斜率的不同表示形式,即可得出直线AB的方程;‎ ‎(3)根据抛物线的定义,有,,从而表示出|AF|•|BF|,再由(2)得x1+x2=2x0,x1x2=4y0,x0=y0+2,将它表示成关于y0的二次函数的形式,从而即可求出|AF|•|BF|的最小值.‎ ‎【解答】解:(1)焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x﹣y﹣2=0的距离,解得c=1,‎ 所以抛物线C的方程为x2=4y.‎ ‎(2)设,,‎ 由(1)得抛物线C的方程为,,所以切线PA,PB的斜率分别为,,‎ 所以PA:①PB:②‎ 联立①②可得点P的坐标为,即,,‎ 又因为切线PA的斜率为,整理得,‎ 直线AB的斜率,‎ 所以直线AB的方程为,‎ 整理得,即,‎ 因为点P(x0,y0)为直线l:x﹣y﹣2=0上的点,所以x0﹣y0﹣2=0,即y0=x0﹣2,‎ 所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0.‎ ‎(3)根据抛物线的定义,有,,‎ 所以=,‎ 由(2)得x1+x2=2x0,x1x2=4y0,x0=y0+2,‎ 所以=.‎ 所以当时,|AF|•|BF|的最小值为.‎ ‎ ‎ ‎21.(14分)(2013•广东)设函数f(x)=(x﹣1)ex﹣kx2(k∈R).‎ ‎(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)当时,求函数f(x)在[0,k]上的最大值M.‎ ‎【分析】(1)利用导数的运算法则即可得出f′(x),令f′(x)=0,即可得出实数根,通过列表即可得出其单调区间;‎ ‎(2)利用导数的运算法则求出f′(x),令f′(x)=0得出极值点,列出表格得出单调区间,比较区间端点与极值即可得到最大值.‎ ‎【解答】解:(1)当k=1时,f(x)=(x﹣1)ex﹣x2,‎ f'(x)=ex+(x﹣1)ex﹣2x=x(ex﹣2)‎ 令f'(x)=0,解得x1=0,x2=ln2>0‎ 所以f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:‎ x ‎(﹣∞,0)‎ ‎0‎ ‎(0,ln2)‎ ln2‎ ‎(ln2,+∞)‎ f'(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以函数f(x)的单调增区间为(﹣∞,0)和(ln2,+∞),单调减区间为(0,ln2)‎ ‎(2)f(x)=(x﹣1)ex﹣kx2,x∈[0,k],.‎ f'(x)=xex﹣2kx=x(ex﹣2k),f'(x)=0,解得x1=0,x2=ln(2k)‎ 令φ(k)=k﹣ln(2k),,‎ 所以φ(k)在上是减函数,∴φ(1)≤φ(k)<φ,∴1﹣ln2≤φ(k)<<k.‎ 即0<ln(2k)<k 所以f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:‎ x ‎(0,ln(2k))‎ ln(2k)‎ ‎(ln(2k),k)‎ f'(x)‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ f(0)=﹣1,‎ f(k)﹣f(0)‎ ‎=(k﹣1)ek﹣k3﹣f(0)‎ ‎=(k﹣1)ek﹣k3+1‎ ‎=(k﹣1)ek﹣(k3﹣1)‎ ‎=(k﹣1)ek﹣(k﹣1)(k2+k+1)‎ ‎=(k﹣1)[ek﹣(k2+k+1)]‎ ‎∵,∴k﹣1≤0.‎ 对任意的,y=ek的图象恒在y=k2+k+1下方,所以ek﹣(k2+k+1)≤0‎ 所以f(k)﹣f(0)≥0,即f(k)≥f(0)‎ 所以函数f(x)在[0,k]上的最大值M=f(k)=(k﹣1)ek﹣k3.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:minqi5;wyz123;caoqz;沂蒙松;qiss;lincy;gongjy;wubh2011(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日
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