数学卷·2018届天津市和平区高二上学期期末数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届天津市和平区高二上学期期末数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（　　）‎ A．充而分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，则点P的轨迹是（　　）‎ A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．不存在 ‎3．在空间直角坐标中，点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．‎ ‎4．已知空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为（　　）‎ A．6 B． C． D．‎ ‎5．抛物线y2=﹣x的准线方程是（　　）‎ A．y= B．y= C．x= D．x=‎ ‎6．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．直线l1、l2的方向向量分别为，，则（　　）‎ A．l1⊥l2 B．l1∥l2‎ C．l1与l2相交不平行 D．l1与l2重合 ‎8．已知在空间四边形ABCD中，，，，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，若∠PF2Q=90°，则双曲线的离心率为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎10．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（　　）‎ A．2 B．3 C．6 D．8‎ ‎　‎ 二、填空题顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是　　．‎ ‎12．（5分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是　　．‎ ‎13．（5分）已知椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为　　．‎ ‎14．已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ与的夹角为120°，则λ=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎15．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程．‎ ‎（1）焦点在y轴上，c=6，；‎ ‎（2）经过点（2，0），．‎ ‎16．（10分）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分． ‎ ‎（Ⅰ）求抛物线E的方程；‎ ‎（Ⅱ）求直线AB的方程．‎ ‎17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1．‎ ‎（Ⅰ）证明：BM⊥AN；‎ ‎（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．‎ ‎18．（10分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎19．（10分）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1．‎ ‎（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；‎ ‎（2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（　　）‎ A．充而分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义，及椭圆的定义，我们分别判断“m＞n＞0”⇒“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的真假，及“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”⇒“m＞n＞0”的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：当“m＞n＞0”时”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”成立，‎ 即“m＞n＞0”⇒”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”为真命题，‎ 当“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”时“m＞n＞0”也成立，‎ 即“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”⇒“m＞n＞0”也为真命题，‎ 故“m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．‎ ‎　‎ ‎2．已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|‎ ‎=4，则点P的轨迹是（　　）‎ A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．不存在 ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】利用已知条件，结合双曲线定义，判断选项即可．‎ ‎【解答】解：F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，‎ 因为|F1F2|=6＞4，则点P的轨迹满足双曲线定义，是双曲线的一支．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线定义的应用，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．在空间直角坐标中，点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】利用坐标的定义，即可求点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离．‎ ‎【解答】解：∵点P（﹣1，﹣2，﹣3），‎ ‎∴点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是2，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查空间距离的求法，考查计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎4．已知空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为（　　）‎ A．6 B． C． D．‎ ‎【考点】空间两点间的距离公式．‎ ‎【分析】根据空间中两点的距离公式，代入计算线段的长度即可．‎ ‎【解答】解：空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），‎ 则线段AB的长度为 ‎|AB|==6．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了空间中两点的距离公式与应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎5．抛物线y2=﹣x的准线方程是（　　）‎ A．y= B．y= C．x= D．x=‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】抛物线y2=﹣x的开口向左，且2p=，由此可得抛物线y2=﹣x的准线方程．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=﹣x的开口向左，且2p=，∴ =‎ ‎∴抛物线y2=﹣x的准线方程是x=‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】利用椭圆的简单性质列出方程，求解即可．‎ ‎【解答】解：焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，‎ 可得a+b=10，2c=4，c=2，即a2﹣b2=20，‎ 解得a2=36，b2=16，‎ 所求椭圆方程为：．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎7．直线l1、l2的方向向量分别为，，则（　　）‎ A．l1⊥l2 B．l1∥l2‎ C．l1与l2相交不平行 D．l1与l2重合 ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】由直线l1、l2的方向向量分别为，，得到1×8﹣3×2﹣1×2=0，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵直线l1、l2的方向向量分别为，，‎ ‎∴1×8﹣3×2﹣1×2=0，‎ ‎∴l1⊥l2．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查直线的方向向量，考查向量的数量积公式，比较基础．‎ ‎　‎ ‎8．已知在空间四边形ABCD中，，，，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】空间向量的数量积运算．‎ ‎【分析】由空间四边形ABCD性质及向量加法法则得==（）﹣，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵在空间四边形ABCD中，，，，‎ ‎∴==（）﹣‎ ‎=（）﹣‎ ‎=．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查向量求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量加法法则的合理运用．‎ ‎　‎ ‎9．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，若∠PF2Q=90°，则双曲线的离心率为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，∠PF2Q=90°，可得|PF1|=|F1F2|，从而可得e的方程，即可求得双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：∵PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，∠PF2Q=90°，‎ ‎∴|PF1|=|F1F2|‎ ‎∴=2c，‎ ‎∴e2﹣2e﹣1=0，‎ ‎∵e＞1，‎ ‎∴e=1+．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（　　）‎ A．2 B．3 C．6 D．8‎ ‎【考点】椭圆的标准方程；平面向量数量积的含义与物理意义．‎ ‎【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x0，y0），根据P（x0，y0）在椭圆上可得到x0、y0的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．‎ ‎【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，‎ 因为，，‎ 所以=，‎ 此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，‎ 因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力．‎ ‎　‎ 二、填空题（2016秋•和平区期末）顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是　x2=±24y　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】利用已知条件，求出抛物线的距离p，然后写出抛物线方程即可．‎ ‎【解答】解：顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6，可得抛物线方程p=12，‎ 所求抛物线方程为：x2=±24y．‎ 故答案为：x2=±24y．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎12．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出a，b，即可得到双曲线方程．‎ ‎【解答】解：双曲线与椭圆有相同的焦点（，0），焦点坐标在x轴，双曲线的一条渐近线为，‎ 可得=，a2+b2=13，可得a2=4，b2=9．‎ 所求双曲线方程为：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎13．已知椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用已知条件列出方程，通过椭圆的几何量的关系求解椭圆的离心率即可．‎ ‎【解答】解：椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，‎ 可得： =0，即b2=ac，即a2﹣c2﹣ac=0，‎ 可得e2+e﹣1=0，e∈（0，1），‎ 解得e=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎14．（理）已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ与的夹角为120°，则λ=　　．‎ ‎【考点】空间向量的数量积运算．‎ ‎【分析】利用向量的夹角公式即可得出．‎ ‎【解答】解： +λ=（1，0，0）+λ（0，﹣1，1）=（1，﹣λ，λ）．‎ ‎∵+λ与的夹角为120°，‎ ‎∴cos120°==，‎ 化为，∵λ＜0，‎ ‎∴λ=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎15．（10分）（2016秋•和平区期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程．‎ ‎（1）焦点在y轴上，c=6，；‎ ‎（2）经过点（2，0），．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）由题意离心率及c求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；‎ ‎（2）由e=，设a=2k，c=（k＞0），得b=k，在分（2，0）为长轴或短轴的一个端点求解．‎ ‎【解答】（1）解：由得，，解得，a=9，‎ ‎∵a2=b2+c2，∴b2=a2﹣c2=81﹣36=45，‎ ‎∵焦点在y轴上，∴椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）解：由e=，设a=2k，c=（k＞0），‎ 则b=，‎ 由于椭圆经过点为（2，0），即为椭圆的顶点，且在x轴上，‎ 若点（2，0）为长轴的顶点，则a=2，‎ 此时2k=2，∴k=1，得b=1，‎ 则椭圆的标准方程为．‎ 若点（2，0）为短轴的顶点，则b=2，此时k=2，得a=4，‎ 则椭圆的标准方程为．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（10分）（2016秋•和平区期末）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分． ‎ ‎（Ⅰ）求抛物线E的方程；‎ ‎（Ⅱ）求直线AB的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）令抛物线E的方程，根据抛物线E的焦点为（1，0），即可求得结论；‎ ‎（Ⅱ）利用点差法，结合线段AB恰被M（2，1）所平分，求出AB的斜率，即可求得直线AB的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）令抛物线E的方程：y2=2px（p＞0）‎ ‎∵抛物线E的焦点为（1，0），∴p=2‎ ‎∴抛物线E的方程：y2=4x ‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=4x1，y22=4x2，‎ 两式相减，得（y2﹣y1）/（y1+y2）=4（x2﹣x1）‎ ‎∵线段AB恰被M（2，1）所平分 ‎∴y1+y2=2‎ ‎∴=2‎ ‎∴AB的方程为y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎17．（10分）（2016秋•和平区期末）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1．‎ ‎（Ⅰ）证明：BM⊥AN；‎ ‎（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】（Ⅰ）以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz，由•=0即可证明AN⊥BM．‎ ‎（Ⅱ）设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，解得：‎ ‎，取y=1得平面MBD的一个法向量为=（0，1，2），设直线MN与平面PCD所成的角为θ，则由向量的夹角公式即可求得直线MN与平面PCD所成角的正弦值．‎ ‎【解答】（本题满分12分）‎ 解：如图，以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz，‎ 则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2），M（1，2，1），N（2，1，0），…‎ ‎（Ⅰ）∵=（2，1，0），=（﹣1，2，1），…‎ ‎∴•=0…（5分）‎ ‎∴⊥，即AN⊥BM…（6分）‎ ‎（Ⅱ）设平面PCD的法向量为=（x，y，z），…（7分）‎ ‎∵=（2，4，﹣2），=（0，4，﹣2），‎ 由，可得，…（9分）‎ 解得：，‎ 取y=1得平面MBD的一个法向量为=（0，1，2），…（10分）‎ 设直线MN与平面PCD所成的角为θ，则由=（﹣1，1，1），…（11分）‎ 可得：sinθ=|cos＜，＞|=||==…（12分）‎ ‎【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，直线与平面所成的角的求法，正确利用空间向量的应用是解题的关键，属于基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎18．（10分）（2016秋•和平区期末）已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）由题设知，，能求出椭圆方程．‎ ‎（2）将y=kx+2代入，得（3k2+1）x2+12kx+9=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），以PQ为直径的圆过D（1，0），则（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0，由此能推导出存在k=﹣满足题意．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，‎ 原点到该直线的距离为，‎ ‎∴，，‎ 解得a=，b=1，‎ ‎∴椭圆方程是．‎ ‎（2）将y=kx+2代入，‎ 得（3k2+1）x2+12kx+9=0．‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），以PQ为直径的圆过D（1，0）‎ 则PD⊥QD，即（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0，‎ 又y1=kx1+2，y2=kx2+2，‎ 得（k2+x）x1x2+（2k﹣1）（x1+x2）+5=0，‎ 又，，‎ 代上式，得k=，‎ ‎∵此方程中，△=144k2﹣36（3k2+1）＞0，∴k＞1，或k＜﹣1．‎ ‎∴存在k=﹣满足题意．‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法，探索满足条件的实数值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．‎ ‎　‎ ‎19．（10分）（2016秋•和平区期末）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1．‎ ‎（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；‎ ‎（2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）以B1为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明，然后证明OC∥平面A1B1C1．‎ ‎（2）结合（1）中的空间直角坐标系，求出平面ABC的一个法向量，平面ACA1的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B﹣AC﹣A1的正弦值，即可．‎ ‎【解答】（本题满分10分）‎ ‎（1）证明：如图，以B1为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．…（1分）‎ 依题意，，‎ 因为，…‎ 所以，‎ 所以，‎ 又OC⊄平面A1B1C1，所以OC∥平面A1B1C1．…‎ ‎（2）解：依题意，结合（1）中的空间直角坐标系，得A（0，1，4），B（0，0，2），C（1，0，3），A1（0，1，0），‎ 则，…（5分）‎ 设为平面ABC的一个法向量，‎ 由得解得 不妨设z1=1，则x1=﹣1，y1=﹣2，‎ 所以．…（7分）‎ 设为平面ACA1的一个法向量，‎ 由得解得 不妨设y2=1，则x2=1，‎ 所以．…（9分）‎ 因为，，‎ 于是，‎ 所以，二面角B﹣AC﹣A1的正弦值为．…（10分）‎ ‎【点评】本题考查空间向量的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判断方法，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎　‎