安徽100所名校高三“攻疫”联考——理数（附答案）

安徽100所名校高三“攻疫”联考——理数（附答案）

书书书 ! " !数学卷参考答案!第!!!!! 页!!共"页" """""""""""""""! #数学理科#!"$ 安徽#$$所名校高三!攻疫"联考#数学卷 参考答案 !!$!本题考查一元二次不等式的解法!函数的定义域!考查学生的运算求解素养!因为"%"###&'##&$(# %"###%#&或#$!#!$%"##%% &#槡 '!#%"###$#! &#!所以$%"%&$%"###&'#'!#&"###$ #! &#%"###! &%#'!#! &!$!本题考查复数的运算!&%!') ) '*)'!%$!')%$#)% #)&) '*)'!%#)'!'*)'!%&)'&!(&%&#&)!(& &#&% #!#)! *!$!本题考查统计图表!分别分析两个图得到所需数据!考查学生的数据处理能力!由图!知食品开支占总开 支的*(+!由图&知肉类开支占食品开支的 !(( !(('*(',('-('"(%! *!所以肉类开支占总开支的百分比为 ! *.*(+%!(+! ,!/!本题考查双曲线的基本性质!考查考生的数学运算能力与逻辑推理素养!由双曲线 #& '',# %& '#,%!$') ,%的实轴长是虚轴长的*倍!可得'',%0$'#,%!解得'%"! "!1!本题考查比较数的大小!'%234&槡*%234&* & *$! &!!%!(%&536!#&%&!#&%! &!)%#(%!!所以))')(! 7!8!本题考查以传统文化中的'河图(为背景!考查古典概型!突出考查学生数学运算及数学抽象素养!从十个 数中任取&个数的基本事件共有1& !(%,"种!其中两数在同一组所包含的基本事件有1! "%"种!故所求事件 的概率为!#" ,"%- 0! 9!$!本题考查数列的基本概念)等差数列及等比数列!突出考查学生推理论证与运算求解能力!因为'**#&% *!所以'!%',%*!又因为'*'',%,!所以'*%!!又因为'*''"%"!所以'"%,!又因为'"''7%7!所以'7 %&!所以数列"'**#!#的公差为'"#'&%&!数列"'**#的公比为'7 '* %&!所以'!-%'*.&!-#* * %*&!'!0%*!'&(% '&'&(#& * .&%!,!所以'!-''!0''&(%,0! -!1!本题考查三项展开式的指定项的系数!可以利用二项式定理的推导方法求出指定项的系数!也可以把三 项代数式变形为两项代数式!再利用二项式定理求出指定项的系数!$#' , # ' , #* %* %$#,',#&', #* %* % $#&'&%7 #0 !求含##*项的系数即求$#&'&%7 展开式中#7 的系数!+*'!%1* 7$#&%*&*%!7(#7!故所求项的系数 ! " # $ % & 为!7(! 0!1!本题考查三视图!由三视图得!几何体 ,-./ 是一个三棱锥!且 - 是/0 的中点!1.% ! ,1/!如图!所以2-#,./ %! &.* ,20#,1/ %! &! !(!$!本题考查函数的图象!考查学生数学抽象及逻辑推理的素养!因为3$(%%2:,#;#!)(!所 以1选项错误!当#*+#,时!3$#%+#%%5$#%在*! 7!! ,+上为增函数!"! 7'! !&%"#'! !&%"! ,'! !&! =#! &'&6!%"! 7'! !&'"! ,'! !&%! &'&6!!6*&!解得('"%" *或!9 &%"%&0 *! !&!/!本题考查抛物线!考查学生的运算求解能力和迁移转化思想! ! " ! "! # $! # $作..4,,.4!由抛物线定义得#..4#%#.-#!#.,#%7#.-#-! 7 %#.-# #.,# %#..4# #.,#%6):!!其中!%..4,.! 要使7 取得最大值!即6):!最小!即!%..4,. 最小!此时 ,. 是抛物线的 切线!设 ,. 的方程为%%6##&!与#&%-%联立得#&#-$6##&%%(! 因为相切!故#%7,6,%(!解得6%?!! 故.$,!&%或.$#,!&%!所以7 槡% &! !*!* &!本题考查利用函数的奇偶性求值!因为3$$%'3$#$%%$'6):$'!'$#$%'6):$#$%'!%&!故 3$#$%'! &%&!则3$#$%%* &! !,!9!本题考查平面向量的基本定理!因为 +//"1% +//"$' +//$1% +//"$'! * +//"8!+//"9% +//"$' +//"8!所以 +//"1& +//"9%$+//"$ '! * +//"8%&$+//"$' +//"8%% +//"$&'! * +//"8&%,'*%9! !"!,!!!本题考查四棱锥外接球的表面积!连接$8!!则$8!,平面 8"!9!!>.0,平面 8"!9!!=.00 $8!!连接8!1!则. 在8!1 上!>0 是$1 的中点!=. 是8!1 的中点!>1 是""! 的中点!""!%,!=点 . 到平面"!$!9!8! 的距离为!!则 ."! % !&'&槡 & 槡% "!由正弦定理!得1."!8! 外接圆的半径:% 槡" &.! 槡" %" &!=四棱锥.#"!$!9!8! 外接球的半径;% &&'$" &%槡 & % ,!槡, !则外接球的表面积为,!!! !7!* ,!本题考查数列的递推关系)分组求和及基本不等式性质的应用! >'*''*#!%*&$#!%*$*'!% & !**'!*$&! ='&6''&6'!%$&6'!%&$#!%$&6'!%$6'!%%$&6'!%&$#!%$6'!%! =<&(!0%'!'*#"'9#0'-#&(!9'&(!0%'!#&."(,'&(!0%'!'!(!!%!(!"#(! ='!'(%,且'!)&!()!!=! *'( '! '!!令=%( '! !则=*$! *!!%! 所以'* !',(* ,'& !( %(& '& ! ''! ,(%=&'! ,=!由导数可知当=%! &*$! *!!%时! =&'! ,=取得最小值* ,! !9!解.本题考查解三角形! $!%由正弦定理知$(#'%$(''%%$) 槡# &'%)!所以(&%'&')& 槡# &')%'&')&#&')536$!得536$%槡& &!又 因为$*$(!!%!所以$%! ,! 7分……………………………………………………………………………… $&%因为"8 槡%&&!$8%&!"8 6):$% $8 6):.$"8!所以6):.$"8% ! &!.$"8% ! 7!所以.$"9% ! *!9%! #! *#! ,%"! !&!又因为."89%.$'.$"8%"! !&!所以1"89为等腰三角形!所以(%"8 槡%&&! !&分 …… …………………………………………………………………………………………………………… ! " !数学卷参考答案!第*!!!! 页!!共"页" """""""""""""""! #数学理科#!"$ !-!解.本题考查线面平行的证明与求线面角!考查考生的空间想象能力)数学语言与符号表达能力)数学运算 与逻辑推理的核心素养! $!%过点 , 作,.090 交10 于点.! 过点 - 作-/090 交08 于点/!连接./! !分……………………………………………………………… >1!0 分别为"$ 和98 的中点!=$1%1"%!!90%08%*! &分………………………………………… >, 为$9 中点!=,. 为梯形$109 的中位线!,.%! &$$1'90%%&! *分……………………………… 又>9-%! &-8!-/090!=-/ 90%8- 89%& *!-/%&! ,分………………………………………………… >,.090!-///90!=,.0-/!又>,.%-/%&!=四边形 ,-/. 为平行四边形! "分…………… =,-0./!又>,-2平面108"!./3平面108"!=,-0平面108/! $若未说明 ,-2平面108"!./3平面108"!直接得到结论扣!分% 7分……………………………… $&%如图!建立空间直角坐标系!>二面角$#10#" 为!&(@! ! " # $% & ' ! ( ) * =9$(!#* &!槡** & %!$$&!#! &!槡* &%!"$&!!!(%!8$(!*!(%! 9分……………………… 则 +//"8%$#&!&!(%!+//89%$(!#0 &!槡** & %!+//0$%$&!#! &!槡* &%! -分………………… 设平面"98 的法向量为!%$#!%!&%! 则 !& +//"8%(! !& +//89%(" !即 #&#'&%%(! #0 &%' 槡** &&%(4 5 6 ! 0分…………………………………………… 令#%!!得%%!!& 槡% *!则!%$!!!!槡*%!$法向量有无数个!只要共线即可给分% !(分…………………… >5360+//0$!!1% +//0$&!+//0$ ! % &#! &'* & ,'! ,'槡 * , 槡. !'!'* %* "! !!分………………………………………… =直线$0 与平面"98 所成的角的正弦值为* "! !&分……………………………………………………… !0!解.本题考查正态分布与数学期望! $!%所抽取的!((眼水井总体指标值的样本平均数7#%!.(!("'*.(!&'".(!&"'9.(!,'0.(!!% "!7! *分…………………………………………………………………………………………………………… $&%">>服从正态分布-$%!&&%!且%%"!7!&8(!*0! =.$"!&!'>'"!00%%.$"!7#(!*0'>'"!7'(!*0%8(!7-&7! =>落在$"!&!!"!00%内的概率约是(!7-&7! 7分……………………………………………………………… #根据题意得?$$$"!! &%! .$?%(%%1( "$! &%"%! *&,.$?%!%%1! "$! &%"%" *&, .$?%&%%1& "$! &%"%" !7,.$?%*%%1* "$! &%"%" !7, .$?%,%%1, "$! &%"%" *&,.$?%"%%1" "$! &%"%! *&! =? 的分布列为 ? ( ! & * , " . ! *& " *& " !7 " !7 " *& ! *& =1$?%%".! &%" &! !&分……………………………………………………………………………………… &(!解.本题综合考查圆锥曲线! ! " !数学卷参考答案!第,!!!! 页!!共"页" """""""""""""""! #数学理科#!"$ $!%由题意得 ( ) %AB:! 7 '&%(&')& , *'&' & *(& 4 5 6 %! !解得 '%& ("%! !所以椭圆的方程为#& ,'%&%!! ,分……………………………… $&%设 ,$#!!%!%!-$#&!%&%!则 #& ,'%&%!! %%6# 4 5 6 '& -#&',$6#'&%&%,-$!',6&%#&'!76#'!&%(! =#!#&% !& !',6&!#!'#&%# !76 !',6&! 由#%$!76%&#,.$!',6&%.!&)(!!76&#*$!',6&%)(!,6&#*)(!得6&)* ,!!" 由.,@-**! &!!%!得 +//@,& +//@-%(!所以 +//@,& +//@-%#!#&'%!%&%(! 又%!%&%$6#!'&%$6#&'&%%6&#!#&'&6$#!'#&%',! =#!#&'%!%&%$!'6&%#!#&'&6$#!'#&%',%$!'6&%& !& !',6& '&6&$# !76 !',6&%',%!&$!'6&% !',6& # &6&!76 !',6& ',%,$,#6&% !',6& %(!所以6&$,!!# 综合"#可知6&$,!<1,@- %! &. 6&槡 '!##&##!#. & 6&槡 '! %##&##!#%, ,6&槡 #* !',6& !令=% ,6&槡 #*! 则6&%=&'* , !=$ 槡!*!所以<1,@- % ,= =&',% , =', = !因为%%=' , = 在*槡!*!'<%上单调递增!所以%% , =', = 在*槡!*!'<%上单调递减!当= 槡% !*!即6%?&时!1,@- 的面积最大!最大值为 槡, !* !9 ! !&分 …… …………………………………………………………………………………………………………… &!!解.本题考查利用导数求函数的单调区间!证明不等式!考查学生的运算求解能力和应用意识! $!%由函数3$#%%;#'2: ! $#''%'得3$#%%;##'2:$#''%! 所以34$#%%;## ' #''%$#''%;##' #'' $#)#'%! &分………………………………………………………… 当'%(时!3$#%%;#)(显然成立! *分………………………………………………………………………… 当(''%!时!令A$#%%$#''%;##'! 则A4$#%%$#'!''%;#)(!所以A$#%%$#''%;##'在$#'!'<%上为增函数! 又因为A$(%%(!根据A$#%%$#''%;##'在$#'!'<%上为增函数! 可知函数3$#%在$#'!(%上是减函数!在$(!'<%上是增函数! 所以函数3$#%在$#'!'<%上的最小值为3$(%! ,分………………………………………………………… 3$(%%!#'2:'!'*$(!!+! 当(''%!时!2:'%(!!#'2:'$!)(成立, "分…………………………………………………………… 所以当(%'%!时!3$#%)(! 7分……………………………………………………………………………… $&%因为')(!'$;##!%);##3$#%!所以;##!)2:$#''%! 令A$#%%##2:$#''%$#)#'%! -分…………………………………………………………………………… 则A4$#%%!# ! #''!令A4$#%%(!得#%!#'! 0分…………………………………………………………… 当#*$#'!!#'%时!A4$#%'(!A$#%在$#'!!#'%上单调递减, 当#*$!#'!'<%时!A4$#%)(!A$#%在 $!#'!'<%上单调递增! 所以令A$#%C):%A$!#'%%!#')(!解得''!! 又因为;##!$#!则''!时!;##!)2:$#''%! !!分………………………………………………………… ! " !数学卷参考答案!第"!!!! 页!!共"页" """""""""""""""! #数学理科#!"$ 当'$!时!存在#%(!使得;##!%2:$#''%成立!这与;##!$#)2:$#''%矛盾! 所以''!!又因为')(!所以('''!! !&分…………………………………………………………………… &&!解.本题考查极坐标方程和参数方程! $!%由直线B的参数方程为 #%''= %%#" = !其中=为参数!可得直线B的普通方程为#'%%'!从而可得直线B的 极坐标方程为'536!''6):!%'!即槡&'6):$!'! ,%%'! 曲线9方程为' 槡%&&6):$!'! ,%!'&%&'536!'&'6):!!从而曲线9的直角坐标方程为#&'%&#&##&%% (!即曲线9的参数方程为 # 槡%!' &536= % 槡%!' &6): 45 6 = !其中=为参数! 7分……………………………………………… $&%由$!%知曲线9 为以$!!!%为圆心!槡&为半径的圆!那么圆心到直线B的距离C% 槡& &即可!由C% #!'!#'# 槡& % 槡&&!得'的取值范围为*#&!7+! !(分…………………………………………………………… &*!解.本题考查绝对值不等式!考查数学运算能力与逻辑推理核心素养! $!%当'%&时!原不等式可化为 *##! ' ##& $*! !分………………………………………………… "当#%! *时!!#*#'&##$*!解得#%(!所以#%(, &分………………………………………………… #当! *'#'&时!*##!'&##$*!解得#$!!所以!%#'&, *分………………………………………… %当#$&时!*##!'##&$*!解得#$* &!所以#$&! ,分………………………………………………… 综上所述!当'%&时!不等式的解集为 ###%(或#$" #! ! "分……………………………………………… $利用绝对值不等式的几何意义求解出正确答案同样给满分% $&%不等式 ##! * '3$#%%#可化为 *##! ' ##' %*#! 依题意!不等式 *##! ' ##' %*#在#* ! *!* +! & 上恒成立! 7分…………………………………… 所以*##!' ##' %*#!即 ##' %!!即'#!%#%''!! -分………………………………………… 所以 '#!%! * ''!$ 4 5 6 ! & !解得#! &%'%, *!$最后只做到这一步的扣!分% 0分…………………………………… 故所求实数'的取值范围是 #! &!* +, * ! !(分…………………………………………………………………