数学卷·2018届广东省汕头市潮阳区海门中学高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届广东省汕头市潮阳区海门中学高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年广东省汕头市潮阳区海门中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．直线y=x+3的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．60° C．90° D．45°‎ ‎2．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．木星的体积约是地球体积的30倍，则它的表面积约是地球表面积的（　　）‎ A．60倍 B．倍 C．30倍 D．900倍 ‎4．如图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，A1B1=2，AA1=4，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．6+ B．24+ C．24+2 D．32‎ ‎5．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为，则原梯形的面积为（　　）‎ A．2 B． C．2 D．4‎ ‎6．点P（2，5）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为（　　）‎ A．（6，﹣3） B．（3，﹣6） C．（﹣6，﹣3） D．（﹣6，3）‎ ‎7．如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎8．若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：‎ ‎①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；‎ ‎②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；‎ ‎③l∥α，l⊥β⇒α⊥β．‎ 其中正确的命题有（　　）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎9．如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中，其中正确的命题有（　　）‎ ‎①BM与ED平行 ‎②CN与BE是异面直线； ‎ ‎③CN与BM成60°角 ‎④DM与BN垂直．‎ A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④‎ ‎10．已知PD⊥矩形ABCD所在的平面，图中相互垂直的平面有（　　）‎ A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 ‎11．已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3=0的距离为1，则a=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（　　）‎ A．16π B．20π C．24π D．32π ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．圆台上、下底半径为2和3，则中截面所成圆的面积为　　．‎ ‎14．经过直线2x+3y﹣7=0与7x+15y+1=0的交点，且平行于直线x+2y﹣3=0的直线方程是　　．‎ ‎15．直线3x+4y﹣12=0和6x+8y+6=0间的距离是　　．‎ ‎16．在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，，这时二面角B﹣AD﹣C的大小为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤．）‎ ‎17．已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3），M是BC边上的中点．‎ ‎（1）求AB边所在的直线方程；‎ ‎（2）求中线AM的长．‎ ‎18．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，求证：‎ ‎（1）MN∥AD1；‎ ‎（2）M是AB的中点．‎ ‎19．如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．‎ ‎（1）求证：AF⊥平面CBF；‎ ‎（2）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；‎ ‎（3）求三棱锥F﹣CBE的体积．‎ ‎20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：‎ ‎（1）EF∥平面ABC；‎ ‎（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C．‎ ‎21．如图（1）在等腰△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC边的中点，现将△ACD沿CD翻折，使得平面ACD⊥平面BCD．（如图（2））‎ ‎（1）求证：AB∥平面DEF；‎ ‎（2）求证：BD⊥AC；‎ ‎（3）设三棱锥A﹣BCD的体积为V1、多面体ABFED的体积为V2，求V1：V2的值．‎ ‎22．已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．‎ ‎（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．‎ ‎（Ⅱ）若点E为PC的中点，AC∩BD=O，求证：EO∥平面PAD；‎ ‎（Ⅲ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省汕头市潮阳区海门中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．直线y=x+3的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．60° C．90° D．45°‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】根据所给的直线的斜率，得到直线的倾斜角的正切值，根据角的范围，得到角的大小．‎ ‎【解答】解：∵直线y=x+3的斜率是，‎ ‎∴直线的倾斜角的正切值是，‎ ‎∵α∈[0°，180°），‎ ‎∴α=60°，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】由三视图还原实物图．‎ ‎【分析】由已知中正视图与侧视图和俯视图，我们可以判断出该几何体的形状，逐一和四个答案中的直观图进行比照，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图我们可以判断出 该几何体是由一个底面面积相等的圆锥和圆柱组合而成 分析四个答案可得D满足条件要求 故选D ‎　‎ ‎3．木星的体积约是地球体积的30倍，则它的表面积约是地球表面积的（　　）‎ A．60倍 B．倍 C．30倍 D．900倍 ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】通过木星的体积约是地球体积的30倍，求出它们的半径之比，然后求出表面积之比，即可．‎ ‎【解答】解：木星的体积约是地球体积的30倍，‎ 则它的半径约是地球半径的倍（体积比是半径比的立方）‎ 故表面积约是地球表面积的30倍（面积比是半径比的平方）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．如图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，A1B1=2，AA1=4，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．6+ B．24+ C．24+2 D．32‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】三视图复原的几何体是一个三棱柱，根据三视图的数据，求出几何体的表面积即可．‎ ‎【解答】解：三视图复原的几何体是一个底面是正三角形，边长为：2，棱柱的高为：4的正三棱柱，‎ 所以它的表面积为：2×=24+2‎ 故选C ‎　‎ ‎5．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为，则原梯形的面积为（　　）‎ A．2 B． C．2 D．4‎ ‎【考点】平面图形的直观图．‎ ‎【分析】根据斜二测画法的规则将图形还原，平面图是一个直角梯形，面积易求．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 有斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，其高的关系是这样的：平面图中的高OA是直观图中OA'长度的2倍，如直观图，OA'的长度是直观图中梯形的高的倍，由此平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的2×=2倍，故其面积是梯形OA′B′C′的面积2倍，梯形OA′B′C′的面积为，所以原梯形的面积是4．‎ 故应选D．‎ ‎　‎ ‎6．点P（2，5）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为（　　）‎ A．（6，﹣3） B．（3，﹣6） C．（﹣6，﹣3） D．（﹣6，3）‎ ‎【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．‎ ‎【分析】设出点P（2，5）关于直线l的对称点的坐标，利用对称点的连线被对称轴垂直平分，可以建立方程组，由此即可求得结论．‎ ‎【解答】解：设点P（2，5）关于直线l的对称点的坐标为（x，y），则 ‎，∴，解得，‎ ‎∴点P（2，5）关于直线l的对称点的坐标为（﹣6，﹣3）‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】本题求解宜用向量法来做，以D为坐标原点，建立空间坐标系，求出两直线的方向向量，利用数量积公式求夹角即可 ‎【解答】解：如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在线为y轴，DP所在线为z轴，建立空间坐标系，‎ ‎∵点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，令PD=AD=1‎ ‎∴A（1，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0）‎ ‎∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0）‎ ‎∴cosθ==‎ 故两向量夹角的余弦值为，即两直线PA与BD所成角的度数为60°．‎ 故选C ‎　‎ ‎8．若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：‎ ‎①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；‎ ‎②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；‎ ‎③l∥α，l⊥β⇒α⊥β．‎ 其中正确的命题有（　　）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】依据直线与平面的位置关系逐一判定，找出反例也可以判定．‎ ‎【解答】解：若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，下面三个命题：‎ ‎①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β； α、β可能平行、也可能相交，所以不正确；‎ ‎②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；正确；‎ ‎③l∥α，l⊥β⇒α⊥β．正确，‎ 所以正确的命题有2个，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中，其中正确的命题有（　　）‎ ‎①BM与ED平行 ‎②CN与BE是异面直线； ‎ ‎③CN与BM成60°角 ‎④DM与BN垂直．‎ A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】正方体的平面展开图复原为正方体，不难解答本题．‎ ‎【解答】解：由题意画出正方体的图形如图：‎ 显然①②不正确；‎ ‎③CN与BM成60°角，即∠ANC=60°，正确；‎ ‎④DM⊥平面BCN，所以④正确；‎ 故选C．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．已知PD⊥矩形ABCD所在的平面，图中相互垂直的平面有（　　）‎ A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 ‎【考点】平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】直接利用面面垂直的判定定理判断即利用题目中的条件找出线面垂直即可．‎ ‎【解答】解：∵PD⊥矩形ABCD所在的平面且PD⊆面PDA，PD⊆面PDC，‎ ‎∴面PDA⊥面ABCD，面PDC⊥面ABCD，‎ 又∵四边形ABCD为矩形 ‎∴BC⊥CD，CD⊥AD ‎∵PD⊥矩形ABCD所在的平面 ‎∴PD⊥BC，PD⊥CD ‎∵PD∩AD=D，PD∩CD=D ‎∴CD⊥面PAD，BC⊥面PDC，AB⊥面PAD，‎ ‎∵CD⊆面PDC，BC⊆面PBC，AB⊆面PAB，‎ ‎∴面PDC⊥面PAD，面PBC⊥面PCD，面PAB⊥面PAD 综上相互垂直的平面有5对 故答案选D ‎　‎ ‎11．已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3=0的距离为1，则a=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】利用点到直线距离公式，可以直接求解．‎ ‎【解答】解：由点到直线的距离公式得： =，‎ ‎∵a＞0，‎ ‎∴a=．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（　　）‎ A．16π B．20π C．24π D．32π ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．‎ ‎【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，‎ 正四棱柱的对角线长即球的直径为2，‎ ‎∴球的半径为，球的表面积是24π，‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．圆台上、下底半径为2和3，则中截面所成圆的面积为　　．‎ ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【分析】求出中截面所成圆的半径，即可求出中截面所成圆的面积．‎ ‎【解答】解：∵圆台上、下底半径为2和3，‎ ‎∴中截面所成圆的半径为，‎ ‎∴中截面所成圆的面积为=，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎14．经过直线2x+3y﹣7=0与7x+15y+1=0的交点，且平行于直线x+2y﹣3=0的直线方程是　3x+6y﹣2=0　．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】解方程组求得交点坐标，设与直线x+2y﹣3=0平行的直线一般式方程为x+2y+λ=0，把交点代入可得λ的值，从而求得所求的直线方程．‎ ‎【解答】解：由求得 ‎∴直线2x+3y﹣7=0与7x+15y+1=0的交点为（12，﹣）‎ 与直线x+2y﹣3=0平行的直线一般式方程为x+2y+λ=0，把点（12，﹣）代入可得λ=﹣，‎ 故所求的直线方程为3x+6y﹣2=0‎ ‎ 故答案为3x+6y﹣2=0‎ ‎　‎ ‎15．直线3x+4y﹣12=0和6x+8y+6=0间的距离是　3　．‎ ‎【考点】两条平行直线间的距离．‎ ‎【分析】直线3x+4y﹣12=0 与直线3x+4y+3=0，代入两平行线间的距离公式 d=，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由题意可得：直线3x+4y﹣12=0 与6x+8y+6=0，‎ 即直线3x+4y﹣12=0 与直线3x+4y+3=0，‎ 结合两平行线间的距离公式d=得：‎ 两条直线的距离是．‎ 故答案为3．‎ ‎　‎ ‎16．在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，，这时二面角B﹣AD﹣C的大小为　60°　．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法．‎ ‎【分析】根据已知中AD⊥BC于D，易得沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，∠BDC即为二面角B﹣AD﹣C的平面角，解三角形BDC即可求出二面角B﹣AD﹣C的大小．‎ ‎【解答】解：∵AD⊥BC ‎∴沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，‎ AD⊥BD，AD⊥CD 故∠BDC即为二面角B﹣AD﹣C的平面角 又∵BD=CD=，‎ ‎∴∠BDC=60°‎ 故答案为：60°‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤．）‎ ‎17．已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3），M是BC边上的中点．‎ ‎（1）求AB边所在的直线方程；‎ ‎（2）求中线AM的长．‎ ‎【考点】直线的一般式方程；中点坐标公式．‎ ‎【分析】（1）已知A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1），根据两点式写直线的方法化简得到AB所在的直线方程；‎ ‎（2）根据中点坐标公式求出M的坐标，然后利用两点间的距离公式求出AM即可．‎ ‎【解答】解：（1）由两点式写方程得，‎ 即6x﹣y+11=0‎ 或直线AB的斜率为 直线AB的方程为y﹣5=6（x+1）‎ 即6x﹣y+11=0‎ ‎（2）设M的坐标为（x0，y0），则由中点坐标公式得 故M（1，1）‎ ‎　‎ ‎18．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，求证：‎ ‎（1）MN∥AD1；‎ ‎（2）M是AB的中点．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（1）连接AC，BD，设交点为O，连接ON，OM，由MN⊥CD，NO⊥CD，可证CD⊥平面MNO，可证AB⊥OM，OM∥AD，又N在BD1上且为中点，从而可证MN∥AD1；‎ ‎（2）由（1）可知，N是BD1的中点，MN∥AD1，即可得证M是AB的中点．‎ ‎【解答】证明：（1）连接AC，BD，设交点为O，连接ON，OM，‎ ‎∵MN⊥平面A1DC，CD⊂平面A1DC，‎ ‎∴MN⊥CD，‎ ‎∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，N是A1C的中点，O是AC的中点，‎ ‎∴NO⊥CD，‎ ‎∵MN∩NO=N，‎ ‎∴CD⊥平面MNO，‎ ‎∴CD⊥OM，CD∥AB ‎∴AB⊥OM，‎ ‎∴OM∥AD，‎ 又∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，N是A1C的中点，‎ ‎∴N在BD1上，且为中点，‎ ‎∴△AD1B中，MN∥AD1；‎ ‎（2）∵由（1）可知，N是BD1的中点，MN∥AD1；‎ ‎∴M是AB的中点．‎ ‎　‎ ‎19．如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．‎ ‎（1）求证：AF⊥平面CBF；‎ ‎（2）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；‎ ‎（3）求三棱锥F﹣CBE的体积．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】1）利用线面垂直的性质定理可得CB⊥AF．再利用圆的直径所对圆周角是直角的性质可得AF⊥BF，再利用线面垂直的判定定理即可证明；‎ ‎（2）取线段CD的中点N，连接MN，ON．利用三角形的中位线定理和平行四边形的性质定理可得：MN∥DF，OA∥DA，利用面面平行的判定定理可得：平面OMN∥平面DAF，利用其性质定理即可得出线面平行；‎ ‎（3）由（1）可得：BC⊥平面ABEF，即BC为三棱锥C﹣BEF的高，由已知可得△OEF是边长为1的等边三角形即可得出其面积，利用三棱锥的体积计算公式即可得出．‎ ‎【解答】（1）证明：∵矩形ABCD⊥平面ABEF，矩形ABCD∩平面ABEF，BC⊥AB，‎ ‎∴CB⊥平面ABEF，∴CB⊥AF．‎ 由AB为圆O的直径，∴∠AFB=90°，∴AF⊥BF．‎ 又BC∩BF=B，∴AF⊥平面CBF．‎ ‎（2）证明：取线段CD的中点N，连接MN，ON．又M为CF的中点，∴MN∥DF，‎ ‎∵DNOA，∴四边形OADN为平行四边形，∴ON∥DA．‎ ‎∵ON∩MN=N，∴平面OMN∥平面DAF，‎ ‎∴OM∥平面DAF．‎ ‎（3）连接OE，OF，则OE=OF=EF=1，∴△OEF为等边三角形，∴，‎ ‎∴VF﹣CBE=VC﹣BEF==．‎ ‎　‎ ‎20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：‎ ‎（1）EF∥平面ABC；‎ ‎（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）要证明EF∥平面ABC，证明EF∥BC即可；‎ ‎（2）要证明平面A1FD⊥平面BB1C1C，通过证明A1D⊥面BB1C1C即可，利用平面与平面垂直的判定定理证明即可．‎ ‎【解答】证明：（1）因为E，F分别是A1B，A1C的中点，‎ 所以EF∥BC，又EF⊄面ABC，BC⊂面ABC，所以EF∥平面ABC；‎ ‎（2）因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以BB1⊥面A1B1C1，BB1⊥A1D，‎ 又A1D⊥B1C，BB1∩B1C=B1，所以A1D⊥面BB1C1C，又A1D⊂面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．‎ ‎　‎ ‎21．如图（1）在等腰△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC边的中点，现将△ACD沿CD翻折，使得平面ACD⊥平面BCD．（如图（2））‎ ‎（1）求证：AB∥平面DEF；‎ ‎（2）求证：BD⊥AC；‎ ‎（3）设三棱锥A﹣BCD的体积为V1、多面体ABFED的体积为V2，求V1：V2的值．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（1）先利用三角形中位线定理证明EF∥AB，再利用线面平行的判定定理证明AB∥平面DEF即可；‎ ‎（2）先利用面面垂直的性质定理证明BD⊥平面ACD，再利用线面垂直的定义证明BD⊥AC即可；‎ ‎（3）先利用面面垂直的性质定理证明AD⊥平面BCD，从而得三棱锥A﹣BCD的体积为V1、再利用线面垂直的性质求三棱锥E﹣CDF的体积为，从而得多面体的体积为，从而确定所求体积之比 ‎【解答】解：（1）证明：如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF∥AB，‎ 又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，‎ ‎∴AB∥平面DEF．‎ ‎（2）∵平面ACD⊥平面BCD于CD BD⊥CD，且BD⊂平面BCD ‎∴BD⊥平面ACD，又AC⊂平面ACD ‎∴BD⊥AC．‎ ‎（3））∵平面ACD⊥平面BCD于CD AD⊥CD，且AD⊂平面ACD ‎∴AD⊥平面BCD ‎∴AD是三棱锥A﹣BCD的高 ‎∴‎ 又∵E、F分别是AC、BC边的中点，‎ ‎∴三棱锥E﹣CDF的高是三棱锥A﹣BCD高的一半，即 三棱锥E﹣CDF的底面积是三棱锥A﹣BCD底面积的一半，即S△BCD ‎∴三棱锥E﹣CDF的体积 ‎∴‎ ‎∴V1：V2=4：3．‎ ‎　‎ ‎22．已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．‎ ‎（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．‎ ‎（Ⅱ）若点E为PC的中点，AC∩BD=O，求证：EO∥平面PAD；‎ ‎（Ⅲ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）四棱锥的底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱与底面垂直，由这条侧棱长是2知四棱锥的高是2，求四棱锥的体积只要知道底面大小和高，就可以得到结果．‎ ‎（Ⅱ）利用三角形中位线的性质证明OE∥PA，由线面平行的判定定理可证EO∥平面PAD；‎ ‎（Ⅲ）不论点E在何位置，都有BD⊥AE，证明BD⊥平面PAC即可．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，‎ 侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．…‎ ‎∴VP﹣ABCD=S▱ABCD•PC=．…‎ ‎（Ⅱ）证明：∵E、O分别为PC、BD中点 ‎∴EO∥PA，…‎ 又EO⊄平面PAD，PA⊂平面PAD．…‎ ‎∴EO∥平面PAD．…‎ ‎（Ⅲ）不论点E在何位置，都有BD⊥AE，…‎ 证明如下：∵ABCD是正方形，‎ ‎∴BD⊥AC，…‎ ‎∵PC⊥底面ABCD且BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴BD⊥PC，…‎ 又∵AC∩PC=C，‎ ‎∴BD⊥平面PAC，…‎ ‎∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC，‎ ‎∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE．…‎ ‎　‎