2012年重庆市高考数学试卷（理科）

2012年重庆市高考数学试卷（理科）

‎2012年重庆市高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分．在每小题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的 ‎1．（5分）在等差数列{an}中，a2=1，a4=5，则{an}的前5项和S5=（　　）‎ A．7 B．15 C．20 D．25‎ ‎2．（5分）不等式≤0的解集为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（5分）对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是（　　）‎ A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 ‎4．（5分）　　．‎ A． B． C． D．105‎ ‎5．（5分）设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为（　　）‎ A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3‎ ‎6．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（　　）‎ A． B． C． D．10‎ ‎7．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的（　　）‎ A．既不充分也不必要的条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．充要条件 ‎8．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）‎ A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）‎ B．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）‎ C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2）‎ D．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）‎ ‎9．（5分）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是（　　）‎ A．（0，） B．（0，） C．（1，） D．（1，）‎ ‎10．（5分）设平面点集，则A∩B所表示的平面图形的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）‎ ‎11．（5分）若（1+i）（2+i）=a+bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a+b=　　．‎ ‎12．（5分）=　　．‎ ‎13．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则c=　　．‎ ‎14．（5分）过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，则|AF|=　　．‎ ‎15．（5分）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为　　（用数字作答）．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16．（13分）设f（x）=alnx++x+1，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的极值．‎ ‎17．（13分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．‎ ‎（Ⅰ） 求甲获胜的概率；‎ ‎（Ⅱ） 求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．‎ ‎18．（13分）设f（x）=4cos（ωx﹣）sinωx﹣cos（2ωx+π），其中ω＞0．‎ ‎（Ⅰ）求函数y=f（x）的值域 ‎（Ⅱ）若f（x）在区间上为增函数，求ω的最大值．‎ ‎19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点 ‎（Ⅰ）求点C到平面A1ABB1的距离；‎ ‎（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值．‎ ‎20．（12分）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过B1做直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．‎ ‎21．（12分）设数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=a2Sn+a1，其中a2≠0．‎ ‎（Ⅰ）求证：{an}是首项为1的等比数列；‎ ‎（Ⅱ）若a2＞﹣1，求证，并给出等号成立的充要条件．‎ ‎　‎ ‎2012年重庆市高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分．在每小题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的 ‎1．（5分）（2012•重庆）在等差数列{an}中，a2=1，a4=5，则{an}的前5项和S5=（　　）‎ A．7 B．15 C．20 D．25‎ ‎【分析】利用等差数列的性质，可得a2+a4=a1+a5=6，再利用等差数列的求和公式，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}中，a2=1，a4=5，‎ ‎∴a2+a4=a1+a5=6，‎ ‎∴S5=（a1+a5）=‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2012•重庆）不等式≤0的解集为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由不等式可得 ，由此解得不等式的解集．‎ ‎【解答】解：由不等式可得 ，解得﹣＜x≤1，故不等式的解集为，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2012•重庆）对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是（　　）‎ A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 ‎【分析】对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在，（0，1）在圆x2+y2=2内，故可得结论．‎ ‎【解答】解：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在 ‎∵（0，1）在圆x2+y2=2内 ‎∴对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2012•重庆）　1　．‎ A． B． C． D．105‎ ‎【分析】在的展开式通项公式中，令x的幂指数等于零，求出r的值，即可求得展开式中常数项．‎ ‎【解答】解：的展开式通项公式为Tr+1==，‎ 令=0，r=4．‎ 故展开式中常数项为 =，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2012•重庆）设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为（　　）‎ A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3‎ ‎【分析】由tanα，tanβ是方程x2﹣3x+‎ ‎2=0的两个根，利用根与系数的关系分别求出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后将tan（α+β）利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值．‎ ‎【解答】解：∵tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，‎ ‎∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2，‎ 则tan（α+β）===﹣3．‎ 故选A ‎　‎ ‎6．（5分）（2012•重庆）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（　　）‎ A． B． C． D．10‎ ‎【分析】由两个向量垂直的性质可得2x﹣4=0，由两个向量共线的性质可得﹣4﹣2y=0，由此求出 x=2，y=﹣2，以及的坐标，从而求得||的值．‎ ‎【解答】解：∵向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则有2x﹣4=0，﹣4﹣2y=0，‎ 解得 x=2，y=﹣2，故=（3，﹣1 ）．‎ 故有||==，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2012•重庆）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的（　　）‎ A．既不充分也不必要的条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．充要条件 ‎【分析】由题意，可由函数的性质得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数的周期性即可得出f（x）为[3，4]上的减函数，由此证明充分性，再由f（x）为[3，4]上的减函数结合周期性即可得出f（x）为[﹣1，0]‎ 上是减函数，再由函数是偶函数即可得出f（x）为[0，1]上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项 ‎【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，‎ ‎∴若f（x）为[0，1]上的增函数，则f（x）为[﹣1，0]上是减函数，‎ 又∵f（x）是定义在R上的以2为周期的函数，且[3，4]与[﹣1，0]相差两个周期，‎ ‎∴两区间上的单调性一致，所以可以得出f（x）为[3，4]上的减函数，故充分性成立．‎ 若f（x）为[3，4]上的减函数，同样由函数周期性可得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数是偶函数可得出f（x）为[0，1]上的增函数，故必要性成立．‎ 综上，“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的充要条件．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2012•重庆）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）‎ A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）‎ B．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）‎ C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2）‎ D．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）‎ ‎【分析】‎ 利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值．‎ ‎【解答】解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0，函数f（x）有极大值f（﹣2）．‎ 又当1＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，故函数f（x）有极小值f（2）．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2012•重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是（　　）‎ A．（0，） B．（0，） C．（1，） D．（1，）‎ ‎【分析】先在三角形BCD中求出a的范围，再在三角形AED中求出a的范围，二者相结合即可得到答案．‎ ‎【解答】解：设四面体的底面是BCD，BC=a，BD=CD=1，顶点为A，AD=‎ 在三角形BCD中，因为两边之和大于第三边可得：0＜a＜2 （1）‎ 取BC中点E，∵E是中点，直角三角形ACE全等于直角DCE，‎ 所以在三角形AED中，AE=ED=‎ ‎∵两边之和大于第三边 ‎∴＜2 得0＜a＜ （负值0值舍）（2）‎ 由（1）（2）得0＜a＜．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2012•重庆）设平面点集，则A∩B所表示的平面图形的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先分别画出集合A与集合B表示的平面区域，再画出它们的公共部分，最后利用圆的面积公式及图形的对称性，计算所求面积即可 ‎【解答】解：∵⇔或其表示的平面区域如图，（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1表示以（1，1）为圆心，1为半径的圆及其内部区域，其面积为π ‎∴A∩B所表示的平面图形为上述两区域的公共部分，如图阴影区域，由于圆和y=均关于y=x对称，‎ 故阴影部分面积为圆的面积的一半，即 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）‎ ‎11．（5分）（2012•重庆）若（1+i）（2+i）=a+bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a+b=　4　．‎ ‎【分析】由条件可得 a+bi=1+3i，根据两个复数相等的充要条件求出a和b的值，即可求得a+b的值．‎ ‎【解答】解：∵（1+i）（2+i）=a+bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，‎ ‎∴a+bi=1+3i，‎ ‎∴a=1，b=3，‎ ‎∴a+b=1+3=4，‎ 故答案为 4．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2012•重庆）=　　．‎ ‎【分析】把要求的式子化为，即，再利用极限及其运算法则求得所求式子的值．‎ ‎【解答】解：由于 ====，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2012•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则c=　　．‎ ‎【分析】由A和B都为三角形的内角，且根据cosA及cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinA和sinB的值，将sinC中的角C利用三角形的内角和定理变形后，将各自的值代入求出sinC的值，由sinC，b及sinB的值，利用正弦定理即可求出c的值．‎ ‎【解答】解：∵A和B都为三角形的内角，且cosA=，cosB=，‎ ‎∴sinA==，sinB==，‎ ‎∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，‎ 又b=3，‎ ‎∴由正弦定理=得：c===．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2012•重庆）过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，则|AF|=　　．‎ ‎【分析】设出点的坐标与直线的方程，利用抛物线的定义表示出|AF|、|BF|再联立直线与抛物线的方程利用根与系数的关系解决问题，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由题意可得：F（，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 因为过抛物线y2=2x的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，‎ 所以|AF|=+x1，|BF|=+x2．‎ 因为，所以x1+x2=‎ 设直线l的方程为y=k（x﹣），‎ 联立直线与抛物线的方程可得：k2x2﹣（k2+2）x+=0，‎ 所以x1+x2=．‎ ‎∴‎ ‎∴k2=24‎ ‎∴24x2﹣26x+6=0，‎ ‎∴，‎ ‎∴|AF|=+x1=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2012•重庆）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为　　（用数字作答）．‎ ‎【分析】三门文化课排列，中间有两个空，若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为，若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为•（•）•=216，三门文化课中相邻排列，则排法种数为=144，而所有的排法共有=720种，由此求得所求事件的概率．‎ ‎【解答】解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中，‎ ‎①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为 =72，‎ ‎②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为 •（•）•=216，‎ ‎③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为为一个整体，‎ 然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为=144，‎ 而所有的排法共有=720种，‎ 故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 =，‎ 故答案为 ．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16．（13分）（2012•重庆）设f（x）=alnx++x+1，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的极值．‎ ‎【分析】（Ⅰ） 求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，可得f′（1）=0，从而可求a的值；‎ ‎（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，（x＞0），=，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的极值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） 求导函数可得 ‎∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．‎ ‎∴f′（1）=0，∴，‎ ‎∴a=﹣1；‎ ‎（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，（x＞0）‎ ‎=‎ 令f′（x）=0，可得x=1或x=（舍去）‎ ‎∵0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数递减；x＞1时，f′（x）＞0，函数递增 ‎∴x=1时，函数f（x）取得极小值为3．‎ ‎　‎ ‎17．（13分）（2012•重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．‎ ‎（Ⅰ） 求甲获胜的概率；‎ ‎（Ⅱ） 求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．‎ ‎【分析】设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（Ak）=，P（Bk）=（k=1，2，3）‎ ‎（Ⅰ） 记“甲获胜”为事件C，则P（C）=P（A1）+P（）+P（），利用互斥事件的概率公式即可求解；‎ ‎（Ⅱ） 投篮结束时甲的投篮次数ξ的可能值为1，2，3，求出相应的概率，即可得到ξ的分布列与期望．‎ ‎【解答】解：设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（Ak）=，P（Bk）=（k=1，2，3）‎ ‎（Ⅰ） 记“甲获胜”为事件C，则P（C）=P（A1）+P（）+P（）‎ ‎=×+=；‎ ‎（Ⅱ） 投篮结束时甲的投篮次数ξ的可能值为1，2，3‎ P（ξ=1）=P（A1）+P（）=‎ P（ξ=2）=P（）+P（）==‎ P（（ξ=3）=P（）==‎ ξ的分布列为 ‎ ‎ ξ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P 期望Eξ=1×+2×+3×=．‎ ‎　‎ ‎18．（13分）（2012•重庆）设f（x）=4cos（ωx﹣）sinωx﹣cos（2ωx+π），其中ω＞0．‎ ‎（Ⅰ）求函数y=f（x）的值域 ‎（Ⅱ）若f（x）在区间上为增函数，求ω的最大值．‎ ‎【分析】（I）由题意，可由三角函数的恒等变换公式对函数的解析式进行化简得到f（x）=sin2ωx+1，由此易求得函数的值域；‎ ‎（II）f（x）在区间上为增函数，此区间必为函数某一个单调区间的子集，由此可根据复合三角函数的单调性求出用参数表示的三角函数的单调递增区间，由集合的包含关系比较两个区间的端点即可得到参数ω所满足的不等式，由此不等式解出它的取值范围，即可得到它的最大值．‎ ‎【解答】解：f（x）=4cos（ωx﹣）sinωx﹣cos（2ωx+π）‎ ‎=4（cosωx+sinωx）sinωx+cos2ωx ‎=2cosωxsinωx+2sin2ωx+cos2ωx﹣sin2ωx ‎=sin2ωx+1，‎ ‎∵﹣1≤sin2ωx≤1，‎ 所以函数y=f（x）的值域是[]‎ ‎（II）因y=sinx在每个区间[]，k∈z上为增函数，‎ 令，又ω＞0，‎ 所以，解不等式得≤x≤，即f（x）=sin2ωx+1，（ω＞0）在每个闭区间[，]，k∈z上是增函数 又有题设f（x）在区间上为增函数 所以⊆[，]，对某个k∈z成立，‎ 于是有．解得ω≤，故ω的最大值是．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点 ‎（Ⅰ）求点C到平面A1ABB1的距离；‎ ‎（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值．‎ ‎【分析】（I）由题意，由于可证得CD⊥平面A1ABB1‎ ‎．故点C到平面的距离即为CD的长度，易求；‎ ‎（II）解法一：由题意结合图象，可通过作辅助线先作出二面角的平面角∠A1DD1，然后在直角三角形A1D1D中求出二面角的余弦；‎ 解法二：根据几何体的形状，可过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，可得DB，DC，DD1两两垂直，则以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为X轴、Y轴、Z轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．给出各点的坐标，分别求出两平面的法向量，求出两向量的夹角即为两平面的夹角．‎ ‎【解答】解：（I）由AC=BC，D为AB的中点，得CD⊥AB．又CD⊥AA1．‎ 故CD⊥平面A1ABB1．‎ 所以点C到平面A1ABB1的距离为CD==‎ ‎（II）解法一：如图1，取D1为A1B1的中点，连接DD1，则DD1∥AA1∥CC1．‎ 又由（I）知CD⊥平面A1ABB1．故CD⊥A1D，CD⊥D1D，所以∠A1DD1为所求的二面角A1﹣CD﹣C1的平面角．因A1D为A1C在面A1ABB1中的射影，又已知AB1⊥A1C由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D．从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余．因此∠A1AB1=∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A．因此AA1：AD=A1B1：AA1，即AA12=AD•A1B1=8，得AA1=2，从而A1D==2．所以Rt△A1D1D中，cos∠A1DD1===‎ 解法二：如图2，过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，有DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为X轴、Y轴、Z轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．‎ 设直三棱柱的高为h，则A（﹣2，0，0），A1（﹣2，0，h），B1（2，0，h），C（0，，0），C1（0，，h），从而=（4，0，h），=（2，，﹣h）‎ 由AB1⊥A1C，可得8﹣h2=0，h=2，故=（﹣2，0，2），=（0，0，2），=（0，，0）‎ 设平面A1CD的法向量为=（x1，y1，z1），则有⊥，⊥‎ ‎∴•=0且•=0，即，取z1=1，则=（，0，1）‎ 设平面C1CD的法向量为=（x2，y2，z2），则⊥，⊥，即且=0，取x2=1，得=（1，0，0），‎ 所以cos＜，＞===，所以二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值 ‎　‎ ‎20．（12分）（2012•重庆）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过B1做直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设椭圆的方程为，F2（c，0），利用△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，可得∠B1AB2为直角，从而，利用c2=a2﹣b2，可求，又S=|B1B2||OA|==4，故可求椭圆标准方程；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16﹣0，利用韦达定理及PB2⊥QB2，利用可求m的值，进而可求直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，F2（c，0）‎ ‎∵△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，∴∠B1AB2为直角，从而|OA|=|OB2|，即 ‎∵c2=a2﹣b2，∴a2=5b2，c2=4b2，∴‎ 在△AB1B2中，OA⊥B1B2，∴S=|B1B2||OA|=‎ ‎∵S=4，∴b2=4，∴a2=5b2=20‎ ‎∴椭圆标准方程为；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my﹣2‎ 代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16=0①‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴=‎ ‎∵PB2⊥QB2，∴‎ ‎∴，∴m=±2‎ 所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x+2y+2=0和x﹣2y+2=0．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2012•重庆）设数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=a2Sn+a1，其中a2≠0．‎ ‎（Ⅰ）求证：{an}是首项为1的等比数列；‎ ‎（Ⅱ）若a2＞﹣1，求证，并给出等号成立的充要条件．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据Sn+1=a2Sn+a1，再写一式，两式相减，即可证得{an}是首项为1的等比数列；‎ ‎（Ⅱ）当n=1或2时，等号成立，设n≥3，a2＞﹣1，且a2≠0，由（I）知a1=1，，所以要证的不等式可化为（n≥3），即证（n≥2），a2=1时，等号成立；再证明a2＞﹣1且a2≠1时，（）（）＞0，即可证得结论．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）∵Sn+1=a2Sn+a1，①‎ ‎∴Sn+2=a2Sn+1+a1，②‎ ‎②﹣①可得：an+2=a2an+1‎ ‎∵a2≠0，∴‎ ‎∵Sn+1=a2Sn+a1，∴S2=a2S1+a1，∴a2=a2a1‎ ‎∵a2≠0，∴a1=1‎ ‎∴{an}是首项为1的等比数列；‎ ‎（Ⅱ）当n=1或2时，等号成立 设n≥3，a2＞﹣1，且a2≠0，由（Ⅰ）知a1=1，，所以要证的不等式可化为 ‎（n≥3）‎ 即证（n≥2）‎ a2=1时，等号成立 当﹣1＜a2＜1时，与同为负；‎ 当a2＞1时，与同为正；‎ ‎∴a2＞﹣1且a2≠1时，（）（）＞0，即 上面不等式n分别取1，2，…，n累加可得 ‎∴‎ 综上，，等号成立的充要条件是n=1或2或a2=1．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：刘长柏；caoqz；sllwyn；xintrl；qiss；庞会丽；xize（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日