四川省绵阳市2017年高考数学二诊试卷(理科)(解析版)

四川省绵阳市2017年高考数学二诊试卷(理科)(解析版)

四川省绵阳市2017年高考数学二诊试卷（理科）(解析版)‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．已知集合A={x∈Z|x≥2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（　　）‎ A．∅ B．{2} C．{2，3} D．{x|2≤x＜3}‎ ‎2．若复数z满足（1+i）z=i（i是虚数单位），则z的虚部为（　　）‎ A． B．﹣ C． i D．﹣‎ ‎3．某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为（　　）‎ A．25 B．20 C．12 D．5‎ ‎4．“a=1”是“直线l1：ax+（a﹣1）y﹣1=0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣3=0垂直”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．某风险投资公司选择了三个投资项目，设每个项目成功的概率都为，且相互之间设有影响，若每个项目成功都获利20万元，若每个项目失败都亏损5万元，该公司三个投资项目获利的期望为（　　）‎ A．30万元 B．22.5万元 C．10万元 D．7.5万元 ‎6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎7．若一个三位自然数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们把这样的三位自然数定义为“单重数”，例：112，232，则不超过200的“单重数”个数是（　　）‎ A．19 B．27 C．28 D．37‎ ‎8．过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=的图象交于A，B两点，O为坐标原点，则=（　　）‎ A． B．2 C．5 D．10‎ ‎9．已知cosα，sinα是函数f（x）=x2﹣tx+t（t∈R）的两个零点，则sin2α=（　　）‎ A．2﹣2 B．2﹣2 C．﹣1 D．1﹣‎ ‎10．设F1，F2分别为双曲线C：的两个焦点，M，N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若△AMN的面积为，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A．3 B．2 C． D．‎ ‎11．已知点P（﹣2，）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上，过点P作圆C：x2+y2=2的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则a2+b2的值是（　　）‎ A．13 B．14 C．15 D．16‎ ‎12．已知f（x）=ex，g（x）=lnx，若f（t）=g（s），则当s﹣t取得最小值时，f（t）所在区间是（　　）‎ A．（ln2，1） B．（，ln2） C．（，） D．（，）‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．（）5的展开式的常数项为　　．‎ ‎14．已知甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为和，现让他们独立地破译这种密码，则至少有1人能译出密码的概率为　　．‎ ‎15．已知直线mx﹣y+m+2=0与圆C1：（x+1）2+（y﹣2）2=1相交于A，B两点，点P是圆C2：（x﹣3）2+y2=5上的动点，则△PAB面积的最大值是　　．‎ ‎16．已知抛物线C：y2=4x，焦点为F，过点P（﹣1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l与抛物线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交抛物线C于M，N两点，若+=18，则k=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ ‎17．（12分）数列{an}中，an+2﹣2an+1+an=1（n∈N*），a1=1，a2=3．．‎ ‎（1）求证：{an+1﹣an}是等差数列；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和Sn．‎ ‎18．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＜b＜c，C=2A．‎ ‎（1）若c=a，求角A；‎ ‎（2）是否存在△ABC恰好使a，b，c是三个连续的自然数？若存在，求△ABC的周长；若不存在，请说明理由．‎ ‎19．（12分）2016年下半年，锦阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球比赛，以增强直属单位间的交流与合作，阻值方统计了来自A1，A2，A3，A4，A5等5个直属单位的男子篮球队的平均身高与本次比赛的平均得分，如表所示：‎ ‎ 单位 ‎ A1‎ A2‎ ‎ A3‎ A4‎ ‎ A5‎ ‎ 平均身高x（单位：cm）‎ ‎ 170‎ ‎ 174‎ ‎ 176‎ ‎ 181‎ ‎ 179‎ ‎ 平均得分y ‎62 ‎ ‎ 64‎ ‎66 ‎ ‎ 70‎ ‎68 ‎ ‎（1）根据表中数据，求y关于x的线性回归方程；（系数精确到0.01）‎ ‎（2）若M队平均身高为185cm，根据（I）中所求得的回归方程，预测M队的平均得分（精确到0.01）‎ 注：回归当初中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，．‎ ‎20．（12分）已知椭圆C：的右焦点F（），过点F作平行于y轴的直线截椭圆C所得的弦长为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点（1，0）的直线l交椭圆C于P，Q两点，N点在直线x=﹣1上，若△NPQ是等边三角形，求直线l的方程．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=+lnx﹣1（m∈R）的两个零点为x1，x2（x1＜x2）．‎ ‎（1）求实数m的取值范围；‎ ‎（2）求证： +＞．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）已知曲线C的参数方程是（α为参数）‎ ‎（1）将C的参数方程化为普通方程；‎ ‎（2）在直角坐标系xOy中，P（0，2），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+2‎ ‎=0，Q为C上的动点，求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣t|（t∈R）‎ ‎（1）t=2时，求不等式f（x）＞2的解集；‎ ‎（2）若对于任意的t∈[1，2]，x∈[﹣1，3]，f（x）≥a+x恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．已知集合A={x∈Z|x≥2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（　　）‎ A．∅ B．{2} C．{2，3} D．{x|2≤x＜3}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B即可．‎ ‎【解答】解：集合A={x∈Z|x≥2}，‎ B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}，‎ 则A∩B={2}．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎2．若复数z满足（1+i）z=i（i是虚数单位），则z的虚部为（　　）‎ A． B．﹣ C． i D．﹣‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】由（1+i）z=i，得，再利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则答案可求．‎ ‎【解答】解：由（1+i）z=i，‎ 得=，‎ 则z的虚部为：．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为（　　）‎ A．25 B．20 C．12 D．5‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵初级教师80人，‎ ‎∴抽取一个容量为50的样本，用分层抽样法抽取的初级教师人数为，‎ 解得n=20，即初级教师人数应为20人，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查分层抽样的应用，比较基础．‎ ‎　‎ ‎4．“a=1”是“直线l1：ax+（a﹣1）y﹣1=0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣3=0垂直”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分必要条件的定义以及直线的垂直关系判断即可．‎ ‎【解答】解：若直线l1：ax+（a﹣1）y﹣1=0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣3=0垂直，‎ 则：a（a﹣1）+（a﹣1）（2a+3）=0，解得：a=1或﹣1，‎ 故“a=1”是“直线l1：ax+（a﹣1）y﹣1=0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣3=0垂直”的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线的垂直关系，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎5．某风险投资公司选择了三个投资项目，设每个项目成功的概率都为，且相互之间设有影响，若每个项目成功都获利20万元，若每个项目失败都亏损5万元，该公司三个投资项目获利的期望为（　　）‎ A．30万元 B．22.5万元 C．10万元 D．7.5万元 ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差．‎ ‎【分析】设该公司投资成功的个数为X，则X～B．进而得出．‎ ‎【解答】解：设该公司投资成功的个数为X，则X～B．‎ ‎∴E（X）==．‎ ‎∴该公司三个投资项目获利的期望==22.5万元．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了二项分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，‎ 当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，‎ 当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，‎ 当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，‎ 故输出的n值为4，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．‎ ‎　‎ ‎7．若一个三位自然数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们把这样的三位自然数定义为“单重数”，例：112，232，则不超过200的“单重数”个数是（　　）‎ A．19 B．27 C．28 D．37‎ ‎【考点】进行简单的合情推理．‎ ‎【分析】根据“单重数”的定义，分类讨论，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，不超过200，两个数字一样为0，有2个，‎ 两个数字一样为1，110，101，112，121，113，131，114，141，115，151，116，161，117，171，118，181，119，191，有18个，‎ 两个数字一样为2，122，有一个，‎ 同理两个数字一样为3，4，5，6，7，8，9，各1个，‎ 综上所述，不超过200的“单重数”个数是2+18+8=28，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查合情推理，考查计数原理的运用，正确分类讨论是关键．‎ ‎　‎ ‎8．过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=的图象交于A，B两点，O为坐标原点，则=（　　）‎ A． B．2 C．5 D．10‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】f（x）==1+，可得函数f（x）=的图象关于点P（2，1）对称，过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=‎ 的图象交于A，B两点，A，B两点关于点P（2，1）对称⇒=即可．‎ ‎【解答】解：f（x）==1+，‎ ‎∴函数f（x）=的图象关于点P（2，1）对称，‎ ‎∴过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=的图象交于A，B两点，‎ A，B两点关于点P（2，1）对称，∴，‎ 则=，||=，‎ ‎∴则=2×5=10．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了函数的对称性及向量的运算，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．已知cosα，sinα是函数f（x）=x2﹣tx+t（t∈R）的两个零点，则sin2α=（　　）‎ A．2﹣2 B．2﹣2 C．﹣1 D．1﹣‎ ‎【考点】三角函数的化简求值；函数的零点与方程根的关系．‎ ‎【分析】通过韦达定理可求sinα+cosα=t，sinαcosα=t，利用sin2α+cos2α=1，则可得答案．‎ ‎【解答】解：∵cosα，sinα是函数f（x）=x2﹣tx+t（t∈R）的两个零点，‎ ‎∴sinα+cosα=t，sinαcosα=t，‎ 由sin2α+cos2α=1，‎ 得（sinα+cosα）2﹣2sinαcosα=1，即t2﹣2t=1，解得t=．‎ ‎∴sin2α=2sinαcosα=2t=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查三角函数化简求值，注意同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，是基础题．‎ ‎　‎ ‎10．设F1，F2分别为双曲线C：‎ 的两个焦点，M，N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若△AMN的面积为，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A．3 B．2 C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设M（x， x），由题意，|MO|=c，则x=a，∴M（a，b），利用△AMN的面积为，建立方程，即可求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：设M（x， x），由题意，|MO|=c，则x=a，∴M（a，b），‎ ‎∵△AMN的面积为，‎ ‎∴，‎ ‎∴4a2（c2﹣a2）=c4，‎ ‎∴e4﹣4e2+4=0，‎ ‎∴e=．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的离心率，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．已知点P（﹣2，）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上，过点P作圆C：x2+y2=2的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则a2+b2的值是（　　）‎ A．13 B．14 C．15 D．16‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意，以OP为直径的圆的方程为（x+1）2+（y﹣）2=，与圆C：x2+y2=2相减，可得直线AB的方程，求出c，再利用点P（﹣2，）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上，求出a2=8，b2=7，即可求出a2+b2的值．‎ ‎【解答】解：由题意，以OP为直径的圆的方程为（x+1）2+（y﹣）2=．‎ 与圆C：x2+y2=2相减，可得直线AB的方程为2x﹣y+2=0，‎ 令y=0，可得x=﹣1，∴c=1，‎ ‎∵=1，∴a2=8，b2=7，‎ ‎∴a2+b2=8+7=15，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．已知f（x）=ex，g（x）=lnx，若f（t）=g（s），则当s﹣t取得最小值时，f（t）所在区间是（　　）‎ A．（ln2，1） B．（，ln2） C．（，） D．（，）‎ ‎【考点】指数函数的图象与性质．‎ ‎【分析】求出s﹣t=ea﹣lna，（a＞0），令h（a）=ea﹣，求出h（a）的最小值，验证即可．‎ ‎【解答】解：令f（t）=g（s）=a，即et=lns=a＞0，‎ ‎∴t=lns，s=ea，‎ ‎∴s﹣t=ea﹣lna，（a＞0），‎ 令h（a）=ea﹣，‎ 则h′（a）=ea﹣，‎ ‎∵y=ea递增，y=递减，‎ 故存在唯一a=a0使得h′（a）=0，‎ ‎0＜a＜a0时，ea＜，h′（a）＜0，‎ a＞a0时，ea＞，h′（a）＞0，‎ ‎∴h（a）min=h（a0），‎ 即s﹣t取最小值是时，f（t）=a=a0，‎ 由零点存在定理验证﹣=0的根的范围：‎ a0=时，﹣＜0，‎ a0=ln2时，﹣＞0，‎ 故a0∈（，ln2），‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了函数的零点问题，考查函数的单调性以及导数的应用，是一道中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．（x2+1）（）5的展开式的常数项为　﹣11　．‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】把（）5按照二项式定理展开，可得（x2+1）（）5的展开式的常数项．‎ ‎【解答】解：由于（x2+1）（）5=（x2+1）（﹣+﹣+﹣1），‎ 故展开式的常数项为﹣10﹣1=﹣11，‎ 故答案为：﹣11．‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．已知甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为和，现让他们独立地破译这种密码，则至少有1人能译出密码的概率为　　．‎ ‎【考点】相互独立事件的概率乘法公式．‎ ‎【分析】‎ 至少有1人能译出密码的对立事件是两人都不能译出密码，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人能译出密码的概率．‎ ‎【解答】解：甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为和，‎ 现让他们独立地破译这种密码，‎ 至少有1人能译出密码的对立事件是两人都不能译出密码，‎ ‎∴至少有1人能译出密码的概率：‎ p=1﹣（1﹣）（1﹣）=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎15．已知直线mx﹣y+m+2=0与圆C1：（x+1）2+（y﹣2）2=1相交于A，B两点，点P是圆C2：（x﹣3）2+y2=5上的动点，则△PAB面积的最大值是　3　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由题意，直线恒过定点（﹣1，2），即C1圆的圆心，|AB|=2，圆心C2到直线mx﹣y+m+2=0的最大距离为=2，可得P到直线mx﹣y+m+2=0的最大距离为3，即可求出△PAB面积的最大值．‎ ‎【解答】解：由题意，直线恒过定点（﹣1，2），即C1圆的圆心，|AB|=2‎ 圆心C2到直线mx﹣y+m+2=0的最大距离为=2，‎ ‎∴P到直线mx﹣y+m+2=0的最大距离为3，‎ ‎∴△PAB面积的最大值是3=3，‎ 故答案为3．‎ ‎【点评】本题考查直线过定点，考查点到直线的距离公式，考查三角形面积的计算，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．已知抛物线C：y2=4x，焦点为F，过点P（﹣1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l与抛物线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交抛物线C于M，N两点，若+=18，则k=　　．‎ ‎【考点】直线与抛物线的位置关系．‎ ‎【分析】由题意，图形关于x轴对称，A，B，P三点共线，可得=．由焦半径公式|AF|=x1+1=|NF|，||BF|=x2+1=|MF|， +=+=18，（y1+y2）2=20y1y2，再利用韦达定理，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，图形关于x轴对称，A，B，P三点共线，可得=．‎ 由焦半径公式|AF|=x1+1=|NF|，||BF|=x2+1=|MF|，‎ ‎∴+=+=18，∴（y1+y2）2=20y1y2，‎ 由，可得ky2﹣4y+4k=0，‎ ‎∴y1+y2=，y1y2=4，∴ =80，‎ ‎∵k＞0，∴k=．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ ‎17．（12分）（2017•绵阳模拟）数列{an}中，an+2﹣2an+1+an=1（n∈N*），a1=1，a2=3．．‎ ‎（1）求证：{an+1﹣an}是等差数列；‎ ‎（2）求数列{}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（1）令cn=an+1﹣an，通过cn+1﹣cn=1，说明{an+1﹣an}‎ 是以2为首项，1为公差的等差数列．‎ ‎（2）由（1）知cn=n+1，求出an，化简==2（﹣）．利用裂项求和求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）证明：令cn=an+1﹣an，‎ 则cn+1﹣cn=（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）=an+2﹣2an+1+an=1（常数），‎ c1=a2﹣a1，=2，‎ 故{an+1﹣an}是以2为首项，1为公差的等差数列． …（4分）‎ ‎（2）由（1）知cn=n+1，即an+1﹣an=n+1，‎ 于是an=（an﹣an﹣1）﹣（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=‎ ‎=n+（n﹣1）+…+2+1=，…（8分）‎ 故==2（﹣）．‎ ‎∴Sn=2（1﹣）+2（﹣）+2（﹣）+…+2（﹣）‎ ‎=2（1﹣）‎ ‎=． …（12分）‎ ‎【点评】本题考查数列求和，等差数列的判断，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2017•绵阳模拟）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＜b＜c，C=2A．‎ ‎（1）若c=a，求角A；‎ ‎（2）是否存在△ABC恰好使a，b，c是三个连续的自然数？若存在，求△ABC的周长；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由正弦定理有sinC=sinA，又C=2A，利用倍角公式可求2sinAcosA=sinA，结合sinA≠0，可得cosA=，即可得解A的值．‎ ‎（2）设a=n，b=n+1，c=n+2，n∈N*．由已知利用二倍角公式可求cosA=‎ ‎，由余弦定理得=，解得n=4，求得a，b，c的值，从而可求△ABC的周长．‎ ‎【解答】（本题满分为12分）‎ 解：（1）∵c=a，‎ ‎∴由正弦定理有sinC=sinA． …（2分）‎ 又C=2A，即sin2A=sinA，‎ 于是2sinAcosA=sinA，…（4分）‎ 在△ABC中，sinA≠0，于是cosA=，‎ ‎∴A=． …（6分）‎ ‎（2）根据已知条件可设a=n，b=n+1，c=n+2，n∈N*．‎ 由C=2A，得sinC=sin2A=2sinAcosA，‎ ‎∴cosA=． …（8分）‎ 由余弦定理得=，代入a，b，c可得：‎ ‎=，…（10分）‎ 解得n=4，‎ ‎∴a=4，b=5，c=6，从而△ABC的周长为15，‎ 即存在满足条件的△ABC，其周长为15． …（12分）‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2017•绵阳模拟）2016年下半年，锦阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球比赛，以增强直属单位间的交流与合作，阻值方统计了来自A1，A2，A3，A4，A5等5个直属单位的男子篮球队的平均身高与本次比赛的平均得分，如表所示：‎ ‎ 单位 ‎ A1‎ A2‎ ‎ A3‎ A4‎ ‎ A5‎ ‎ 平均身高x（单位：cm）‎ ‎ 170‎ ‎ 174‎ ‎ 176‎ ‎ 181‎ ‎ 179‎ ‎ 平均得分y ‎62 ‎ ‎ 64‎ ‎66 ‎ ‎ 70‎ ‎68 ‎ ‎（1）根据表中数据，求y关于x的线性回归方程；（系数精确到0.01）‎ ‎（2）若M队平均身高为185cm，根据（I）中所求得的回归方程，预测M队的平均得分（精确到0.01）‎ 注：回归当初中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】（1）求出样本中心点，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，得到线性回归方程；‎ ‎（2）当x=185代入回归直线方程，即可预测M队的平均得分．‎ ‎【解答】解：（1）由已知有=176， =66，‎ ‎=≈0.73， =﹣62.48，‎ ‎∴y=0.73x﹣62.48．…（10分）‎ ‎（2）x=185，代入回归方程得y=0.73×185﹣62.48=72.57，‎ 即可预测M队的平均得分为72.57． …（12分）‎ ‎【点评】本题考查采用最小二乘法，求线性回归方程及线性回归方程的简单应用，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2017•绵阳模拟）已知椭圆C：的右焦点F（），过点F作平行于y轴的直线截椭圆C所得的弦长为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点（1，0）的直线l交椭圆C于P，Q两点，N点在直线x=﹣1上，若△NPQ是等边三角形，求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ） 设椭圆C的焦半距为c，则c=，于是a2﹣b2=6．把x=c代入椭圆的标准方程可得：y=，即=，联立解出即可得出．‎ ‎（Ⅱ）设直线PQ：x=ty+1，P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立直线与椭圆方程可得：（t2+4）y2+2ty﹣7=0，利用一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、等边三角形的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） 设椭圆C的焦半距为c，则c=，于是a2﹣b2=6．‎ 把x=c代入椭圆的标准方程可得： =1，整理得y2=b2（1﹣）=，解得y=，‎ ‎∴=，即a2=2b4，‎ ‎∴2b4﹣b2﹣6=0，解得b2=2，或b2=﹣（舍去），进而a2=8，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为+=1．‎ ‎（Ⅱ）设直线PQ：x=ty+1，P（x1，y1），Q（x2，y2）．‎ 联立直线与椭圆方程：，消去x得：（t2+4）y2+2ty﹣7=0，‎ ‎∴y1+y2=﹣，y1y2=．‎ 于是x1+x2=t（y1+y2）+2=，‎ 故线段PQ的中点D．‎ 设N（﹣1，y0），由|NP|=|NQ|，则kND•kPQ=﹣1，‎ 即=﹣t，整理得y0=t+，得N．‎ 又△NPQ是等边三角形，‎ ‎∴|ND|=|PQ|，即，‎ 即+=，‎ 整理得=，‎ 解得 t2=10，t=，‎ ‎∴直线l的方程是x﹣1=0．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2017•绵阳模拟）已知函数f（x）=+lnx﹣1（m∈R）的两个零点为x1，x2（x1＜x2）．‎ ‎（1）求实数m的取值范围；‎ ‎（2）求证： +＞．‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】（1）求导数，分类讨论，利用函数f（x）=+lnx﹣1（m∈R）的两个零点，得出ln2m﹣＜0，即可求实数m的取值范围；‎ ‎（2）由题意方程m=有两个根为t1，t2，不妨设t1=，t2=，要证明+＞，即证明t1+t2＞，即证明h（t1）＜h（﹣t2）．令φ（x）=h（x）﹣h（﹣x），证明φ（x）＜0对任意x∈（0，）恒成立即可．‎ ‎【解答】（1）解：f′（x）=．‎ ‎①m≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，不可能有两个零点；‎ ‎②m＞0，f′（x）＞0可解得x＞2m，f′（x）＜0可解得0＜x＜2m，‎ ‎∴f（x）在（0，2m）上单调递减，在（2m，+∞）上单调递增，‎ ‎∴f（x）min=f（2m）=ln2m﹣，‎ 由题意， ln2m﹣＜0，‎ ‎∴0＜m＜；‎ ‎（2）证明：令t=，f（）=mt﹣2lnt﹣1=0，‎ 由题意方程m=有两个根为t1，t2，不妨设t1=，t2=．‎ 令h（t）=，则h′（t）=﹣，‎ 令h′（t）＞0，可得0＜t＜，函数单调递增；h′（t）＜0，可得t＞，函数单调递减．‎ 由题意，t1＞＞t2＞0，‎ 要证明+＞，即证明t1+t2＞，即证明h（t1）＜h（﹣t2）．‎ 令φ（x）=h（x）﹣h（﹣x），‎ 下面证明φ（x）＜0对任意x∈（0，）恒成立，‎ φ′（x）=+，‎ ‎∵x∈（0，），‎ ‎∴﹣lnx﹣1＞0，x2＜，‎ ‎∴φ′（x）＞＞0，‎ ‎∴φ（x）在（0，）上是增函数，‎ ‎∴φ（x）＜φ（）=0，‎ ‎∴原不等式成立．‎ ‎【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明．难度大．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）（2017•绵阳模拟）已知曲线C的参数方程是（α为参数）‎ ‎（1）将C的参数方程化为普通方程；‎ ‎（2）在直角坐标系xOy中，P（0，2），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+2=0，Q为C上的动点，求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）消去参数，将C的参数方程化为普通方程；‎ ‎（2）将直线l 的方程化为普通方程为x+y+2=0．设Q（cosα，sinα），则M（cosα，1+sinα），利用点到直线的距离公式，即可求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）消去参数得，曲线C的普通方程得=1． …‎ ‎（2）将直线l 的方程化为普通方程为x+y+2=0．‎ 设Q（cosα，sinα），则M（cosα，1+sinα），‎ ‎∴d==，‎ ‎∴最小值是．…（10分）‎ ‎【点评】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的转化，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．（2017•绵阳模拟）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣t|（t∈R）‎ ‎（1）t=2时，求不等式f（x）＞2的解集；‎ ‎（2）若对于任意的t∈[1，2]，x∈[﹣1，3]，f（x）≥a+x恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．‎ ‎【分析】（1）通过讨论x的范围，去掉绝对值解关于x的不等式，求出不等式的解集即可；‎ ‎（2）问题等价于a≤f（x）﹣x，令g（x）=f（x）﹣x，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）当t=2时，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，‎ 若x≤1，则f（x）=3﹣2x，于是由f（x）＞2，解得x＜，综合得x＜；‎ 若1＜x＜2，则f（x）=1，显然f（x）＞2不成立；‎ 若x≥2，则f（x）=2x﹣3，于是由f（x）＞2，解得x＞，综合得x＞‎ ‎∴不等式f（x）＞2的解集为{x|x＜，或x＞}． ‎ ‎（2）f（x）≥a+x等价于a≤f（x）﹣x，令g（x）=f（x）﹣x，‎ 当﹣1≤x≤1时，g（x）=1+t﹣3x，显然g（x）min=g（1）=t﹣2，‎ 当1＜x＜t时，g（x）=t﹣1﹣x，此时g（x）＞g（1）=t﹣2，‎ 当t≤x≤3时，g（x）=x﹣t﹣1，g（x）min=g（1）=t﹣2，‎ ‎∴当x∈[1，3]时，g（x）min=t﹣2，‎ 又∵t∈[1，2]，‎ ‎∴g（x）min≤﹣1，即a≤﹣1，‎ 综上，a的取值范围是a≤﹣1．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数最值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．‎ ‎　‎