2015高考数学一轮题组训练122合情推理与演绎推理

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2015高考数学一轮题组训练122合情推理与演绎推理

第2讲 合情推理与演绎推理 基础巩固题组 ‎(建议用时:40分钟)‎ 一、填空题 ‎1.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推理________.‎ ‎①结论正确;②大前提不正确;③小前提不正确;④全不正确.‎ 解析 f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数而是复合函数,所以小前提不正确.‎ 答案 ③‎ ‎2.(2014·西安五校联考)观察下式:1=12;2+3+4=32;3+4+5+6+7=52;4+5+6+7+8+9+10=72,…,则得出第n个式子的结论:________.‎ 解析 各等式的左边是第n个自然数到第3n-2个连续自然数的和,右边是中间奇数的平方,故得出结论:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.‎ 答案 n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2‎ ‎3.若等差数列{an}的首项为a1,公差为d,前n项的和为Sn,则数列为等差数列,且通项为=a1+(n-1)·,类似地,请完成下列命题:若各项均为正数的等比数列{bn}的首项为b1,公比为q,前n项的积为Tn,则________.‎ 答案 数列{}为等比数列,且通项为=b1()n-1‎ ‎4.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由归纳推理得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=________.‎ 解析 由已知得偶函数的导函数为奇函数,故g(-x)=-g(x).‎ 答案 -g(x)‎ ‎5.(2012·江西卷改编)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10等于________.‎ 解析 从给出的式子特点观察可推知,等式右端的值,从第三项开始,后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和,照此规律,则a10+b10=123.‎ 答案 123‎ ‎6.(2014·长春调研)类比“两角和与差的正弦公式”的形式,对于给定的两个函数:S(x)=ax-a-x,C(x)=ax+a-x,其中a>0,且a≠1,下面正确的运算公式是________.‎ ‎①S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);‎ ‎②S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y);‎ ‎③2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);‎ ‎④2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).‎ 解析 经验证易知①②错误.依题意,注意到2S(x+y)=2(ax+y-a-x-y),S(x)C(y)+C(x)S(y)=2(ax+y-a-x-y),因此有2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);同理有2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).‎ 答案 ③④‎ ‎7.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则:‎ ‎①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”;‎ ‎②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”;‎ ‎③“(m·n)t=m(n·t)”类比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”;‎ ‎④“t≠0,mt=xt⇒m=x”类比得到“p≠0,a·p=x·p⇒a=x”;‎ ‎⑤“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”;‎ ‎⑥“=”类比得到“=”.‎ 以上式子中,类比得到的结论正确的是________.‎ 解析 ①②正确;③④⑤⑥错误.‎ 答案 ①②‎ ‎8.(2014·南京一模)给出下列等式:=2cos ,=2cos ,=2cos ,请从中归纳出第n个等式:=________.‎ 答案 2cos 二、解答题 ‎9.给出下面的数表序列:‎ ‎ ‎ 其中表n(n=1,2,3,…)有n行,第1行的n个数是1,3,5,…,2n-1,从第2行起,每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.‎ 写出表4,验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明).‎ 解 表4为       1 3 5 7‎ ‎           4 8 12‎ ‎           12 20‎ ‎             32‎ 它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32,它们构成首项为4,公比为2的等比数列.‎ 将这一结论推广到表n(n≥3),即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n,公比为2的等比数列.‎ ‎10.f(x)=,先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般性结论,并给出证明.‎ 解 f(0)+f(1)=+ ‎=+=+=,‎ 同理可得:f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=.‎ 由此猜想f(x)+f(1-x)=.‎ 证明:f(x)+f(1-x)=+ ‎=+=+ ‎==.‎ 能力提升题组 ‎(建议用时:25分钟)‎ 一、填空题 ‎1.(2012·江西卷改编)观察下列事实:|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12,…,则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为________.‎ 解析 由|x|+|y|=1的不同整数解的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解的个数为12,归纳推理得|x|+|y|=n的不同整数解的个数为4n,故|x|+|y|=20的不同整数解的个数为80.‎ 答案 80‎ ‎2.观察下列各式9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20,…,这些等式反映了自然数间的某种规律,设n表示自然数,用关于n的等式表示为________.‎ 解析 9-1=(1+2)2-12=4(1+1),16-4=(2+2)2-22=4(2+1),25-9=(3+2)2-32=4(4+1),36-16=(4+2)2-42=4×(5+1),…,一般地,有(n+2)2-n2=4(n+1)(n∈N*).‎ 答案 (n+2)2-n2=4(n+1)(n∈N*)‎ ‎3.(2013·湖北卷)在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.‎ ‎(1)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是________;‎ ‎(2)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S=________(用数值作答).‎ 解析 (1)四边形DEFG是一个直角梯形,观察图形可知:S=(+2)××=3,N=1,L=6.‎ ‎(2)由(1)知,S四边形DEFG=a+6b+c=3.‎ S△ABC=4b+c=1.‎ 在平面直角坐标系中,取一“田”字型四边形,构成边长为2的正方形,该正方形中S=4,N=1,L=8.则S=a+8b+c=4.联立解得a=1,b=.c=-1.‎ ‎∴S=N+L-1,∴若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S=71+×18-1=79.‎ 答案 (1)3,1,6 (2)79‎ 二、解答题 ‎4.(2012·福建卷)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:‎ ‎①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°;‎ ‎②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°;‎ ‎③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°;‎ ‎④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°;‎ ‎⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.‎ ‎(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;‎ ‎(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.‎ 解 (1)选择②式,计算如下:‎ sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°‎ ‎=1-sin 30°‎ ‎=1- ‎=.‎ ‎(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=.‎ 证明如下:‎ sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α·(cos 30°cos α+sin 30°sin α)=sin2α+cos2α+sin αcos α+sin2α-sin αcos α-sin2α=sin2α+cos2α=.‎
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