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文档介绍
数学文高考模拟题课标分类汇编立体几何
【数学文】2011届高考模拟题(课标)分类汇编:立体几何 1.(2011·朝阳期末)关于直线,及平面,,下列命题中正确的是 ( C ) (A)若,,则; (B)若,,则; (C)若,,则; (D)若,,则. A B C D A1 B1 C1 D1 E F 2.(2011·朝阳期末)如图,正方体中,, 分别为棱,的中点,在平面 内且与平面平行的直线( A ) (A)有无数条 (B)有2条 (C)有1条 (D)不存在 3.(2011·朝阳期末)一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图与侧视图 正视图 侧视图 俯视图 都是边长为2的正三角形,俯视图半径为1的圆,则这个 几何体的体积为 . 4.(2011·朝阳期末)(本小题满分13分) A B C A1 B1 C1 M N 如图,已知三棱柱中,底面,,,,,分别是棱,中点. (Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)求证:平面; (Ⅲ)求三棱锥的体积. (Ⅰ)证明:因为三棱柱中,底面 又因为平面, 所以. ………………………………… 1分 因为,是中点, 所以. …………………………………………………… 2分 因为, ……………………………………………………… 3分 所以平面. ……………………………………………………… 4分 A B C A1 B1 C1 M N G (Ⅱ)证明:取的中点,连结,, 因为,分别是棱,中点, 所以,. 又因为,, 所以,. 所以四边形是平行四边形. ………………………………………… 6分 所以. …………………………………………………………… 7分 因为平面,平面, …………………………… 8分 所以平面. ……………………………………………………… 9分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知平面. …………………………………………… 10分 所以. ………………………… 13分 A.27 B.36 C.54 D.81 正视图 俯视图 2 1.6 2 1.5 5.(2011·丰台期末) 若一个螺栓的底面是正六边形,它的正视图和俯视图如图所示,则它的体积是( C ) A. B. C. D. 6.(2011·丰台期末) (本小题共13分) A A1 B C D B1 C1 直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,D是AB的中点. (Ⅰ)求证:AC⊥B1C; (Ⅱ)求证:AC1∥平面B1CD; A A1 B C D B1 C1 E 证明:(Ⅰ)在△ABC中,因为 AB=5,AC=4,BC=3, 所以 AC⊥BC. 因为 直三棱柱ABC-A1B1C1,所以 C C1⊥AC. 因为 BC∩AC =C, 所以 AC⊥平面B B1C1C. 所以 AC⊥B1C. ………………………7分 (Ⅱ)连结BC1,交B1C于E. 因为 直三棱柱ABC-A1B1C1, 所以 侧面B B1C1C为矩形,且E为B1C中点. 又D是AB中点,所以 DE为△ABC1的中位线, 所以 DE// AC1. 因为 DE平面B1CD, AC1平面B1CD, 所以 AC1∥平面B1CD. 7.(2011·东莞期末) 把边长为的正方形沿对角线折起,使得平面平面,形成三棱锥的正视图与俯视图如右图所示,则侧视图的面积为( D ) A. B. C. D. 8.(2011·东莞期末)(本小题满分14分) 在三棱锥中,是边长为的正三角形,平面⊥平面,,、分别为、的中点。 (1)证明:⊥; (2)求三棱锥的体积. 证明:(1)如图,取中点,连结,. ∵, ∴ . 又∵是正三角形, ∴. ∵ , ∴⊥平面. 又∵平面, ∴⊥. 解:(2)∵是的中点, ∴. ∵平面⊥平面,, ∴平面. 又∵,, ∴,即点到平面的距离为1. ∵ 是的中点, ∴点到平面的距离为. ∴ 9.(2011·佛山一检)若一个圆台的的正视图如图所示,则其侧面积等于( C ) 第4题图 A.6 B. C. D. 10.(2011·佛山一检)(本题满分14分) 如图,已知直四棱柱的底面是直角梯形,,,,分别是棱,上的动点,且,,. 第19题图 (Ⅰ)证明:无论点怎样运动, 四边形都为矩形; (Ⅱ)当时, 求几何体的体积. 解:(Ⅰ)在直四棱柱中,, ∵,∴, ---------------------------------------2分 又∵平面平面, 平面平面, 平面平面, ∴,∴四边形为平行四边形,---------------------------------------4分 ∵侧棱底面,又平面内, ∴,∴四边形为矩形; ---------------------------------------6分 (Ⅱ)证明:连结,∵四棱柱为直四棱柱, ∴侧棱底面,又平面内, ∴, 在中,,,则; 在中,,,则; 在直角梯形中,; ∴,即, 又∵,∴平面; 由(Ⅰ)可知,四边形为矩形,且,, ∴矩形的面积为, ∴几何体的体积为. 11.(2011·广东四校一月联考)某简单几何体的三视图如图所示,其正视图.侧视图.俯视图 侧视图 正视图 俯视图 均为直角三角形,面积分别是1,2,4,则这个几何体的体积 为 ( A ) A. B. C.4 D.8 12.(2011·广东四校一月联考)(本小题满分12分) 在棱长为1的正方体中,分别是棱的中点. (1)证明:平面; (2)证明:; (3)求三棱锥的体积. 解:(1)证明: -------2分 又平面,平面, 平面 -------4分 (2)平面,平面, -------5分 又 , -------6分 又,平面, -------7分 平面,故 -------8分 (3)连结,由(1)得平面, -------9分 又, -------10分 -------12分 13. (2011·广州期末)一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的体积为,则正视图中的值为( C ) A. B. C. D. 14.(2011·广州期末)(本小题满分14分) 如图4,在四棱锥中,平面平面,, 是等边三角形,已知, . (1)求证:平面; (2)求三棱锥的体积. (本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)证明:在中,由于,,, ∴. …… 2分 ∴ . 又平面平面,平面平面,平面, ∴平面. …… 4分 (2)解:过作交于. 又平面平面, ∴平面. …… 6分 ∵是边长为2的等边三角形, ∴. 由(1)知,,在中, 斜边边上的高为. …… 8分 ∵,∴. …… 10分 ∴. …… 14分 15.(2011·哈九中高三期末)已知三棱锥底面是边长为的等边三角形,侧棱长均为,则侧棱与底面所成角的余弦值为 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由于是三棱锥,故顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心,底面的一个顶点到这个中心的距离是,侧棱与底面所成角的余弦值就是这个数值除以侧棱长。 【解析】根据分析,所求的余弦值是。 【考点】空间点、线、面位置关系。 【点评】正三棱锥的底面边长为,侧棱长为时,三棱锥的高是,侧棱与底面所成角的余弦值是等。 16.(2011·哈九中高三期末)(12分)如图,三棱柱中,侧棱平面,为等腰直角三角形,,且,分别是的中点。 (1)求证:平面; (2)求证:平面; (3)设,求三棱锥的体积。 【分析】(1)根据中点寻找平行线即可;(2)易证,在根据勾股定理的逆定理证明;(3)由于点是线段的中点,故点到平面的距离是点到平面距离的,求出高按照三棱锥的体积公式计算即可。 【解析】(1)取中点,连接 平行四边形,平面,平面,平面。 (4分) (2)等腰直角三角形中为斜边的中点, 又直三棱柱,面面, 面, 设 又面。 (8分) (3)由于点是线段的中点,故点到平面的距离是点到平面距离的。,所以三棱锥的高为;在中, ,所以三棱锥的底面面积为,故三棱锥的体积为。(12分) 【考点】空间点、线、面位置关系。 【点评】立体几何中的中点与中点之间可以产生平行线,当问题涉及到中点时可以通过再找其中的中点作出辅助线;垂直关系的证明,关键是线线垂直的证明,基本方法是通过线面垂直证明线线垂直、计算证明线线垂直;在计算三棱锥体积时,一个技巧是更换顶点便于求出其高、一个是借助于顶点与其它点的关系求出其高度。 17.(2011·哈九中高三期末)(12分)已知抛物线,其焦点到准线的距离为。, (1)试求抛物线的方程; (2)设抛物线上一点的横坐标为,过的直线交于另一点,交轴于,过点作的垂线交于另一点,若是的切线,求的最小值. 【分析】(1)根据抛物线的准线方程确定值即可;(2)由于是抛物线上的点,可以使用点参数表示各个点的坐标,可以设,求出过点的抛物线的切线方程,即可用表示点的坐标,再根据三点共线即可把用表达,最后根据即可建立之间的一个方程,从而是变量表示,通过函数的方法求出的取值范围。 【解析】(1)。 (3分) (2)设,则直线的方程为 (4分) 令,得,(5分) ,且两直线斜率存在,,即,(8分) 整理得,又在直线上, 则与共线,得 (10分) 由(1)、(2)得,,或(舍) 所求的最小值为。(12分) 【考点】圆锥曲线与方程、直线与方程、不等式、导数及其应用。 【点评】本题综合解析几何中的各种知识、不等式的知识、导数的几何意义等,是一道在知识网络交汇处命题的试题。本题的第二问各种位置关系错综复杂,在解题中抓住主要问题“是抛物线的切线,以及是直线与轴的交点”,这样就可以用的横坐标表示的横坐标,这是解决问题的关键所在。 D 18.(2011·湖北重点中学二联)有一正方体,六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6,有三个人从不同的角度观察的结果如图所示,如果记3的对面的数字为m,4的对面的数字为n,那么m+n的值为( C ) A.3 B.7 C.8 D.11 19.(2011·湖北重点中学二联)若地球半径为R,地面上两点A、B在东半球上,纬度均为北伟,又A、B两点的经度差为,则A、B两点的球面距离为 。 20.(2011·湖北重点中学二联)(12分) 如图,平面ABEF平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形, (I)证明:C,D,F,E四点共面; (II)设AB=BC=BE,求二面角A—ED—B的大小。 解:法1:(Ⅰ)解:延长交的延长线于点,由 得 ……2分 延长交的延长线于同理可得 故,即与重合……4分 因此直线相交于点,即四点共面。……6分 (Ⅱ)证明:设,则, 取中点,则, 又由已知得,平面 故,与平面内两相交直线都垂直。 所以平面,作,垂足为,连结 由三垂线定理知为二面角的平面角。……9分 故 所以二面角的大小……12分 法2:向量法(略) 21、(2011·淮南一模)下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是 A.①② B.①③ C.①④ D.②④ D【解析】①的三个视图都相同,排除A,B,C. 22、(2011·淮南一模)给出命题: (1)在空间里,垂直于同一平面的两个平面平行; (2)设是不同的直线,是一个平面,若,∥,则; (3)已知表示两个不同平面,为平面内的一条直线,则“”是“”的充要条件; (4)是两条异面直线,为空间一点, 过总可以作一个平面与之一垂直,与另一个平行。 其中正确命题个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 B【解析】(1)错;(2)正确;(3)“”是“”的必要条件,命题错误;(4)当异面直线垂直时可以作出满足要求的平面,命题错误. 23、(2011·淮南一模)(本小题12分)如图是以正方形为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体,四边形为截面,且,,, (Ⅰ)证明:截面四边形是菱形; (Ⅱ)求几何体的体积. 【解】(Ⅰ)证明:因为平面∥平面,且平面分别交平面、平面于直线、,所以∥. 同理,∥. 因此,四边形为平行四边形. ……(1) 因为,而为在底面上的射影,所以. 因为,所以∥. 因此,. ……(2) 由(1)、(2)可知:四边形是菱形;…………………6分 (Ⅱ)连结、、、,则 ,,且几何体是以正方形为底面的正四棱柱的一部分, 该几何体的体积为, 同理,得 所以,, 即几何体的体积为2. …………………12分 24.(2011·锦州期末)连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦的长度分别等于2、4,分别为的中点,每条弦的两端都在球面上运动,有下列四个命题: ①弦可能相交于点, ②弦可能相交于点, ③的最大值为5 ④的最小值为l. 其中真命题的个数为 ( C ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 25.(2011·锦州期末)(本小题12分) 在三棱锥中,和是边长为 的等边三角形,,是中点. (Ⅰ)在棱上求一点,使得∥平面; (Ⅱ)求证:平面⊥平面. 。解: (Ⅰ)当为棱中点时,∥平面. 证明如下: 分别为中点, ∥ 又平面,平面 ∥平面. --------------------6分 (Ⅱ)连结, ,为中点,, ⊥,. 同理, ⊥,. 又, , . ⊥. ⊥,⊥,, ⊥平面. 平面 平面⊥平面. --------------------12分 学*科*网] 26.(2011·九江七校二月联考)四棱锥的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A, 其三视图如图所示,则四棱锥的表面积为( D ) A. a2 B. 2a2 C. a2 D. (2+)a2 27. (2011·九江七校二月联考)本小题满分12分)如图所示,四棱锥中,底面为正方形,平面,,,,分别为、、的中点. (1)求证:;; (2)求三棱锥的体积. 解:(1)如图,取AD的中点H,连接GH,FH E,F分别为PC,PD的中点 EF∥CD………2分 G,H分别是BC,AD的中点,GH∥CD EF∥CD E,F,H,G四点共面……………..3分 E,H分别为DP,DA的中点 PA∥FH……4分 PA∥面EFG…………6分 (2) GC⊥面PCD, 三棱锥以GC为高,△PEF为底。…………8分 PE=PD=1 EF=CD=1 S△PEF=EF×PF=……………………………………………10分 GC=BC=1 VP-EFG= VG-PEF=…………………………………………12分 28.(2011·日照一调)设、是两个不同的平面,为两条不同的直线,命题p:若,,,则;命题q:,,,则. 则下列命题为真命题的是 ( C ) (A)p或q (B)p且q (C)┐p或q (D)p且┐q 29.(2011·日照一调)右图是某几何体的三视图,其中主视图是腰 长为2的等腰三角形,俯视图是半径为1的半圆, 俯视图 主视图 左视图 则该几何体的体积是 . 30.(2011·日照一调)(本小题满分12分) 如图,在四棱锥中,底面是矩形, 平面,且,点是棱的中点,点在棱上移动. (Ⅰ)当点为的中点时,试判断直线与平面的关系,并说明理由; P A B C D F E (Ⅱ)求证:. 解:(Ⅰ)当点为CD的中点时,平面PAC. ……………2分 理由如下: 点分别为,的中点,. ……………3分 ,, 平面PAC. ………………4分 (Ⅱ), , . 又是矩形,, ,. , . …………………8分 ,点是的中点, . …………10分 又, . ………………11分 . ………………12分 31、(2011·三明三校一月联考)设、是两个不同的平面,、是平面内的两条不同直线,是平面内的两条相交直线,则的一个充分而不必要条件是( D ) A. B. C. D. 32、(2011·三明三校一月联考)(本小题满分12分)如图,已知矩形中,,将矩形沿对角线把折起,使移到点,且在平面上的射影恰好在上。 (1)求证: (2)求证:平面 ; (3)求三棱锥的体积。 证明:(1)∵在平面上的射影在上 ∴ ,又 ∴………………..2分 又 , ∴,又 ∴………………………………………………………………………….4分 (2)∵矩形 ∴………………………………………………5分 由(1)知 ……………………………………………………………….6分 又 ∴ 又 ∴ 平面………………………………………………………..8分 (3)∵ ∴ …………………………………………………………………….10分 ∵ ∴ ∴ ………………………………………12分 33、(2011·上海长宁期末)(本题满分12分,第(1)小题6分,第(2)小题6分) 若四棱锥的底面是边长为2的正方形,⊥底面(如图), 且. (1)求异面直线与所成角的大小; A B C D P (2)求四棱锥的体积. 解:(1),的大小即为异面直线与所成角的大小。 …………………………………………………. 2分 ,,由,, …………………………………………………. 4分 ,故异面直线与所成角的大小为。 …………………………………………………. 6分 (2),。 …………………………………………………. 12分 34. (2011·上海普陀区期末)已知一个球的半径为,一个平面截该球所得小圆的半径为,该小圆圆心到球心的距离为,则关于的函数解析式为 ,; . 35. (2011·上海普陀区期末)在正方体的顶点中任意选择4个顶点,对于由这4个顶点构成的四面体的以下判断中,所有正确的结论是 ①②③ (写出所有正确结论的编号) ① 能构成每个面都是等边三角形的四面体; ② 能构成每个面都是直角三角形的四面体; ③ 能构成三个面为全等的等腰直角三角形,一个面为等边三角形的四面体. 36. (2011·上海普陀区期末)如图,直角三角形的直角顶点是空间坐标系的原点,点在轴正半轴上,;点在轴正半轴上,.我们称绕轴逆时针旋转后得到的旋转体为四分之一圆锥体. 以下关于此四分之一圆锥体的三视图的表述错误的是 ( C ) A. 该四分之一圆锥体主视图和左视图的图形是全等的直角三角形; B. 该四分之一圆锥体俯视图的图形是一个圆心角为的扇形; C. 该四分之一圆锥体主视图、左视图和俯视图的图形都是扇形; D. 该四分之一圆锥体主视图的图形面积大于俯视图的图形面积. 37. (2011·上海普陀区期末)(本题满分10分) 如图,平面,是边长为2的正方形,. 求异面直线与所成角的大小. 解:如图,延长DA至E,CB至F,使得DA=AE,CB=BF. 联结AF,PF,EF,DF. 因为ABCD是正方形,所以AD//BF,且AD=BF,所以AF//BD. 故(或其补角)的大小即为异面直线与所成角的大小. 又正方形边长为2,PD=1,故,,. 所以,. 于是,, 所以异面直线与所成角的大小为. 38,。(2011·泰安高三期末)设m、n表示不同直线,、表示不同平面,下列命题中正确的是( D ) A. 若m,m n,则n B. 若m,n,m,n,则 C. 若,m,mn,则n D. 若, m,nm,n,则n 39. (2011·泰安高三期末)右图是某四棱锥的三视图,则该几何体的表面积为 34 +6 . 40..(2011·泰安高三期末)(本小题满分12分) 如图,平面ABCD⊥平面PAD,△APD是直角三角形, ∠APD=90°四边形ABCD是直角梯形,其中BCAD, ∠BAD=90°,AD=2 BC,且BC=PD,O是AD的中点,E,F是PC,OD的中点. (Ⅰ)求证:EF平面PBO; (Ⅱ)证明:PF⊥平面ABCD. 解:(Ⅰ)取BP中点G,连EG,由E为PC中点 故EG又F为OD中点 ∴OF= ∴EFOF,故四边形OFEG为平行四边形…………(3分) ∴EF∥GO 则EF∥面PBO…………………………(5分) (Ⅱ) ∵四边形ABCD是直角梯形,∠BAD=90° ∴AB⊥AD 又平面ABCD⊥平面PAD ∴AB⊥平面PAD 又PF平面PAD ∴AB⊥PF…………分) 在Rt△APD中,O为AE的中点,BC=PD,AD=2BC ∴PO=OD=PD 即△OPD为正三角形 又F为OD的中点 ∴PF⊥OD…………………………………………………………………………………(11分) ∴PF⊥平面ABCD…………………………………………………………………………(12 41、(2011·温州十校期末联考)若m、n为两条不同的直线,、为两个不同的平面,则以下命题正确的是( B ) (A)若则 (B)若则 (C) 若则 (D)若,则 20、(2011·温州十校期末联考)(本题满分14分)如图,AC为圆O的直径,AP⊥圆O, PA=AB=BC. (1)证明:面面; (2)若M、N分别为线段PB、PC的中点,试求 直线PC与平面AMN所成角的正弦值. (1)由题意,面,,又,面 又面,面面———6分 (2) , 即为 所求角或其补角————————10分 设,则 ,即所求角的正弦值为.———14分 42、(2011·温州十校期末联考)已知四棱锥的三视图如下图所示,则四棱锥的体积为 . 43.(2011·烟台一月调研)已知直线 平面,且,给出下列四个命题 ①若∥,则 ②若,则∥ ③若,则∥ ④若∥,则 其中正确命题的序号是( C ) A.①② B.①③ C. ①④ D.②④ 44. (2011·烟台一月调研)右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 _____12______________. 45. (2011·烟台一月调研)(本小题满分12分) 如图,矩形中,平面,为上的点,且平面. (1)求证:平面; (2)求证:∥平面. 解:(1)证明:平面,∥ 平面,则………………………………………………………………2分 又平面,则 平面………………………………………………………………………………5分 (2)证明:依题意可知:是中点……………………………………………………6分 平面,则, 而是中点, 在△中,∥ 又∥……………………………………………………… 46.(2011·中山期末)已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为的正方形,主视图与左视图是边长为的正三角形,则其全面积是 ( B ) A.8 B.12 C. D. 查看更多