高考山东文科数学试题及答案word解析版

高考山东文科数学试题及答案word解析版

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）‎ 数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）【2014年山东，文1，5分】已知，是虚数单位． 若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得，，，故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查两个复数相等的充要条件，两个复数代数形式的乘法法则，属于基础题．‎ ‎（2）【2014年山东，文2，5分】设集合，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】，数轴上表示出来得到，故选C．‎ ‎【点评】本题是简单的计算题，一般都是在高考的第一题出现，答题时要注意到端点是否取得到，计算也是高考中的考查点，学生在平时要加强这方面的练习，考试时做到细致悉心，一般可以顺利解决问题．‎ ‎（3）【2014年山东，文3，5分】函数的定义域为（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】故，故选C．‎ ‎【点评】本题是对基本计算的考查，注意到“真数大于0”和“开偶数次方根时，被开方数要大于等于0”，及“分母不为0”，即可确定所有条件．高考中对定义域的考查，大多属于容易题．‎ ‎（4）【2014年山东，文4，5分】用反证法证明命题“设，则方程至少有一个实根”时要做的假设是（ ）‎ ‎ （A）方程没有实根 （B）方程至多有一个实根 ‎（C）方程至多有两个实根 （D）方程恰好有两个实根 ‎【答案】A ‎【解析】反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设，为实数，则方程 至少有一个实根”时，要做的假设是：方程没有实根，故选A．‎ ‎【点评】本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查．‎ ‎（5）【2014年山东，文5，5分】已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】，排除C，D，对于B，是周期函数，排除B，故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．‎ ‎（6）【2014年山东，文6，5分】已知函数（，为常数，其中，）的图像如右图，则下列结论成立的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵函数单调递减，∴，当时，即， ‎ 即，当时，即，即，故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎（7）【2014年山东，文7，5分】已知向量，．若向量的夹角为，则实数 ‎（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】由题意可得，解得，故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．‎ ‎（8）【2014年山东，文8，5分】为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床 试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，‎ ‎[15,16)，[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五 组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，‎ 第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）‎ ‎（A）6 （B）8 （C）12 （D）18‎ ‎【答案】C ‎【解析】第一组与第二组频率之和为，，，‎ ‎，故选C．‎ ‎【点评】本题考查古典概型的求解和频率分布的结合，列举对事件是解决问题的关键，属中档题．‎ ‎（9）【2014年山东，文9，5分】对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，∴函数的对称轴是，，选项A函数没有对称轴；选项B、函数的对称轴是，选项C函数没有对称轴．函数，有对称轴，且不是对称轴，选项D正确，故选D．‎ 点评：本题考查函数的对称性的应用，新定义的理解，基本知识的考查．‎ ‎（10）【2014年山东，文10，5分】已知满足的约束条件，当目标函数在该约束条件下取得最小值时，的最小值为（ ）‎ ‎（A）5 （B）4 （C） （D）2‎ ‎【答案】B ‎【解析】作可行域如图，联立，解得：．化目标函数为直线 ‎ 方程得：．由图可知，当直线过点时，直线在轴上 ‎ 的截距最小，最小，，即．则的最小值为，故选B．‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．‎ ‎ 第II卷（共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分．‎ ‎（11）【2014年山东，文11，5分】执行下面的程序框图，若输入的的值为1，则输出的的 值为 ．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】根据判断条件，得，输入 第一次判断后循环，；‎ 第二次判断后循环，；‎ 第三次判断后循环，；‎ 第四次判断不满足条件，退出循环，输出．‎ ‎【点评】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力．‎ ‎（12）【2014年山东，文12，5分】函数的最小正周期为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，．‎ ‎【点评】本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．‎ ‎（13）【2014年山东，文13，5分】一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设六棱锥的高为，斜高为，则由体积，得：， ， 侧面积为．‎ ‎【点评】本题考查了棱锥的体积，侧面积的求法，解答的关键是能够正确利用体积与表面积公式解题．‎ ‎（14）【2014年山东，文14，5分】圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得的弦的长，则圆的标准方程为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设圆心，半径为． 由勾股定理得：圆心为，半径为2， ‎ 圆的标准方程为．‎ ‎【点评】此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．‎ ‎（15）【2014年山东，文15，5分】已知双曲线的焦距为，右顶点为，抛物线的焦点为，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知，抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为， 即代入双曲线方程 为，得，，渐近线方程为．‎ ‎【点评】熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键．‎ ‎ 三、解答题：本大题共6题，共75分．‎ ‎（16）【2014年山东，文16，12分】海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．‎ 地区 数量 ‎50‎ ‎150‎ ‎100‎ ‎（1）求这6件样品中来自各地区样品的数量；‎ ‎（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．‎ 解：（1），，三个地区商品的总数量为50+150+100=300，故抽样比，故地区抽取商品的 数量为；地区抽取的商品的数量为；C地区抽取的商品的数量为．‎ ‎ （2）在这6件样品中随机抽取2件共有：个不同的基本事件；且这些事件是等可能发生的，‎ 记“这2件商品来自相同地区”为事件，则中包含种不同的基本事件，‎ 故，即这2件商品来自相同地区的概率为．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是分层抽样，古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题．‎ ‎（17）【2014年山东，文17，12分】在中，角所对的边分别是．已知．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的面积．‎ 解：（1）由题意知：，，‎ 由正弦定理得：．‎ ‎（2）由余弦定理得：‎ ‎ 又因为为钝角，所以，即，所以．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用．‎ ‎（18）【2014年山东，文18，12分】如图，四棱锥中， ，，，分别为线段的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：．‎ 解：（1）连接交于点，连接，不妨设，，则，，‎ ‎，四边形为菱形，‎ 又．‎ ‎（2），，，为 平行四边形，，，又为菱形，，‎ ‎，．‎ ‎【点评】本题考查直线与平面平行、垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，正确运用直 线与平面平行、垂直的判定是关键．‎ ‎（19）【2014年山东，文19，12分】在等差数列中，已知，是与等比中项．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，记，求．‎ 解：（1）由题意知：为等差数列，设，为与的等比中项，且，‎ 即， 解得：，．‎ ‎（2）由（1）知：，，‎ ①当为偶数时： ‎ ‎ ②当为奇数时：‎ ‎ ‎ ‎．‎ 综上：．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论思想方法，属于中档题．‎ ‎（20）【2014年山东，文20，13分】设函数，其中为常数．‎ ‎（1）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）讨论函数的单调性．‎ 解：（1）当时，，，，直线过点，．‎ ‎（2），‎ ‎ ①当时，恒大于0，在定义域上单调递增．‎ ‎ ②当时，，在定义域上单调递增．‎ ‎ ③当时，，即，开口向下，在定义域上单调递减．‎ ‎ 当时，，，‎ 对称轴方程为且．在单调递减，‎ 单调递增，单调递减．‎ ‎ 综上所述，时，在定义域上单调递增；时，在定义域上单调递增；时，‎ 在定义域上单调递减；时，在单调递减，‎ 单调递增，单调递减．‎ ‎【点评】导数是高考中极易考察到的知识模块，导数的几何意义和导数的单调性是本题检查的知识点，特别是单调性的处理中，分类讨论是非常关键和必要的，分类讨论也是高考中经常考查的思想方法．‎ ‎（21）【2014年山东，文21，14分】在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，‎ 直线被椭圆截得的线段长为． ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，‎ 直线与轴、轴分别交于两点．‎ ‎（i）设直线的斜率分别为．证明存在常数使得，并求出的值；‎ ‎（ii）求面积的最大值．‎ 解：（1），，即，，，设直线与椭圆交于两点．不妨设点 为直线和椭圆在第一象限的交点．又弦长为，，，‎ ‎ 联立解得，，椭圆方程为．‎ ‎（2）（i）设，，则．∵直线的斜率，又，‎ ‎∴直线的斜率．设方程为，由题意知，．‎ 联立，得．∴．‎ 因此．由题意可得．‎ ‎∴直线的方程为．令，得，即．‎ 可得．∴，即．因此存在常数使得结论成立．‎ ‎（ii）直线方程为，令，得，即．由（i）知，‎ 可得的面积为．‎ 当且仅当时等号成立．∴面积的最大值为．‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是压轴题．‎