解析几何的最值问题是数学竞赛和高考的常见题型解此类问…

解析几何的最值问题是数学竞赛和高考的常见题型解此类问…

解析几何最值问题的解法 上海市松江一中 陆珲 解析几何的最值问题是高中数学的难点和重点，也是数学竞赛和高考的常见题型。由于高中解析集合研究的都是二次曲线，所以通常情况下，解此类问题的方法和解函数中的求最值问题方法类似，常用下面几种方法：‎ ‎1、化为二次函数，求二次函数的最值；‎ ‎2、化为一元二次方程，利用△；‎ ‎3、利用不等式；‎ ‎4、利用函数的单调性和有界性；‎ ‎5、利用几何法。‎ 在解此类问题时，以上方法也可能会混合运用。同时，恰当利用解析几何中二次曲线定义和性质，或利用参数方程，或建立适当的坐标系，也可以简化问题，方便解题。‎ 例题1：如图已知点在圆上移动，点在椭圆上移动，求的最大值。‎ ‎[分析：如图先让点在椭圆上固定，显然通过圆心时最大，因此要的最大值，只要求的最大值。]‎ 解：设点坐标，则 ①，‎ 因点在椭圆上，故 ②‎ 把②代入①得 点在椭圆上移动， 时，‎ 说明：此解法就是典型的运用化为二次函数，通过求二次函数的最值来解决问题。但是在利用二次函数求最值时，不能机械地套用最值在顶点处取得的模式，首先要求出定义域，然后再看顶点是否在定义域内，若在，则可套用，若不在，则要按二次函数在其定义域内的单调性来判定。‎ 例题2：如图，定长为3的线段的两端在抛物线上移动，且线段中点为，求点到轴的最短距离，并求此时点的坐标。‎ ‎[分析：点到轴的最短距离，即求点横坐标的最小值。]‎ 解法一：化为一元二次方程，利用△‎ 设则 ‎① ‎ ‎②‎ ‎③ ‎ ‎④ ‎ ‎⑤‎ ‎③④代入⑤，整理得，即 ‎ ⑥‎ 由①③④得 ⑦‎ ‎②代入上式得 ⑧‎ ‎②⑦⑧代入⑥并整理得 ⑨‎ ‎，△，即 ‎，将代入⑨得 所以中点到轴的最短距离是，相应的点的坐标为或 说明：此类解法是学生比较容易掌握的方法，解题时将未知的元素都进行适当的假设，并通过已知条件找出它们与解题目标的关系并化为一元二次方程，利用△‎ 计算。在运用此法时，不仅要判断方程是否有解，还应注意方程解的特点，如正负根等，此时可进一步应用方程的根与系数的关系（韦达定理）等进行讨论和判断。同时，此类解法字母较多，计算量大，解题时应更加仔细。‎ 解法二：利用不等式 同解法一，得⑨，整理得，‎ 以下同前。‎ 说明：利用不等式性质（时等号成立）的解法也是比较常用的解题方法，但是应用时应该考虑不等式性质成立的前提和性质的特点，在进行计算式变形时目的要明确，同时等号成立是变量的取值要关注到位。若题设条件无法在时取得最值，则应利用函数的单调性和有界性求得最值。‎ 解法三：几何法 如图设，则以为直径的圆为 准线上离圆最远的点代入上式得，‎ 故准线与圆相离或相切，又圆半径为，圆与准线相切时，即时，点到轴的最短距离是，即点横坐标的最小值为 点的纵坐标 所以点的坐标为或 说明：利用几何法的前提是对曲线的概念和性质有充分的理解，并对题设条件具有相当的迁移能力。‎ 例题3：在半径为的圆中，，点为上一动点，过点作的垂线交于点，求△的面积最大值。‎ ‎[分析：通过建立函数关系式，利用函数求最值的方法解决问题]‎ 解法一：‎ 如图，以圆心为坐标原点，过平行于的直线为轴建立平面直角坐标系。‎ 因为△为等腰直角三角形，所以坐标为 设点坐标，‎ 当，即时 解法二：‎ 如图，以为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系。‎ 因为△为等腰直角三角形，所以圆心坐标为，‎ 圆方程为，即 ‎ ‎ 设点坐标，则点的坐标满足上式，‎ ‎ 当时，‎ 说明：通过以上两种解法可见，不同的坐标系的建立方法对解题模式的影响是巨大的，虽然解法二也可用参数方程，但显然计算很复杂。并且以上两种解法均混合运用了二次函数、参数方程、几何法等多种解题方法。所以，在解题时我们应综合分析题意，就能选择出恰当的角度和方法来解决问题。‎