高考真题理科数学全国II卷

高考真题理科数学全国II卷

理科数学 2017年高三2017年全国甲卷理科数学 ‎ 理科数学 考试时间：____分钟 题型 单选题 填空题 简答题 总分 得分 单选题 （本大题共12小题，每小题____分，共____分。） ‎ ‎1．(     )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎2．设集合，．若，则(      )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(          )‎ A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 ‎4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(        )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎5．设，满足约束条件，则的最小值是(       )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(         )‎ A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 ‎7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(          )‎ A. 乙可以知道四人的成绩 B. 丁可以知道四人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩 ‎8．执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的(       )‎ A. 2‎ B. 3‎ C. 4‎ D. 5‎ ‎9．若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为(          )‎ A. 2‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎10．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为(         )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎11．若是函数的极值点，则的极小值为(        )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. 1‎ ‎12．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小是(        )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 填空题 （本大题共4小题，每小题____分，共____分。） ‎ ‎13．一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则____________．‎ ‎14．函数的最大值是____________．‎ ‎15．等差数列的前项和为，，，则____________．‎ ‎16．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________．‎ 简答题（综合题） （本大题共7小题，每小题____分，共____分。） ‎ ‎17．（12分）‎ 的内角的对边分别为，已知．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为，求．‎ ‎18．（12分）‎ 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）．其频率分布直方图如下：‎ ‎（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；‎ ‎（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：‎ ‎（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．‎ 附：，‎ ‎19．（12分）‎ 如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点．‎ ‎（1）证明：直线平面PAB；‎ ‎（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值．‎ ‎20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．‎ ‎（1）求点P的轨迹方程；‎ ‎（2）设点Q在直线上，且．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数，且．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）证明：存在唯一的极大值点，且．‎ 所以．‎ ‎22．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足，求点P的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．‎ ‎23．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知．证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ 答案 单选题 ‎ ‎1.  D 2.  C 3.  B 4.  B 5.  A 6.  D 7.  D 8.  B 9.  A 10.  C 11.  A 12.  B ‎ 填空题 ‎ ‎13.  ‎ ‎14.  ‎ ‎1‎ ‎15.  ‎ ‎16.  ‎ ‎6‎ 简答题 ‎ ‎17.  ‎ ‎（1）      （2）‎ ‎18.  ‎ ‎（1）   （2）见解析   （3）‎ ‎19.  ‎ ‎（1）见解析；    （2）‎ ‎20.  ‎ ‎（1）；（2）见解析 ‎21.  ‎ ‎（1）；（2）见解析 ‎22.  ‎ ‎（1）．（2）‎ ‎23.  ‎ ‎（1）见解析（2）见解析 解析 单选题 ‎ ‎1.  ‎ 由复数的除法运算法则有：，故选D.‎ ‎2.  ‎ 由得，即是方程的根，所以，，故选C．‎ ‎3.  ‎ 设塔的顶层共有灯盏，则各层的灯数构成一个首项为，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：，解得，即塔的顶层共有灯3盏，故选B．‎ ‎4.  ‎ 由题意，其体积，其体积，故该组合体的体积．故选B．‎ ‎5.  ‎ 绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点处取得最小值，最小值为．故选A.‎ ‎6.  ‎ 由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有种． 故选D．‎ ‎7.  ‎ 四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．‎ ‎8.  ‎ 阅读程序框图，初始化数值．‎ 循环结果执行如下：‎ 第一次：；‎ 第二次：；‎ 第三次：；‎ 第四次：；‎ 第五次：；‎ 第六次：；‎ 结束循环，输出．故选B．‎ ‎9.  ‎ 取渐近线，化成一般式，圆心到直线距离为 得，，．‎ ‎10.  ‎ 如图所示，补成直四棱柱，‎ 则所求角为，‎ 易得，因此，故选C．‎ ‎11.  ‎ ‎，‎ 则，‎ 则，，‎ 令，得或，‎ 当或时，，‎ 当时，，‎ 则极小值为．‎ ‎12.  ‎ 如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，则，，，设，所以，，，所以，‎ ‎，当时，所求的最小值为，故选B．‎ 填空题 ‎ ‎13.  ‎ 由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即，由二项分布的期望公式可得．‎ ‎14.  ‎ 化简三角函数的解析式，则 ‎，由可得，当时，函数取得最大值1．‎ ‎15.  ‎ 设首项为，公差为．‎ 则 求得，，则，‎ ‎16.  ‎ 如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．‎ 简答题 ‎ ‎17.  ‎ ‎（1）依题得：．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎（2）由⑴可知．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎18.  ‎ ‎（1）记：“旧养殖法的箱产量低于” 为事件 ‎“新养殖法的箱产量不低于”为事件 而 ‎（2）‎ ‎ 由计算可得的观测值为 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴有以上的把握产量的养殖方法有关．‎ ‎（3），‎ ‎，‎ ‎，∴中位数为．‎ ‎19.  ‎ ‎（1）令中点为，连结，，．‎ ‎∵，为，中点，∴为的中位线，∴．‎ 又∵，∴．‎ 又∵，∴，∴．‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴．‎ 又∵，∴‎ ‎（2）取中点，连，由于为正三角形 ‎∴‎ 又∵平面平面，平面平面 ‎∴平面，连，四边形为正方形。‎ ‎∵平面，∴平面平面 而平面平面 过作，垂足为，∴平面 ‎∴为与平面所成角，‎ ‎∴‎ 在中，，∴，‎ 设，，，‎ ‎∴，∴‎ 在中，，∴‎ ‎∴，，‎ 以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，，，，‎ ‎，‎ 设平面的法向量为，，∴‎ ‎∴，而平面的法向量为 设二面角的大角为（为锐角）‎ ‎∴‎ ‎20.  ‎ ‎（1）设，设，．‎ 由得．‎ 因为在C上，所以．‎ 因此点P的轨迹方程为．‎ ‎（2）由题意知．设，‎ 则，．‎ 由得，又由（1）知，故，‎ 所以，即．‎ 又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F．‎ ‎21.  ‎ ‎（1）的定义域为 设，则等价于 因为 若a=1，则.当0＜x＜1时，单调递减；当x＞1时，＞0，单调递增.所以x=1是的极小值点，故 综上，‎ ‎⑵ ，，．‎ 令，则，．‎ 令得，‎ 当时，，单调递减；当时，，单调递增．‎ 所以，．‎ 因为，，，，‎ 所以在和上，即各有一个零点．‎ 设在和上的零点分别为，因为在上单调减，‎ 所以当时，，单调增；当时，，单调减．因此，是的极大值点．‎ 因为，在上单调增，所以当时，，单调减，时，单调增，因此是的极小值点．‎ 所以，有唯一的极大值点．‎ 由前面的证明可知，，则．‎ 因为，所以，则 又，因为，所以．‎ 因此，．‎ ‎22.  ‎ ‎⑴设 则．‎ 解得，化为直角坐标系方程为．‎ ‎（2）设点B的极坐标为,由题设知 ‎,于是△OAB面积 当时，S取得最大值 所以△OAB面积的最大值为 ‎23.  ‎ ‎（1）‎ ‎（2）因为 所以，因此.‎