安徽省合肥市高考数学二模试卷文科解析

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安徽省合肥市高考数学二模试卷文科解析

‎2017年安徽省合肥市高考数学二模试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知i为虚数单位,则=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知集合A={x|1<x2<4},B={x|x﹣1≥0},则A∩B=(  )‎ A.(1,2) B.[1,2) C.(﹣1,2) D.[﹣1,2)‎ ‎3.已知命题q:∀x∈R,x2>0,则(  )‎ A.命题¬q:∀x∈R,x2≤0为假命题 B.命题¬q:∀x∈R,x2≤0为真命题 C.命题¬q:∃x∈R,x2≤0为假命题 D.命题¬q:∃x∈R,x2≤0为真命题 ‎4.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的最大值为(  )‎ A.5 B.6 C. D.7‎ ‎5.执行如图所示的程序框图,输出的s=(  )‎ A.5 B.20 C.60 D.120‎ ‎6.设向量满足,则=(  )‎ A.2 B. C.3 D.‎ ‎7.已知{}是等差数列,且a1=1,a4=4,则a10=(  )‎ A.﹣ B.﹣ C. D.‎ ‎8.已知椭圆=1(a>b>0)的左,右焦点为F1,F2,离心率为e.P是椭圆上一点,满足PF2⊥F1F2,点Q在线段PF1上,且.若=0,则e2=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知函数,若f(x1)<f(x2),则一定有(  )‎ A.x1<x2 B.x1>x2 C. D.‎ ‎10.中国古代数学有着很多令人惊叹的成就.北宋沈括在《梦澳笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术.隙积术意即:将木捅一层层堆放成坛状,最上一层长有a个,宽有b个,共计ab个木桶.每一层长宽各比上一层多一个,共堆放n层,设最底层长有c个,宽有d个,则共计有木桶个.假设最上层有长2宽1共2个木桶,每一层的长宽各比上一层多一个,共堆放15层.则木桶的个数为(  )‎ A.1260 B.1360 C.1430 D.1530‎ ‎11.锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a﹣b)(sinA+sinB)=(c﹣b)sinC,若,则b2+c2的取值范围是(  )‎ A.(5,6] B.(3,5) C.(3,6] D.[5,6]‎ ‎12.已知函数f(x)=﹣(a+1)x+a(a>0),其中e为自然对数的底数.若函数y=f(x)与y=f[f(x)]有相同的值域,则实数a的最大值为(  )‎ A.e B.2 C.1 D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.已知双曲线的离心率为,则它的渐近线方程为  .‎ ‎14.某同学在高三学年的五次阶段性考试中,数学成绩依次为110,114,121,119,126,则这组数据的方差是 ‎  .‎ ‎15.几何体三视图如图所示,其中俯视图为边长为1的等边三角形,则此几何体的体积为  .‎ ‎16.已知数列{an}中,a1=2,且,则其前9项的和S9=  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.已知函数f(x)=sinωx﹣cosωx(ω>0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;‎ ‎(2)讨论函数f(x)在上的单调性.‎ ‎18.某校在高一年级学生中,对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查.现从高一年级学生中随机抽取180名学生,其中男生105名;在这名180学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名.‎ ‎(1)试问:从高一年级学生中随机抽取1人,抽到男生的概率约为多少?‎ ‎(2)根据抽取的180名学生的调查结果,完成下列列联表.并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关?‎ 选择自然科学类 选择社会科学类 合计 男生 ‎  ‎ ‎  ‎ ‎  ‎ 女生 ‎  ‎ ‎  ‎ ‎  ‎ 合计 ‎  ‎ ‎  ‎ ‎  ‎ 附:,其中n=a+b+c+d.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ K0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19.如图1,平面五边形ABCDE中,AB∥CE,且,.将△CDE沿CE折起,使点D到P的位置如图2,且,得到四棱锥P﹣ABCE.‎ ‎(1)求证:AP⊥平面ABCE;‎ ‎(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l,求证:AB∥l.‎ ‎20.如图,已知抛物线E:y2=2px(p>0)与圆O:x2+y2=8相交于A,B两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M.‎ ‎(1)求抛物线E的方程;‎ ‎(2)求点M到直线CD距离的最大值.‎ ‎21.已知f(x)=lnx﹣x+m(m为常数).‎ ‎(1)求f(x)的极值;‎ ‎(2)设m>1,记f(x+m)=g(x),已知x1,x2为函数g(x)是两个零点,求证:x1+x2<0.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ.‎ ‎(1)求出圆C的直角坐标方程;‎ ‎(2)已知圆C与x轴相交于A,B两点,直线l:y=2x关于点M(0,m)(m≠0)对称的直线为l'.若直线l'上存在点P使得∠APB=90°,求实数m的最大值.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.已知函数.‎ ‎(1)求函数f(x)的定义域;‎ ‎(2)若当x∈[0,1]时,不等式f(x)≥1恒成立,求实数a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2017年安徽省合肥市高考数学二模试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知i为虚数单位,则=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算.‎ ‎【分析】利用复数的运算法则即可得出.‎ ‎【解答】解: ===.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎2.已知集合A={x|1<x2<4},B={x|x﹣1≥0},则A∩B=(  )‎ A.(1,2) B.[1,2) C.(﹣1,2) D.[﹣1,2)‎ ‎【考点】交集及其运算.‎ ‎【分析】解不等式化简集合A、B,根据交集的定义写出A∩B.‎ ‎【解答】解:集合A={x|1<x2<4}={x|﹣2<x<﹣1或1<x<2},‎ B={x|x﹣1≥0}={x|x≥1},‎ 则A∩B={x|1<x<2}=(1,2).‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎3.已知命题q:∀x∈R,x2>0,则(  )‎ A.命题¬q:∀x∈R,x2≤0为假命题 B.命题¬q:∀x∈R,x2≤0为真命题 C.命题¬q:∃x∈R,x2≤0为假命题 D.命题¬q:∃x∈R,x2≤0为真命题 ‎【考点】命题的否定.‎ ‎【分析】本题中的命题是一个全称命题,其否定是特称命题,依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定,再进行判断即可.‎ ‎【解答】解:∵命题q:∀x∈R,x2>0,‎ ‎∴命题¬q:∃x∈R,x2≤0,为真命题.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎4.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的最大值为(  )‎ A.5 B.6 C. D.7‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.‎ ‎【解答】解:由约束条件作出可行域如图,‎ 联立,解得A(),‎ 化目标函数z=x+2y为y=﹣.‎ 由图可知,当直线y=﹣过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎5.执行如图所示的程序框图,输出的s=(  )‎ A.5 B.20 C.60 D.120‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【分析】先根据已知循环条件和循环体判定循环的规律,然后根据运行的情况判断循环的次数,从而得出所求.‎ ‎【解答】解:第一次循环,s=1,a=5≥3,s=5,a=4;‎ 第二次循环,a=4≥3,s=20,a=3;‎ 第三次循环,a=3≥3,s=60,a=2,‎ 第四次循环,a=2<3,输出s=60,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎6.设向量满足,则=(  )‎ A.2 B. C.3 D.‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算.‎ ‎【分析】可以得到,这样代入即可求出的值,从而得出的值.‎ ‎【解答】解:‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=16﹣4‎ ‎=12;‎ ‎∴.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎7.已知{}是等差数列,且a1=1,a4=4,则a10=(  )‎ A.﹣ B.﹣ C. D.‎ ‎【考点】等差数列的通项公式.‎ ‎【分析】根据题意,设等差数列{}的公差为d,结合题意可得=1, =,计算可得公差d的值,进而由等差数列的通项公式可得的值,求其倒数可得a10的值.‎ ‎【解答】解:根据题意,{}是等差数列,设其公差为d,‎ 若a1=1,a4=4,有=1, =,‎ 则3d=﹣=﹣,即d=﹣,‎ 则=+9d=﹣,‎ 故a10=﹣;‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎8.已知椭圆=1(a>b>0)的左,右焦点为F1,F2,离心率为e.P是椭圆上一点,满足PF2⊥F1F2,点Q在线段PF1上,且.若=0,则e2=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】由题意求得P点坐标,根据向量的坐标运算求得Q点坐标,由=0,求得b4=2c2a2,则b2=a2﹣c2,根据离心率的取值范围,即可求得椭圆的离心率.‎ ‎【解答】解:由题意可知:PF2⊥F1F2,则P(c,),‎ 由,(xQ+c,yQ)=2(c﹣xQ,﹣yQ),则Q(,),‎ ‎=(2c,),=(﹣,),‎ 由=0,则2c×(﹣)+×=0,整理得:b4=2c2a2,‎ 则(a2﹣c2)2=2c2a2,整理得:a4﹣4c2a2+c4=0,则e4﹣4e2+1=0,解得:e2=2±,‎ 由0<e<1,则e2=2﹣,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎9.已知函数,若f(x1)<f(x2),则一定有(  )‎ A.x1<x2 B.x1>x2 C. D.‎ ‎【考点】三角函数的化简求值;正弦函数的图象.‎ ‎【分析】把已知函数解析式变形,由f(x1)<f(x2),得sin22x1>sin22x2,即|sin2x1|>|sin2x2|,再由x1,x2的范围可得|2x1|>|2x2|,即|x1|>|x2|,得到.‎ ‎【解答】解:f(x)=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2﹣2sin2xcos2x=.‎ 由f(x1)<f(x2),得,‎ ‎∴sin22x1>sin22x2,即|sin2x1|>|sin2x2|,‎ ‎∵x1∈[﹣],x2∈[﹣],‎ ‎∴2x1∈[﹣,],2x2∈[﹣],‎ 由|sin2x1|>|sin2x2|,得|2x1|>|2x2|,即|x1|>|x2|,∴.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎10.中国古代数学有着很多令人惊叹的成就.北宋沈括在《梦澳笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术.隙积术意即:将木捅一层层堆放成坛状,最上一层长有a个,宽有b个,共计ab个木桶.每一层长宽各比上一层多一个,共堆放n层,设最底层长有c个,宽有d个,则共计有木桶个.假设最上层有长2宽1共2个木桶,每一层的长宽各比上一层多一个,共堆放15层.则木桶的个数为(  )‎ A.1260 B.1360 C.1430 D.1530‎ ‎【考点】等差数列的前n项和.‎ ‎【分析】由已知条件求出a,b,c,d,代入公式能求出结果.‎ ‎【解答】解:∵最上层有长2宽1共2个木桶,每一层的长宽各比上一层多一个,共堆放15层.‎ ‎∴最底层长有c=a+15=17个,宽有d=b+15=16个 则木桶的个数为: =1530.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎11.锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a﹣b)(sinA+sinB)=(c﹣b)sinC,若,则b2+c2的取值范围是(  )‎ A.(5,6] B.(3,5) C.(3,6] D.[5,6]‎ ‎【考点】正弦定理;余弦定理.‎ ‎【分析】由已知利用正弦定理可得b2+c2﹣a2=bc.再利用余弦定理可得cosA,进而可求A,利用正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简可得b2+c2=4+2sin(2B﹣),利用B的范围,可求2B﹣‎ 的范围,利用正弦函数的图象和性质可求其范围.‎ ‎【解答】解:∵(a﹣b)(sinA+sinB)=(c﹣b)sinC,由正弦定理可得:(a﹣b)(a+b)=(c﹣b)c,化为b2+c2﹣a2=bc.‎ 由余弦定理可得:cosA===,‎ ‎∴A为锐角,可得A=,‎ ‎∵,‎ ‎∴由正弦定理可得:,‎ ‎∴可得:b2+c2=(2sinB)2+[2sin(﹣B)]2=3+2sin2B+sin2B=4+2sin(2B﹣),‎ ‎∵B∈(,),可得:2B﹣∈(,),‎ ‎∴sin(2B﹣)∈(,1],可得:b2+c2=4+2sin(2B﹣)∈(5,6].‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎12.已知函数f(x)=﹣(a+1)x+a(a>0),其中e为自然对数的底数.若函数y=f(x)与y=f[f(x)]有相同的值域,则实数a的最大值为(  )‎ A.e B.2 C.1 D.‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.‎ ‎【分析】求出函数的导数,得到函数f(x)的值域,问题转化为即[1,+∞)⊆[,+∞),得到关于a的不等式,求出a的最大值即可.‎ ‎【解答】解:f(x)=﹣(a+1)x+a(a>0),‎ f′(x)=•ex+ax﹣(a+1),a>0,‎ 则x<1时,f′(x)<0,f(x)递减,‎ x>1时,f′(x)>0,f(x)递增,‎ 而x→+∞时,f(x)→+∞,f(1)=,‎ 即f(x)的值域是[,+∞),恒大于0,‎ 而f[f(x)]的值域是[,+∞),‎ 则要求f(x)的范围包含[1,+∞),‎ 即[1,+∞)⊆[,+∞),‎ 故≤1,解得:a≤2,‎ 故a的最大值是2,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.已知双曲线的离心率为,则它的渐近线方程为 y=±x .‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】运用离心率公式和a,b,c的关系,可得b==a,即可得到所求双曲线的渐近线方程.‎ ‎【解答】解:由题意可得e==,‎ 即c=a,b==a,‎ 可得双曲线的渐近线方程y=±x,‎ 即为y=±x.‎ 故答案为:y=±x.‎ ‎ ‎ ‎14.某同学在高三学年的五次阶段性考试中,数学成绩依次为110,114,121,119,126,则这组数据的方差是 ‎ 30.8 .‎ ‎【考点】极差、方差与标准差.‎ ‎【分析】根据平均数与方差的计算公式,计算即可.‎ ‎【解答】解:五次考试的数学成绩分别是110,114,121,119,126,‎ ‎∴它们的平均数是=×=118,‎ 方差是s2= [2+2+2+2+2]=30.8.‎ 故答案为:30.8.‎ ‎ ‎ ‎15.几何体三视图如图所示,其中俯视图为边长为1的等边三角形,则此几何体的体积为  .‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积.‎ ‎【分析】几何体为四棱锥,棱锥的高为俯视图三角形的高,底面为直角梯形.‎ ‎【解答】解:由三视图可知,几何体为四棱锥,棱锥的高为俯视图中等边三角形的高,棱锥的底面为直角梯形,梯形面积为(1+2)×1=.‎ ‎∴V==.‎ 故答案为.‎ ‎ ‎ ‎16.已知数列{an}中,a1=2,且,则其前9项的和S9= 1022 .‎ ‎【考点】数列的求和.‎ ‎【分析】由题意整理可得:an+1=2an,则数列{an}以2为首项,以2为公比的等比数列,利用等比数列的前n项和公式,即可求得S9.‎ ‎【解答】解:由题意可知an+12=4an(an+1﹣an),‎ 则an+12=4(anan+1﹣an2),an+12﹣4anan+1+4an2=0‎ 整理得:(an+1﹣2an)2=0,则an+1=2an,‎ ‎∴数列{an}以2为首项,以2为公比的等比数列,‎ 则前9项的和S9===1022,‎ 故答案为:1022.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.已知函数f(x)=sinωx﹣cosωx(ω>0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;‎ ‎(2)讨论函数f(x)在上的单调性.‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.‎ ‎【分析】(1)利用辅助角公式化简函数的解析式,根据正弦函数的周期性求得ω,可得其解析式,利用正弦函数的图象的对称求得函数y=f(x)图象的对称轴方程.‎ ‎(2)利用正弦函数的单调性求得函数f(x)在上的单调性.‎ ‎【解答】解:(1)∵,且T=π,∴ω=2.‎ 于是,令,得,‎ 即函数f(x)的对称轴方程为.‎ ‎(2)令,得函数f(x)的单调增区间为.‎ 注意到,令k=0,‎ 得函数f(x)在上的单调增区间为;‎ 同理,求得其单调减区间为.‎ ‎ ‎ ‎18.某校在高一年级学生中,对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查.现从高一年级学生中随机抽取180名学生,其中男生105名;在这名180学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名.‎ ‎(1)试问:从高一年级学生中随机抽取1人,抽到男生的概率约为多少?‎ ‎(2)根据抽取的180名学生的调查结果,完成下列列联表.并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关?‎ 选择自然科学类 选择社会科学类 合计 男生 ‎ 60 ‎ ‎ 45 ‎ ‎ 105 ‎ 女生 ‎ 30 ‎ ‎ 45 ‎ ‎ 75 ‎ 合计 ‎ 90 ‎ ‎ 90 ‎ ‎ 180 ‎ 附:,其中n=a+b+c+d.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ K0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【考点】独立性检验的应用.‎ ‎【分析】(1)根据从高一年级学生中随机抽取180名学生,其中男生105名,求出抽到男生的概率;‎ ‎(2)填写2×2列联表,计算观测值K2,对照数表即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)从高一年级学生中随机抽取1人,抽到男生的概率约为.‎ ‎(2)根据统计数据,可得列联表如下:‎ 选择自然科学类 选择社会科学类 合计 男生 ‎60‎ ‎45‎ ‎105‎ 女生 ‎30‎ ‎45‎ ‎75‎ 合计 ‎90‎ ‎90‎ ‎180‎ ‎,‎ 所以,在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关.‎ ‎ ‎ ‎19.如图1,平面五边形ABCDE中,AB∥CE,且,.将△CDE沿CE折起,使点D到P的位置如图2,且,得到四棱锥P﹣ABCE.‎ ‎(1)求证:AP⊥平面ABCE;‎ ‎(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l,求证:AB∥l.‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.‎ ‎【分析】(1)在△CDE中,由已知结合余弦定理得CE.连接AC,可得AC=2.在△PAE中,由PA2+AE2=PE2,得AP⊥AE.同理,AP⊥AC,然后利用线面垂直的判定可得AP⊥平面ABCE;‎ ‎(2)由AB∥CE,且CE⊂平面PCE,AB⊄平面PCE,可得AB∥平面PCE,又平面PAB∩平面PCE=l,结合面面平行的性质可得AB∥l.‎ ‎【解答】证明:(1)在△CDE中,∵,,‎ ‎∴由余弦定理得CE==2.‎ 连接AC,∵AE=2,∠AEC=60°,∴AC=2.‎ 又∵,∴在△PAE中,PA2+AE2=PE2,‎ 即AP⊥AE.‎ 同理,AP⊥AC,‎ ‎∵AC⊂平面ABCE,AE⊂平面ABCE,‎ 且AC∩AE=A,‎ 故AP⊥平面ABCE;‎ ‎(2)∵AB∥CE,且CE⊂平面PCE,AB⊄平面PCE,‎ ‎∴AB∥平面PCE,‎ 又平面PAB∩平面PCE=l,‎ ‎∴AB∥l.‎ ‎ ‎ ‎20.如图,已知抛物线E:y2=2px(p>0)与圆O:x2+y2=8相交于A,B两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M.‎ ‎(1)求抛物线E的方程;‎ ‎(2)求点M到直线CD距离的最大值.‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】(1)由2pxA=4,p=1.即可求得p的值,求得抛物线方程;‎ ‎(2)分别求得直线l1,l2方程,联立,求得交点M坐标,求得足,,利用点到直线的距离公式,根据函数的单调性即可求得点M到直线CD距离的最大值.‎ ‎【解答】解:(1)由xA=2得,故2pxA=4,p=1.‎ 于是,抛物线E的方程为y2=2x.‎ ‎(2)设,,切线l1:,‎ 代入y2=2x得,由△=0解得,‎ ‎∴l1方程为,同理l2方程为,‎ 联立,解得,‎ 易得CD方程为x0x+y0y=8,其中x0,y0满足,,‎ 联立方程得,则,‎ ‎∴M(x,y)满足,即点M为.‎ 点M到直线CD:x0x+y0y=8的距离,‎ 关于x0单调减,‎ 故当且仅当x0=2时,.‎ ‎ ‎ ‎21.已知f(x)=lnx﹣x+m(m为常数).‎ ‎(1)求f(x)的极值;‎ ‎(2)设m>1,记f(x+m)=g(x),已知x1,x2为函数g(x)是两个零点,求证:x1+x2<0.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】(1)利用导数判断f(x)的单调性,得出f(x)的极值;‎ ‎(2)由g(x1)=g(x2)=0可得,故h(x)=ex﹣x有两解x1,x2,判断h(x)的单调性得出x1,x2的范围,将问题转化为证明h(x1)﹣h(﹣x1)<0,在判断r(x1)=h(x1)﹣h(﹣x1)的单调性即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)∵f(x)=lnx﹣x+m,∴,由f'(x)=0得x=1,‎ 且0<x<1时,f'(x)>0,x>1时,f'(x)<0.‎ 故函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).‎ 所以,函数f(x)的极大值为f(1)=m﹣1,无极小值.‎ ‎(2)由g(x)=f(x+m)=ln(x+m)﹣x,‎ ‎∵x1,x2为函数g(x)是两个零点,‎ ‎∴,即,‎ 令h(x)=ex﹣x,则h(x)=m有两解x1,x2.‎ 令h'(x)=ex﹣1=0得x=0,‎ ‎∴﹣m<x<0时,h′(x)<0,当x>0时,h′(x)>0,‎ ‎∴h(x)在(﹣m,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.‎ ‎∵h(x)=m的两解x1,x2分别在区间(﹣m,0)和(0,+∞)上,‎ 不妨设x1<0<x2,‎ 要证x1+x2<0,‎ 考虑到h(x)在(0,+∞)上递增,只需证h(x2)<h(﹣x1),‎ 由h(x2)=h(x1)知,只需证h(x1)<h(﹣x1),‎ 令r(x)=h(x)﹣h(﹣x)=ex﹣2x﹣e﹣x,‎ 则r′(x)=ex+﹣2≥0,‎ ‎∴r(x)单调递增,∵x1<0,‎ ‎∴r(x1)<r(0)=0,即h(x1)<h(﹣x1)成立,‎ 即x1+x2<0成立.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ.‎ ‎(1)求出圆C的直角坐标方程;‎ ‎(2)已知圆C与x轴相交于A,B两点,直线l:y=2x关于点M(0,m)(m≠0)对称的直线为l'.若直线l'上存在点P使得∠APB=90°,求实数m的最大值.‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程.‎ ‎【分析】(1)由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ,即可求出圆C的直角坐标方程;‎ ‎(2)l:y=2x关于点M(0,m)的对称直线l'的方程为y=2x+2m,而AB为圆C的直径,故直线l'上存在点P使得∠APB=90°的充要条件是直线l'与圆C有公共点,即可求实数m的最大值.‎ ‎【解答】解:(1)由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ,即x2+y2﹣4x=0,即圆C的标准方程为(x﹣2)2+y2=4.‎ ‎(2)l:y=2x关于点M(0,m)的对称直线l'的方程为y=2x+2m,而AB为圆C的直径,故直线l'上存在点P使得∠APB=90°的充要条件是直线l'与圆C有公共点,故,于是,实数m的最大值为.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.已知函数.‎ ‎(1)求函数f(x)的定义域;‎ ‎(2)若当x∈[0,1]时,不等式f(x)≥1恒成立,求实数a的取值范围.‎ ‎【考点】函数恒成立问题;函数的定义域及其求法.‎ ‎【分析】(1)由根式内部的代数式大于等于0,求解绝对值的不等式,进一步分类求解含参数的不等式得答案;‎ ‎(2)把不等式f(x)≥1恒成立转化为|ax﹣2|≤3,记g(x)=|ax﹣2|,可得,求解不等式组得答案.‎ ‎【解答】解:(1)要使原函数有意义,则|ax﹣2|≤4,即﹣4≤ax﹣2≤4,得﹣2≤ax≤6,‎ 当a>0时,解得,函数f(x)的定义域为;‎ 当a<0时,解得,函数f(x)的定义域为.‎ ‎(2)f(x)≥1⇔|ax﹣2|≤3,记g(x)=|ax﹣2|,‎ ‎∵x∈[0,1],∴需且只需,即,解得﹣1≤a≤5,‎ 又a≠0,∴﹣1≤a≤5,且a≠0.‎ ‎ ‎ ‎2017年4月11日
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