高考数学数列小题练习集一
2019年高考数学数列小题练习集（一）
1.已知数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0)，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A.数列{an}的前n项和为Sn=4n B. 数列{an}的通项公式为
C.数列{an}为递增数列 D. 数列为递增数列
2.已知数列满足: ,.若,,且数列是单调递增数列,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知等比数列{zn}中，，，（其中i为虚数单位，，且y＞0），则数列{zn}的前2019项的和为（ ）
A． B． C． D．
4.等比数列{an}的前n项和，则的值为
A. 1 B.－1 C. 17 D. 18
5.设函数，是公差为的等差数列，
，则
A． B． C． D．
6.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足，则下列命题错误的是
A． B．
C． D．
7.已知数列{an}满足，则=
A．－1 B．－2 C．－3 D．1－log340
8.已知数列{an}满足，若，则的值为( )
A. B. C. D.
9.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且，则数列{an}的公比为( )
A.4 B.2 C.1 D.
10.已知数列满足，，则数列的前40项的和为（ ）
A． B． C． D．
11.已知正方形ABCD的边长是a，依次连接正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，由此规律，依次得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．设这10条线段的长度之和是S10，则
A． B． C． D．
12.数列{an}满足a1=1，且对于任意n∈N+的都有an+1 = an + a1 +n，则 等于 （ ）
A. B. C. D.
13.已知数列{an}满足：+=(n+1)cos(n≥2,n∈N*), Sn是数列{an}的前n项和，若
+m=1010,·m>0,则的最小值为（ ）
A.2 B. C.2 D.2+
14.数列的通项公式，前项和，则（ ）
A．1232 B．3019 C．3025 D．4321
15.《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驾马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马．何日相逢，”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”现有三种说法：①驽马第九日走了93里路；②良马四日共走了930里路；③行驶5天后，良马和驽马相距615里．
那么，这3个说法里正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
16.设数列{an}的前n项和为Sn，，且.若，则n的最大值为（ ）
A．51 B．52 C．53 D．54
17.已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)，若a1>1，则( )
A. a1
a3，a2a4 D. a1>a3，a2>a4
18.设等差数列的前项和为，已知，则下列选项正确的是
A． B．
C． D．
19.己知数列中，，且对任意的，都有，则
A． B． C． D．
20.已知 为虚数单位），又数列满足：当时，；当，为的虚部，若数列的前项和为，则( )
A． B． C. D．
21.已知数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C. D．
22.已知等差数列的公差，前项和为，若对所有的，都有，则（ ）．
A. B. C. D.
23.设实数b，c，d成等差数列，且它们的和为9，如果实数a，b，c构成公比不等于－1的等比数列，则a+b+c的取值范围为（ ）
A. (,+∞) B. (－∞,)
C. [,3)∪(3,+∞) D. (－∞,－3) ∪(－3, )
24.已知数列满足，则该数列的前23 项的和为（ ）
A．4194 B．4195 C．2046 D．2047
25.等差数列的前项和为，若为一个确定的常数，下列各式中也为确定常数的是（ ）
A． B． C． D．
26.下列结论正确的是（ ）
A．若为等比数列，是的前项和，则，，是等比数列
B．若为等比数列，是的前项和，则，，是等差数列
C．若为等比数列，“”是“”的充要条件
D．满足（，为常数的数列为等比数列
27.已知定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=2 f(x+2)，当x∈[0,2]时， f(x)=－2x2+4x，设f(x)在[2n－2,2n)上的最大值为an (n∈N*),且{an}的前n项和为Sn，则Sn=
A．2－ B．4－ C． 2－ D． 4－
28.已知数列{an}{n=1，2，3…，2015}为等差数列，圆C1：x2+y2﹣4x﹣4y=0，圆C2：x2+y2﹣2anx﹣2a2016﹣ny=0，若圆C2平分圆C1的周长，则{an}的所有项的和为（ ）
A．2014 B．2015 C．4028 D．4030
29.已知数列满足，（n∈N*），则使成立的最大正整数的值为（ ）
A．198 B．199 C.200 D．201
30.定义为个正数的“均倒数”．
若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则( )
A． B． C． D．
31.已知等差数列的公差，前项和为，则对正整数，下列四个结论中:
(1) 成等差数列，也可能成等比数列；
(2) 成等差数列，但不可能成等比数列；
(3) 可能成等比数列，但不可能成等差数列；
(4) 不可能成等比数列，也不叫能成等差数列.
正确的是( )
A.(1)(3) B.(1)(4) C.(2)(3) D.(2)(4)
32.对于实数，表示不超过的最大整数. 已知正数数列满足，，其中为数列的前项和，则（ ）
A． B． C． D．
33.设Sn为数列{an}的前n项和，a1=1，Sn=2Sn﹣1+n﹣2（n≥2），则a2017等于（ ）
A．22016﹣1 B．22016+1 C．22017﹣1 D．22017+1
34.若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”．若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2017积数列”，且a1＞1，则当其前n项的乘积取最大值时n的值为（ ）
A．1008 B．1009 C．1007或1008 D．1008或1009
35.已知在各项为正数的等比数列中，与的等比中项为4，则当取最小值时,等于（ ）
A．32 B．16 C．8 D．4
36.如图，已知点为的边上一点，，（）为边上的一列点，满足，其中实数列中，，，则的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
37.已知数列的前项和为，若对任意的都成立，则数列为（ ）
A．等差数列 B．等比数列
C. 既等差又等比数列 D．既不等差又不等比数列
38.已知等差数列{an}的公差不为0，等比数列{bn}的公比是正有理数．若，且是正整数，则=( )
A. B. 2 C. 2或8 D. 2,或
39.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
40.在数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+2－an=1+(－1)n（n∈N+），则S100=（ ）
A．0 B．1300 C．2600 D．2602
41.已知集合，其中，且，则中所有元素之和是（）．
A．120 B．112 C．92 D．84
42.函数，定义数列如下：，，若给定的值，得到无穷数列满足：对任意正整数，均有，则的取值范围是（）．
A．(－∞,－1)∪(1,+∞) B．(－∞,0)∪(1,+∞)
C．(1,+∞) D．(－1,0)
43.已知数列，，，具有性质：对任意，，与两数中至少有一个是该数列中的一项，给出下列三个结论：
①数列0，2，4，6具有性质．
②若数列具有性质，则．
③数列，，具有性质，则，
其中，正确结论的个数是（）．
A．3 B．2 C．1 D．0
44.若等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，记bn=，则（ ）
A．数列{bn}是等差数列，{bn}的公差也为d
B．数列{bn}是等差数列，{bn}的公差为2d
C．数列{an+bn}是等差数列，{an+bn}的公差为d
D．数列{an﹣bn}是等差数列，{an﹣bn}的公差为
45.设等差数列的前项的和为，若，，且，则（ ）
A． B．
C. D．
46.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则等于( )
A．1 B．－1 C.2017 D．－2017
47.已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a3=b3=a，a6=b6=b，若a＞b，则下列正确的是（ ）
A．若ab＞0，则a4＞b4 B．若a4＞b4，则ab＞0
C．若ab＜0，则（a4﹣b4）（a5﹣b5）＜0 D．若（a4﹣b4）（a5﹣b5）＜0，则ab＜0
48.已知等比数列{an}的公比是q，首项a1＜0，前n项和为Sn，设a1，a4，a3﹣a1成等差数列，若Sk＜5Sk﹣4，则正整数k的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．14 D．15
49.设{an}是等差数列，Sn为其前n项和．若正整数i，j，k，l满足i+l=j+k（i≤j≤k≤l），则（ ）
A．aial≤ajak B．aial≥ajak C．SiSl＜SjSk D．SiSl≥SjSk
50.已知公差为d的等差数列{an}前n项和为Sn，若有确定正整数n0，对任意正整数m， •＜0恒成立，则下列说法错误的是（ ）
A．a1•d＜0 B．|Sn|有最小值
C．•＞0 D．•＞0
试卷答案
1.D
2.D
3.D
4.C
5.D
6.C
7.C
8.D
9.B
10.
D
由已知条件得到， ，
，左右两侧累加得到 正好是数列
的前40项的和，消去一些项，计算得到。
故答案为D。
11.
C
所以，选C.
12.D
13.A
14.C
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
由此可得：
，故选C．
15.C
【分析】据题意，良马走的路程可以看成一个首项a1=193，公差d1=13的等差数列，记其前n项和为Sn，驽马走的路程可以看成一个首项b1=97，公差为d2
=﹣0.5的等差数列，记其前n项和为Tn，由等差数列的通项公式以及其前n项和公式分析三个说法的正误，即可得答案．
【解答】解：根据题意，良马走的路程可以看成一个首项a1=193，公差d1=13的等差数列，记其前n项和为Sn，
驽马走的路程可以看成一个首项b1=97，公差为d2=﹣0.5的等差数列，记其前n项和为Tn，
依次分析3个说法：
对于①、b9=b1+（9﹣1）×d2=93，故①正确；
对于②、S4=4a1+×d1=4×193+6×13=850；故②错；
对于；③S5=5a1+10×d1 =5×193+10×13=1095，T5=5b1+10d2=580，行驶5天后，良马和驽马相距615里，正确；
故选：C
16.
A
若n为偶数，则，，，所以这样的偶数不存在
若n为奇数，则
Sn
若，则当时成立
若，则当不成立
故选A
17.B
∵，
∴，
得，即，∴.
若，则，
，矛盾.
∴，则，.
∴，.
18.
A
由，可得：，构造函数，显然函数是奇函数且为增函数，所以，，又所以所以，故
19.D
取m＝1得，，即，从而
即，求得
，故选D.
20.
C
由题意得，
∴当时，，
又 ，
故当时，，
∴当时，．
∴．选C．
21.
B
由，得，数列是从第二项起的等比数列，公比为4，利用即可得解.
详解：由，可得.
两式相减可得：.
即.
数列是从第二项起的等比数列，公比为4，
又所以.
所以.
故选B.
22.D
分析：由，都有，再根据等差数列的性质即可判断.
详解：由，都有，
，
，
故选：D.
23.C
设这4个数为，且，于是，整理得，由题意上述方程有实数解且．如，则，而当时，或6，当时，，，，此时，其公比，不满足条件，所以， 又，综上得且．
24.A
25.B
26.
B
对于A，当公比为时，,,,∴，，不是等比数列；
对于B，若为等差数列，是的前项和，则，，是等差数列；
对于C，若为常数列 ，，显然1+102+3，
对于D，当q=0时，显然数列不为等比数列
故选：B
27.B
28.D
29.C
30.C
依题意得：，∴，故可得，∴，
，再由裂项求和法，可得，故应选C．
31.D
32.B
33.C
【分析】推导出an=Sn﹣Sn﹣1=Sn﹣1+n﹣2，n≥2，从而an+1=Sn+n﹣1，进而an+1+1=2（an+1），由此得到{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，从而能求出结果．
【解答】解：∵Sn为数列{an}的前n项和，a1=1，Sn=2Sn﹣1+n﹣2（n≥2），
∴an=Sn﹣Sn﹣1=Sn﹣1+n﹣2，n≥2，①
∴an+1=Sn+n﹣1，②
②﹣①，得：an+1﹣an=an+1，
∴an+1=2an+1，∴an+1+1=2（an+1），
∴，又a1+1=2，
∴{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，∴，
∴．
故选：C．
34.A
【分析】利用新定义，求得数列{an}的第1008项为1，再利用a1＞1，q＞0，即可求得结论．
【解答】解：由题意，a2017=a1a2…a2017，
∴a1a2…a2016=1，
∴a1a2016=a2a2015=a3a2014=…=a1007a1010=a1008a1009=1，
∵a1＞1，q＞0，
∴a1008＞1，0＜a1009＜1，
∴前n项积最大时n的值为1008．
故选：A．
35.
B
设各项为正数的等比数列的公比为
∵与的等比中项为4
∴
∴
∴
当且仅当，即时取等号，此时
故选A
36.D
试题分析：因为，所以，设，因为
，所以，所以，所以，所以，又，所以数列表示首项为，公比为的等比数列，所以，故选D．
37.A
38.D
39.A
40.C
【分析】奇数项：a2k+1=1+（﹣1）2k﹣1+a2k﹣1=a2k﹣1，偶数项：a2k+2=1+（﹣1）2k+a2k=2+a2k，所以奇数项相等，偶数项为等差数列，公差为2，由此能求出S奇数项：a2k+1=1+（﹣1）2k﹣1+a2k﹣1=a2k﹣1，故能求出S100．
【解答】解：奇数项：a2k+1=1+（﹣1）2k﹣1+a2k﹣1=a2k﹣1，
偶数项：a2k+2=1+（﹣1）2k+a2k=2+a2k
所以奇数项相等，偶数项为等差数列，公差为2
a100=a2+49×2=100，
S100=50×a1+50×（a1+a100）×
=50+50（2+100）×=2600．
故选：C．
41.C
解：根据集合的形式，可以把，，，看做四位二进制数，四位二进制共可以表示0至15，
∵，
∴可表示8至15的数字，由等差数列求和可得．
故选．
42.A
由，
，
∴，
∴或，
而时，
不对恒成立，
选．
43.A
①数列0，2，4，6，，，
两数中都是该数列中项，
，①正确，
若有性质，去中最大项，
与至少一个为中一项，不是，
又由，
则是，，②正确，
③，，有性质，，
，，至少有一个为中一项，
．是项，，
∴，则，不是中项，
∴∴．
．为中一项，则或或，
①若同；
②若，则与不符；
③，．
综上，③正确，
选．
44.D
【考点】等差数列的性质．
【分析】证明bn是等差数列．求出公差，然后依次对个选项判断即可
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，．
bn==．
bn﹣bn﹣1═﹣=（常数）．
故得bn的公差为，∴A，B不对．
数列{an+bn}是等差数列，{an+bn}的公差为d+=，∴C不对．
数列{an﹣bn}是等差数列，{an﹣bn}的公差为d﹣=，∴D对．
故选D
45.
C
，，，，，，故选C.
46.B
47.
D
【分析】利用a3=b3=a，a6=b6=b，求出公差、公比，利用数列的通项和三元均值不等式，通过取特殊值，即可得出结论．
【解答】解：设数列{an}，{bn}的公差、公比分别是d，q，则
∵a3=b3=a，a6=b6=b，
∴a+3d=b，aq3=b，
∴d=，q=，
即有a4﹣b4=a+d﹣aq=﹣a•，
a5﹣b5=a+2d﹣aq2=﹣a•，
当a，b＞0时，有＞••，即a4＞b4，
若a，b＜0，则a4＜b4，
当a，b＞0时，有＞••，即a5＞b5，
若a，b＜0，则a5＜b5，
当ab＜0时，可取a=8，b=﹣1，
计算a4=5，b4=﹣4，a5=2，b5=2，
即有a4＞b4，a5=b5，
故A，B，C均错，D正确．
故选D．
48.
A
【分析】运用等差数列的中项的性质，结合等比数列的定义，可得公比，再由等比数列的求和公式，以及不等式的解法，即可得到所求最大值．
【解答】解：若a1，a4，a3﹣a1成等差数列，
可得2a4=a1+a3﹣a1=a3，
即有公比q==，
由Sk＜5Sk﹣4，可得＜5•，
由a1＜0，化简可得1﹣＞5﹣，
即为2k＜，可得正整数k的最大值为k为4．
故选：A．
49.
A
【分析】根据题意，i、j、k、l不妨取1、2、3、4，利用作差法判定a1•a4与a2•a3以及S1•S4﹣S2•S3的大小，即可得出结论．
【解答】解：根据题意，i、j、k、l不妨取1、2、3、4，
则a1•a4﹣a2•a3=a1•（a1+3d）﹣（a1+d）（a1+2d）=﹣2d2≤0，
所以a1a4≤a2a3；
又S1•S4﹣S2•S3=a1（4a1+6d）﹣（2a1+d）（3a1+3d）
=﹣2a12﹣3a1d﹣3d2=﹣2（a1+d）2﹣d2≤0，
所以S1•S4≤S2•S3；
即A正确，C不正确．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式应用问题，考查运算能力和判断能力，属于中档题．
50.C
【考点】等差数列的性质．
【分析】利用已知及其等差数列的单调性通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：∵公差为d的等差数列{an}，有确定正整数n0，对任意正整数m， •＜0恒成立，
∴a1与d异号，即a1•d＜0，|Sn|有最小值， •＜0， •＞0．
因此C不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的单调性通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
