2010高考复习数学亮点试题解析几何部分

2010高考复习数学亮点试题解析几何部分

‎2010高考复习数学亮点试题（解析几何部分）‎ 李春龙（江苏省扬州市第一中学）‎ ‎【题目】1. 如图，直角坐标系中，一直角三角形，，、在轴上且关于原点对称，在边上，，三角形ABC的周长为12．若一双曲线以、为焦点，且经过、两点．‎ ‎(1) 求双曲线的方程；‎ ‎(2) 若一过点（为非零常数）的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且，问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析提示】(1) 设双曲线的方程为，则．‎ 由，得，即．‎ ‎∴ 解之得，∴．‎ ‎∴双曲线的方程为． ‎ ‎(2) 设在轴上存在定点，使．‎ 设直线的方程为，．‎ 由，得．即 ① ‎ ‎∵，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ 即． ② ‎ 把①代入②，得 ③ ‎ 把代入并整理得 其中且，即且．‎ ‎ ．代入③，得 ，‎ 化简得 ．‎ 当时，上式恒成立．‎ 因此，在轴上存在定点，使． ‎ ‎【亮点、新颖原因】本题是一道典型的解析几何综合题，能够强化学生对双曲线有关知识的理解，本题主要训练学生对平面向量的概念和有关垂直性质的应用；双曲线的定义、标准方程和有关性质等基础知识的认识，训练存在性问题的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力. ‎ ‎【题目】2. 已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 ‎ （Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；‎ ‎ （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；‎ ‎ （Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，‎ ‎ 使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2‎ ‎ 的正切值；若不存在，请说明理由. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为 由P在椭圆上，得 由，所以 ‎ 证法二：设点P的坐标为记 则 由 证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为 ‎ 由椭圆第二定义得，即 ‎ 由，所以 ‎（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为 ‎ ‎ 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.‎ 当|时，由，得.‎ 又，所以T为线段F2Q的中点.‎ 在△QF‎1F2中，，所以有 综上所述，点T的轨迹C的方程是 解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.‎ ‎ 当|时，由，得.‎ ‎ 又，所以T为线段F2Q的中点. ‎ ‎ 设点Q的坐标为（），则 因此 ①‎ ‎ 由得 ② 将①代入②，可得 ‎ 综上所述，点T的轨迹C的方程是 ‎③‎ ‎④‎ ‎ （Ⅲ）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是 ‎ ‎ ‎ 由③得，由④得 所以，当时，存在点M，使S=；‎ ‎ 当时，不存在满足条件的点M.‎ ‎ 当时，，‎ ‎ 由，‎ ‎ ，‎ ‎ ，得 解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是 ‎③‎ ‎④‎ ‎ ‎ ‎ 由④得 上式代入③得 ‎ 于是，当时，存在点M，使S=；‎ ‎ 当时，不存在满足条件的点M ‎ 当时，记，‎ ‎ 由知，所以 ‎【亮点、新颖原因】‎ 本题是一道典型的解析几何综合题，能够强化学生对椭圆有关知识的理解，本题主要训练学生对平面向量的概念，椭圆的定义、标准方程和有关性质等基础知识的认识，训练轨迹方程的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.‎ ‎【题目】3. 如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.‎ ‎（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围.‎ ‎【解析提示】：（Ⅰ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x1≠0，y1>0，y2>0.‎ 由y=x2， ① 得y＇=x. ∴过点P的切线的斜率k切= x1，‎ ‎∴直线l的斜率kl=－= -，∴直线l的方程为y－x12=－ (x－x1)，②‎ 方法一：联立①②消去y并整理，得x2+x－x12－2=0.‎ ‎∵M是PQ的中点 ‎ x0== -，‎ ‎∴ y0=x12－(x0－x1). 消去x1，得y0=x02++1(x0≠0)，‎ ‎∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0). ‎ 方法二：‎ 由y1=x12，y2=x22，x0=，‎ 得y1－y2=x12－x22=(x1+x2)(x1－x2)=x0(x1－x2)，‎ 则x0==kl=-，∴x1=－，‎ 将上式代入②并整理，得y0=x02++1(x0≠0)，‎ ‎∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).‎ ‎（Ⅱ）设直线l:y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b).‎ 分别过P、Q作PP＇⊥x轴，QQ＇⊥y轴，垂足分别为P＇、Q＇，则 ‎.‎ ‎ y=x2‎ 由 y=kx+b 消去x，得y2－2(k2+b)y+b2=0. ③ ‎ ‎ 则 y1+y2=2(k2+b)， y1y2=b2. ‎ 方法一：‎ ‎∴|b|()≥2|b|=2|b|=2.‎ ‎∵y1、y2可取一切不相等的正数，‎ ‎∴的取值范围是（2，+）.‎ 方法二：‎ ‎∴=|b|=|b|.‎ 当b>0时，=b==+2>2；‎ 当b<0时，=－b=.‎ 又由方程③有两个相异实根，得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0，‎ 于是k2+2b>0，即k2>－2b.‎ 所以>=2.‎ ‎∵当b>0时，可取一切正数，‎ ‎∴的取值范围是（2，+）.‎ 方法三：‎ 由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP， 即=.‎ 则x1y2－bx1=x2y1－bx2，即b(x2－x1)=(x2y1－x1y2).‎ 于是b==－x1x2. ‎ ‎∴===+≥2.‎ ‎∵可取一切不等于1的正数，‎ ‎∴的取值范围是（2，+）.‎ ‎【亮点、新颖原因】本题是一道典型的解析几何综合题，能够强化学生对抛物线有关知识的理解，也能够训练学生对二直线垂直时斜率的关系、不等式、导数的几何意义之一是过某点切线的斜率等基础知识的认识，训练学生求轨迹方程的基本方法，平面解析几何的基本思想和综合解题能力以及一题多解。‎ ‎ ‎