中考数学专题复习练习：轴对称与轴对称图形

中考数学专题复习练习：轴对称与轴对称图形

典型例题一 例01．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）‎ ‎（A）有两个角相等的三角形 ‎（B）有一个内角是的直角三角形 ‎（C）有一个内角是，另一个内角为的三角形 ‎（D）有一个角是的直角三角形 分析：在（A）中，有两个角相等的三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形一定是轴对称图形，它的对称轴为底边上的高（或底边上的中线或顶角的平分线）. 而（B）和（C）中的两个三角形同样也是等腰三角形，所以也是轴对称图形. 那么（D）中三角形的三个内角各不相等，不是等腰三角形，所以（D）不是轴对称图形. ‎ 解答：选（D）‎ 说明：在三角形中，只有等腰三角形才是轴对称图形，而不是等腰三角形的三角形就一定不是轴对称图形. ‎ 典型例题二 例02．已知：直线MN，同侧两点A、B（如图）‎ 求作：点P，使P在MN上，并且最小. ‎ 作法 1．作点A关于直线MN的对称点. ‎ ‎2．连结交MN于P 点P就是所求作的点. ‎ ‎ 说明 这类问题经常遇到，可以和生活中的问题结合衍生出许多应用问题，但本质都是这道题.‎ 典型例题三 例03．在图（a）中，分别作出点P关于OA、OB的对称点，，连结交OA于M，交OB于N，若，则的周长为多少？‎ 作法：略.‎ 解答：如图（b）所示，‎ ‎∵，P关于OA对称，‎ ‎∴‎ 同理可得. ‎ ‎∴的周长 ‎∴的周长为. ‎ ‎ 说明 准确作图是关键.‎ 典型例题四 例04．已知：（如图）四边形ABCD和过点D的直线MN，‎ 求作：四边形，使四边形与四边形ABCD关于MN对称. ‎ 作法 1．作，垂足为E；延长BE到，使，得到点B的对称点. ‎ ‎2．同法作点A和点C的对称点. ‎ ‎3．因为D在对称轴MN上，所以点D的对称点重合. ‎ ‎4．连结、、. ‎ 四边形即为所求. ‎ ‎ 说明 关键是掌握概念和基本作图.‎ 典型例题五 例05．有一条小河（如图所示），两岸有A、B 两地，要设计道路并在河上垂直于河岸架一座桥，用来连接A、B间路线怎样走，桥应架在何处，才能使A到B的距离最短. ‎ 分析：桥梁无论架在何处均垂直于河岸，因此桥梁的长度是定值，决定路程长度的关键是选取建桥点的位置，相对应地在河岸A地同测取一点，使B与河岸距离等于与河岸到桥头的距离之和，于是，这个总是转化为“直线同侧有两点A、，欲在直线上求一点，使这一点与A、距离之和最短. ‎ 已知：如图，河岸AB两地 求作：线段CD，使CD与、均互相垂直，并且最小. ‎ 作法：（1）作，与、分别交点、E，并且 ‎（2）在上取一点使（或者找到点关于的对称点）‎ ‎（3）连结，与交于C点，作，与交于D点，CD即为所求作的线段. ‎ 典型例题六 例06．如图所示，P是平分线AD上一点，P与A不重合，. ‎ 求证：‎ 分析：用对称法. 可利用轴对称图形的知识找出点B关于直线AD的对称点，因AD为的平分线，故在AC上，连结，从而构造与两个轴对称图形，再利用三角形两边之差小于第三边来证明. ‎ 证明：作点B关于直线AD的对称点，连结. ‎ ‎∵AD是的平分线，‎ ‎∴点在AC上（是以角平分线AD所在直线为对称轴的轴对称图形），‎ 又∵AP在对称轴AD上，‎ ‎∴，‎ 在中，‎ ‎∵，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎∴. ‎ 说明：和就是利用角平分线AD构造出的轴对称图形，这种方法对于证明有关线段的不等关系非常方便、有效. ‎ 典型例题七 例07．如图，E、F是的边AB、AC上的点，在BC上求一点M，使的周长最小. ‎ 分析 因为E、F是定点，所以EF是定值. 要使△EMF的周长最小，只要最小.‎ 解答 （1）作点F关于直线BC的对称点. ‎ ‎（2）连结交BC于M，点M就是所求. ‎ 说明 这类问题在日常生活中经常可以遇到. ‎ 典型例题八 例08．如图，过C作的平分线AD的垂线，垂足为D，作交AC于E. ‎ 求证：. ‎ 分析 由已知条件容易得到，从而. 要证明，只须证明，联想到AD是角平分线又是垂线，若延长CD交AB的延长线于P，则C、P关于直线AD对称，于是问题可以解决. ‎ 解答 延长CD交AB的延长线于P. ‎ 在和中，‎ ‎∴（角边角）‎ 故. ‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ 则 ‎∵，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵（等边对等角），‎ ‎∴.‎ 说明 全等三角形是证明角或线段相等的一种方法，但不是惟一方法，不要一证线段相等就找全等三角形. 等腰三角形的判定定理及其推论，中垂线的性质，都是证线段相等的重要途径. ‎ 典型例题九 例09．如图，AD是中的平分线，且. ‎ 求证：. ‎ 分析 由于AD是的平分线，所以可以以AD为轴构造轴对称图形，即把沿AD翻折，这样，就可以在中解决问题. ‎ 证明 在AB上截取AE，使，连结DE. ‎ ‎∵AD是的平分线，‎ ‎∴，‎ 在和中，‎ ‎∴（边角边），‎ ‎∴，‎ ‎∴（全等三角形对应边对应角相等），‎ ‎∵，（内角和定理的推论），‎ ‎∴（大角对大边），‎ ‎∴. ‎ 说明 本题中的的就是利用角平分线构造出来的轴对称图形. 本题还有其他构造轴对称图形的方法，比如把沿AD翻折，也可证明结论. ‎ 选择题 ‎1．选择题 ‎（1）在下列命题中：‎ ‎①两个全等三角形是轴对称图形 ‎②两个关于直线对称的图形是全等形 ‎③等边三角形是轴对称图形 ‎④线段有三条对称轴 正确命题的个数是（）‎ ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎（2）下列图形是一定轴对称图形的是（）‎ ‎（A）任意三角形 （B）有一个角等于的三角形 ‎（C）等腰三角形 （D）直角三角形 ‎（3）P为内一点，且，则P点是（）‎ ‎（A）三条中线的交点 （B）三条高的交点 ‎（C）三个角的平分线的交点 （D）三边垂直平分线的交点 ‎（4）已知：D为的边BC的中点，且，下面各结论不正确的是（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C）AD是的平分线 （D）是等边三角形 ‎（5）正五角星的对称轴有（）‎ ‎（A）1条 （B）2条 （C）5条 （D）10条 ‎（6）等边三角形的对称轴共有（）‎ ‎（A）1条 （B）3条 （C）6条 （D）无数条 ‎（7）下列四个图形①等腰三角形 ②等边三角形 ③等腰直角三角形 ④直角三角形中，一定是轴对称图形的有（）‎ ‎（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 ‎（8）下列图形中，不一定是轴对称图形的是（）‎ ‎（A）线段 （B）角 （C）三角形 （D）等腰直角三角形 参考答案：‎ ‎ 1．选择题 ‎（1）B （2）C （3）D （4）D （5）C （6）B （7）C （8）C 填空题 ‎1．填空题 ‎（1）等边三角形的对称轴有______条. ‎ ‎（2）如果沿着一条直线折叠，两个点能互相重合，那么这两个点叫做_______. ‎ ‎（3）把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形_______. ‎ ‎（4）如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做_______. ‎ 参考答案 ‎1．填空题 ‎（1）3 （2）对称点 （3）轴对称 （4）轴对称图形 解答题 ‎1．如图，已知线段AB及直线MN，求作线段AB关于MN的对称图形. ‎ ‎2．如图，已知及直线EF，求作关于EF的对称图形. ‎ ‎3．如图，已知折线ABC及直线PQ，求作折线ABC关于直线PQ的对称图形. ‎ ‎4．如图，已知，分别以OM，ON为对称轴作三角形与它对称. ‎ ‎5．在中，，，垂足为H，点B关于AH的对称点是. 求证：. ‎ ‎6．如图，已知：在直线MN的同侧有两点A和B. ‎ 求作：MN上一点，使. ‎ ‎7．如图，EFGH是一个矩形的台球台面，有黑白两球分别位于A，B两点位置上，试问：怎样撞击黑球A，求能使A先碰撞台边EF反弹后两击中白球B？‎ 参考答案 ‎1．略 2．略 3．略 4．略 ‎5．‎ 证明：连结，则易证， ‎ ‎∵，∴，即. ‎ ‎6．作法：作点A关于MN的对称点，连结，与MN的交点为C，则点C就是所要求作的点. 证明：略. ‎ ‎7．作点A关于EF的对称点，连结与EF的交点为C，则沿AC方向撞击黑球就可以满足要求. ‎