中考数学专题复习练习：圆的内接四边形

中考数学专题复习练习：圆的内接四边形

例 圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数的比是3﹕2﹕7，求四边形各内角度数．‎ 解：设∠A、∠B、∠C的度数分别为3x、2x、7x．‎ ‎ ∵ABCD是圆内接四边形．∴∠A +∠C=180°即3x+7x=180°，‎ ‎∴x=18°，‎ ‎∴∠A=3x=54°，∠B=2x=36°，∠C=7x=126°，‎ ‎ 又∵∠B+∠D=180°，‎ ‎∴∠D=180°一36°＝144°．‎ 说明：①巩固性质；②方程思想的应用．‎ 例 （2001厦门市，教材P101中17题）如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD与三角形ABC的外接圆相交于D．求证：DB=DC．‎ 分析：要证DB=DC，只要证∠BCD=∠CBD，充分利用条件和圆周角的定理以及圆内接四边形的性质，即可解决．‎ 证明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD =∠DAC，‎ ‎∵∠EAD为圆内接四边形ABCD的外角，∴∠BCD=∠EAD，‎ 又∠CBD=∠DAC，‎ ‎∴∠BCD=∠CBD，∴DB=DC．‎ 说明：角相等的灵活转换，利用圆内接四边形的性质作桥梁．‎ 例 如图，△ABC是等边三角形，D是上任一点，求证：DB+DC=DA．‎ 分析：要证明一条线段等于两条线段的和，往往可以“截长”和“补短”法，本题两种方法都可以证明．‎ 证明： 延长DB至点E，使BE=DC，连AE．‎ ‎ 在△AEB和△ADC中，BE=DC．‎ ‎ △ABC是等边三角形．∴AB=AC．‎ ‎ ∵ 四边形ABDC是⊙O的内接四边形，‎ ‎ ∴∠ABE=∠ACD．‎ ‎ ∴△AEB≌△ADC．‎ ‎ ∴∠AEB=∠ADC=∠ABC．‎ ‎ ∵∠ADE=∠ACB，‎ ‎ 又 ∵∠ABC=∠ACB＝60°，‎ ‎ ∴∠AEB=∠ADE=60°． ‎ ‎ ∴△AED是等边三角形，∴AD=DE=DB+BE．‎ ‎ ∵BE=DC，∴DB+DC=DA．‎ 说明：本例利用“截长”和“补短”法证明．培养学生“角相等的灵活转换”能力．在圆中，圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系，应重视．‎ 典型例题四 例 如图，ABCD是⊙O的内接四边形，，如果，那么（ ）‎ A．90° B．120° C．135° D．150°‎ 解：‎ ‎，‎ 由圆内接四边形的对角和是180°，得，故选B.‎ 说明：“圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.”这个定理很重要，要正确运用.‎ 典型例题五 例 如图，已知：⊙与⊙相交于点A、B，P是⊙上任意一点，PA、PB的延长线交⊙于点C、D，⊙的直径PE的延长线交CD于点M.‎ 求证：.‎ 分析：要证，即证，连结公共弦AB及EB，即得证.‎ 证明：连结AB、EB，在⊙中，.‎ ‎∵ABCD为⊙的内接四边形.‎ ‎∵PE为⊙的直径.‎ 即.‎ 说明：连接AB就构造出圆内接四边形性质定理的基本图形.‎ 典型例题六 例 如图，AD是外角的平分线，AD与外接⊙O交于点D，N为BC延长线上一点，且交⊙O于点M.‎ 求证：（1）；‎ ‎（2）‎ 分析：（1）由于DB与DC是同一三角形的两边，要证二者相等就应先证明它们的对角相等，这可由圆周角定理与圆内接四边形的基本性质得到：（2）欲证乘积式，只须证比例式，也即，这只须要证明∽即可.‎ 证明 （1）连结DC.‎ ‎∵AD平分，‎ ‎∴‎ 又ABCD内接于⊙O，‎ ‎∴‎ 故 ‎（2）‎ ‎∴∽，故.‎ ‎∴‎ 说明：本题重在考查圆周角与圆内接四边形的基本性质和利用相似三角形证明比例线段的基本思维方法.本题曾是1996年南昌市中考试题.‎ 典型例题七 例 如图，已知四边形是圆内接四边形，是⊙的直径，且，与的延长线相交于求证：.‎ 证明　连结.∵ .‎ ‎∴ .∴ .‎ ‎∵ 四边形是圆内接四边形，‎ ‎∴ ∴ .‎ ‎∴ ∽.∴.‎ 说明：本题考查圆内接四边形性质的应用，解题关键是辅助线构造，再证∽.易错点是不易想到证而使解题陷入困境或出现错误.‎ 典型例题八 例 如图，已知四边形ABCD内接于半圆O，AB是直径，，分别延长BA，CD交于点E，，交EC的延长线于F，若，求CF的长.‎ 解 连结OD，BD.∵，‎ 的度数.‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ 内接于⊙O，∴‎ 又 公用，∴∽. ∴.‎ 设，则有.‎ ‎∴. ∴.‎ 为⊙O的直径，∴‎ 又 ∴Rt∽Rt ‎∴即 ∴‎ 说明 本题主要考查圆内接四边形的性质，解题关键是作出辅助线.‎ 典型例题九 例 （海南省，2000） 如图，AB是⊙O的直径，弦（非直径），P是⊙O上不同于的任一点.（1）当点P在劣弧CD上运动时，与的关系如何？请证明你的结论；（2）当点P在优弧CD上运动时，与的关系如何？请证明你的结论（不要讨论P点与A点重合的情形）‎ 分析：利用在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理来解决.‎ 解 ∵弦，AB是直径，∴‎ ‎∴（1）‎ ‎（2）‎ ‎（如图中虚线所示）.‎ 选择题 ‎1．在圆的内接四边形ABCD中，和它的对角的度数的比为1：2，那么为（ ）‎ A．30° B．60° C．90° C．120°‎ ‎2．四边形ABCD内接于圆，、、、的度数依次可以是（ ）‎ A．1：2：3：4 B．6：7：8：9 C．4：1：3：2 D．14：3：1：12‎ ‎3.四边形内接于圆，、、、的度数比依次可以是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.如图，四边形内接于⊙，，那么的度数为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎5. 如图，⊙与⊙交于、两点，且⊙过⊙的圆心，若，则等于（）‎ A． B． C． D．‎ ‎6. 圆内接平行四边形一定是（ ）‎ ‎（A）矩形 （B）正方形 （C）菱形 （D）梯形 ‎7．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC一定是（ ）‎ A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 ‎8、四边形ABCD内接于圆，则∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可以是 ( )‎ ‎（A）1﹕2﹕3﹕4 （B）7﹕5﹕10﹕8‎ ‎（C）13﹕1﹕5﹕17 （D）1﹕3﹕2﹕4‎ ‎9、若ABCD为圆内接四边形，AE⊥CD于E，∠ABC=130°，则∠DAE为（ ）‎ ‎（A）50° （B）40° （C）30° （D）20°‎ ‎10、如图，圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线相交于P，对角线AC和BD相交于点Q，则图中共有相似的三角形 ( )‎ ‎ （A）4对 （B）3对 ‎ （C）2对 （D）1对 ‎11．如图，在，AD是高，的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：（1）；（2）；（3）；（4）.其中正确的结论的个数是（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎12．已知：如图，劣弧，那么的度数是（ ）‎ A．320° B．160° C．150° D．200°‎ ‎13．钝角三角形的外心在（ ）‎ A．三角形内 B．三角形外 C．三角形的边上 D．上述三种情况都有可能 ‎14．圆内接平行四边形的对角线（ ）‎ A．互相垂直 B．互相垂直平分 C．相等 D．相等且平分每组对角 ‎15．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且，下列命题错误的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．图中全等的三角形共有2对 答案：‎ ‎1．B 2．D 3.C 4. A 5. D 6、A；7．A 8、C； 9、B； 10、A. 11．B 12．B 13．B 14．D 15．D. ‎ 填空题 ‎1. 已知ABCD是圆内接四边形，若∠A与∠C的度数之比是1﹕2，则∠A的度数是 度．‎ ‎2. 若A，B，C，D四点共圆，且∠ACD为36°，则所对的圆心角的度数是 度．‎ ‎3. 圆内接四边形相邻三个内角的比是2﹕1﹕7，则这个四边形的最大角的度数为 度．‎ ‎4. 圆上四点、、、，分圆周为四段弧，且=，则圆内接四边形的最大角是_________‎ ‎5. 圆内接四边形中，若是相邻的一个外角，且，，则，，若，则，‎ ‎6. 四边形内接于圆，、的度数之比是，比大，则，‎ ‎7. 圆内接梯形是________梯形，圆内接平行四边形是_________‎ ‎8．圆内接四边形ABCD中，如果，那么度.‎ ‎9．在圆内接四边形ABCD中，，则.‎ ‎10．如图，在圆内接四边形ABCD中，，则四边形ABCD的面积为________.‎ ‎11．如图，把正三角形ABC的外接圆对折，使点A落在的中点，若，则折痕在内的部分DE长为_______.‎ 答案：‎ ‎1. 60°； 2. 72°； 3.160°;4. 5. ，，，;6. ， 7. 等腰，矩形.8．90 9．120° 10． 11．.‎ 判断题 ‎1. 顶点在圆上的角叫做圆周角；（）‎ ‎2. 相等的圆周角所对的弧相等；（）‎ ‎3. 直角所对的弦是直径；（）‎ ‎4. 在圆中，同一弦上的两个圆周角相等或互补；（）‎ ‎5. 弓形含的圆周角为，则弓形弧也为；（）‎ ‎6. 四边形的对角互补.（）‎ 答案:‎ ‎1. × 2. × 3. × 4. √ 5. × 6. ×.‎ 解答题 ‎1、如图，已知：ABCD为圆内接四边形，（1）若DB∥CE，求证：AD﹕BC=CD﹕BE；（2）若AD﹕BC=CD﹕BE，求证：DB∥CE ．‎ ‎2、已知：⊙O中，直径AB垂直弦CD于H，E是CD延长线上一点，AE交⊙O于F．求证：∠AFC=∠DFE．‎ ‎3．如图，已知四边形内接于圆，、的延长线相交于，且，求证：‎ ‎4．如图，点、在⊙上，以点为圆心的⊙交⊙于、两点，交⊙于点，交于点，求证：‎ ‎5．已知圆内接四边形，中，，求最小的角。‎ ‎6．如图，在中，，平分交于，的外接圆交于.求证：‎ ‎7．如图，是圆内接正三角形，P为劣弧上一点，已知.（1）求证：；（2）求PB、PC的长（）.‎ ‎8．如图，已知：菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，⊙是的外接圆，E是⊙上的一点，连结AE并延长与BD的延长线相交于点F.求证：.‎ ‎9．如图，BC是⊙O的直径，，垂足为D，，BF交AD于点E.‎ ‎（1）求证；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎10．已知：如图，在圆内接四边形ABCD中，，AB的延长线交DC延长线于点E，过A作AB的垂线交圆于点F，交CD延长线于点G.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）设的长分别为a、b求CE的长.‎ 答案：‎ ‎1. 提示：连结AC，证明△ADC∽△CBE即可； 2. （略）‎ ‎3．提示：证∽‎ ‎4．提示：连证∽，得，又，‎ ‎5． ‎ ‎6．提示：连结证，再证 ‎7．（1）延长CP到M，使.连结BM，证；（2）‎ ‎8．连结BE.∽得.由勾股定理可得 ‎9．（1）连结AB、AC，证；（3）‎ ‎10．（1）连结CF，证四边形ABCF为矩形；（2）∽；（3）‎ ‎1. 如下图，四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC＝100°，则∠B＝ ，∠D＝ .‎ ‎2、如下图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=CD=5，AC=7，BE=3，下列命题错误的是 ‎ A、△AED∽△BEC B、∠AEB=90º C、∠BDA=45º D、图中全等的三角形共有2对.‎ A D O E B C ‎3. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E在BC延长线上，若，则等于（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．如图，已知⊙O中∠AOB度数为100°，Ｃ是圆周上的一点，则∠ACB的度数为 （A） ‎130°‎ （B） ‎100°‎ （C） ‎80° O ‎ （D） ‎50° A B 参考答案: 1. 、 2. D 3. B 4. A.‎