中考数学专题复习练习：立方根

中考数学专题复习练习：立方根

典型例题一 例01 判断正误 ‎1．8的立方根是 ‎2．0.27的立方根是0.3．‎ ‎3．-4是64的立方根．‎ ‎4．-125的立方根是-5．‎ ‎5．-2是-4的平方根．‎ ‎6．表示a的平方根．‎ ‎7．．‎ ‎8．．‎ ‎9．-0.5是-0.125的立方根．‎ ‎10．‎ 解：1．∵8只有一个立方根2，∴本题结论是错误的．‎ ‎2．∵，∴本题的结论是错误的．‎ ‎3．∵ ，∴-4是-64的立方根，故本题结论是错误的．‎ ‎4．∵ ，∴ 本题结论正确．‎ ‎5．∵ 负数没有平方根，∴ 本题结论是错误的．‎ ‎6．∵ 只表示a的算术平方根，∴本题的结论也是错误的．‎ ‎7．∵ ，∴ 本题结论也是错误的．‎ ‎8．∵ 9是81的算术平方根，不是81的立方根，∴ 本题的结论是错误的．‎ ‎9．∵ ，本题结论正确．‎ ‎10．∵ ，∴本题结论正确．‎ 说明： ①命题目的：这组判断很好，它从各个侧面考查学生掌握立方根与平方根的概念．‎ ‎②解题关键：对概念的灵活运用．‎ ‎③错解剖析：如认为是正确的，产生这种原因的主要问题在于对的意义理解不透．‎ 典型例题二 例02．阅读下面语句：‎ ‎①的次方（k是整数）的立方根是．‎ ‎②如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数或者是1，或者是0．‎ ‎③如果，那么a的立方根的符号与a的符号相同．‎ ‎④一个正数的算术平方根以及它的立方根都小于原来的数．‎ ‎⑤两个互为相反数的数开立方所得的结果仍然互为相反数．‎ 在上面语句中，正确的有（ ）‎ A．1句 B．2句 C．3句 D．4句 分析：当时，，而当时，，可见①不正确；，这说明一个数的立方根等于它本身时，这个数有可能行装于，所以②不正确；当时，是正数，当时，是负数，所以③是正确的；，这个例子足以说明一个正数的算术平方根未必小于原来的数，的情况与此相同；课本中写到：“如果，那么”，这个关系式对 时也是正确的，只不过相当于等式两边调换了位置，所以⑤是正确的．‎ 解答 B 说明 考查立方根的定义及性质．‎ 典型例题三 例03．设，则，，分别等于（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 分析 ，‎ ‎∵ ∴ ．‎ ‎∵ ，∴．‎ ‎∵，，∴．‎ 解答 C 说明 考查平方根、立方根的求法．‎ 典型例题四 例04 有下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1和0．‎ 其中错误的是 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④‎ 分析 一个正数的立方根是一个正数，一个负数的立方根是一个负数；0的立方根是0．立方根等于本身的数有0，1和．所以①、②、④都是错的，只有③正确．‎ 解答 B 说明 立方根性质与平方根性质既有联系又有区别，不能混淆．‎ 典型例题五 例05．下列语句正确的是（ ）‎ A．的立方根是2 B．-3是27的负立方根 C．的立方根是 D．的立方根是 分析 A中=8，它的立方根是2，对；B中27只有一个正的立方根，没有负的立方根，错；C中正数的立方根应只有一个，错；D中=1，它的立方根是1，而不是．‎ 解答 A 说明 注意立方根意义 典型例题六 例06．下列各式正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 分析 因表示25的算术平方根，即，表的算术平方根，即；.故只有B正确．‎ 解答 B 说明 成立，但．‎ 典型例题七 例07．下列语句对不对？为什么？‎ ‎（1）0.027的立方根是0.3．‎ ‎（2）不可能是负数．‎ ‎（3）如果a是b的立方根，那么．　‎ ‎（4）一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1．‎ 分析 立方根的定义是解题的基础，一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．因为开立方与立方互为逆运算，我们知道正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是零．也就是说，一个数的立方根是惟一的，这是与平方根的最主要的区别．从这些出发考虑问题，上述题不难解答．‎ 解答 （1）正确．因为，所以0.027的立方根是0.3．‎ ‎（2）不正确．当a是负数时，就有一个负的立方根，即就是负数．‎ ‎（3）正确．如果b是正数，它的立方根a也是正数；如果b是负数，它的立方根a也是负数；如果b是零，它的立方根是零，所以．‎ ‎（4）不正确．一个正数的平方根均有两个，而立方根只有一个，通常不可能相等．而平方根只有一个的数是0，0的立方根也恰是零．因此一个数的平方根与立方根相同，这个数只能是零．‎ 说明 立方根与平方根有相似之处，但也有区别，主要是：一个数的立方根是惟一的，而正数的平方根有两个，它们互为相反数，不注意这一点，往往容易出错．‎ 典型例题八 例08．求下列各式的值 ‎（1）  （2）‎ ‎（3） （4）‎ 分析 （1）根据立方根的性质，可以把负号由根号内移至根号外；（2）、（3）注意运算顺序，应先做减法；（4）不要将求出来，而应进行质因数分解，找出三次幂的形式．‎ 解答 （1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ 典型例题九 例09．求适合中的x．‎ 解答 两边开立方得 即，‎ ‎∴ ．‎ 说明 本例实质上是解关于x的三次方程，两边开立方是解这类方程的最基本的方法．‎ 典型例题十 例10．一种形状为正方体的玩具名为“魔方”，它是由三层完全相同的小正方体组成的，体积为216立方厘米，求组成它的每个小正方体的棱长．‎ 分析 立方体的体积等于棱长的立方，所以这是一个求立方根的问题．‎ 解答1：∵，∴，即这种玩具的棱长为6厘米，所以每个小正方体的棱长为（厘米）‎ 解答2：设小正方体的棱长为a厘米，则玩具的棱长为厘米，由题意得 ‎，∴，，（厘米）．‎ 解答3：设小正方体的棱长为a厘米．则玩具的棱长为厘米，由题意得，∴，∴（厘米）．‎ 典型例题十一 例11．已知，试比较与的大小关系．‎ 分析 当时，；当时，；当时，．‎ 因为，猜想当时， 与的大小关系与当时，与的大小关系有可能是不相同的，为此可以取特殊值进行验证．‎ 当时，；当时，，，由此猜想当时，；而当时，．‎ 当时，．比较两个正数的大小，可以计算它们的商或差，当它们的商大于1时，可以断定被除数大于除数；当它们的商小于1时，则可断定被除数小于除数．当两个正数的差大于0时，说明被减数大，当差小于0时，则说明被减数小于减数．‎ 设，则，且 看来，需要确定b，即与1的大小关系，因为在这两种情况下与1的大小关系是不一样的，这仍然要分和两种情况进行讨论．完成了这一步，证明上面猜想就不难了．‎ 证明：如果，则有．‎ 可见当或时，均有．‎ 假如，则有 所以，当时，．‎ 同理可证，当时，．‎ 设，则，且．‎ 根据上面证明，‎ 当时，，而当时，所以当时，．‎ 当时，，而当时，，所以当时，．‎ ‎∵，由立方根的定义知，当时，．‎ 说明 上面证明是有一定难度的，在较大的难度面前，灵活地选择了思考角度，充分发挥了逆向思维的优势，即从相反的方向加以论证．比如通过说当或 时均不可能有，而说明当时，．‎ 作为没给出明确结论的探索题，首先从特殊值入手，形成猜想，这是一种比较有普遍性的解决方法．‎ 典型例题十二 例12．下列说法对不对，为什么？‎ ‎（1）64的立方根是； （2）无意义；‎ ‎（3）的平方根是； （4）和相等；‎ ‎（5）的立方根是； （6）零的平方根、算术平方根、立方根都等于零．‎ 分析：立方根与平方根的性质有很大的区别，要特别注意两种方根的表示方法和叙述的不同.‎ 解答：（1）不对．∵正数有一个正的立方根．‎ ‎ ∴64的立方根是4，即；‎ ‎（2）不对．∵负数有一个负的立方根，‎ ‎ ∴有意义，且；‎ ‎（3）不对．∵一个正数有两个平方根，它们互为相反数，‎ ‎∴的平方根是；‎ ‎（4）对．∵，，‎ ‎ ∴．‎ 一般地：；‎ ‎（5）对．∵，∴的立方根是．‎ ‎（6）对．因为零的平方根、算术平方根、立方根都是零．‎ 典型例题十三 例13．求下列各数的立方根：‎ ‎（1）； （2）； （3）； （4）. ‎ 解答：（1）‎ 的立方根是. ‎ ‎（2）‎ 的立方根是. ‎ ‎（3）‎ 的立方根是. ‎ ‎（4）0的立方根还是0. ‎ 说明：立方根与平方根虽然都是开方运算，但与平方根不同，因为任何数都有立方根，而且唯一确定. ‎ 典型例题十四 例14．求下列各式的值：‎ ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）．‎ 分析：求立方根首先将根号下的数作一下整理，再进行求解. ‎ 解答：（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）．‎ 说明：注意计算过程中的利用立方根的性质进行符号转换.‎ 典型例题十五 例15．已知若求. ‎ 分析：利用已知条件与所求解简的关系找出联系.‎ 解答：‎ 典型例题十六 例16．求下列各式中的：‎ ‎（1） （2）；‎ ‎（3）； （4）．‎ 分析：将方程整理转为求立方根或平方根的问题. ‎ 解答：（1）∵，∴，‎ 即，∴，即；‎ ‎（2）∵，∴，即，∴；‎ ‎（3）∵，∴，∴，即；‎ ‎（4）∵，∴，∴，即．‎ 说明：求过程中注意立方根和平方根的区别，最终结果解个数的不同.‎ 填空题 ‎1．填空题 ‎（1）的立方根是_____________.‎ ‎（2）的立方根是________________.‎ ‎（3）是___________的立方根.‎ ‎（4）若的立方根是6，则_______.‎ ‎（5）0的立方根是______.‎ ‎（6）7的立方根是_______.‎ ‎（7）_______. ‎ ‎（8）________.‎ ‎2．填空题 ‎（1）的倒数为________.‎ ‎（2）49的算术平方根的立方根是________.‎ ‎（3）若，则 ‎（4）______.‎ ‎（5）________.‎ ‎（6）的绝对数为_______.‎ ‎（7）_______.‎ ‎（8）的立方根为_______.‎ ‎3．填空题 ‎（1）的立方根是_______.‎ ‎（2）是_____的立方根.‎ ‎（3）81的平方根的立方根是_______.‎ ‎（4）_______.‎ ‎（5）的立方根是______.‎ ‎（6）的立方根是________.‎ ‎（7）若，则_______.‎ ‎（8）已知，则_______.‎ 参考答案：‎ ‎1．（1） （2） （3）（4）216（5）0 （6） （7） （8）3‎ ‎2．（1） （2） （3）（4）60（5） （6）117 （7） （8）1‎ ‎3．（1） （2）－11（3）（4）15 （5） （6）（7）－4 （8）‎ 选择题 ‎1．选择题 ‎（1）开立方得 A． B． C． D．‎ ‎（2）的值为 A． B．2 C． D．无意义 ‎（3）立方根等于本身的数为 A．1 B．－1 C．0 D．‎ ‎（4）下列说法正确的是 A．的立方根是和 B．的立方根没有意义 C．是－6的立方根 D．的立方根是8‎ ‎2．选择题 ‎（1）下列语句正确的是（ ）‎ A．的立方根是2 B．是27负的立方根 C．的立方根是 D．的立方根是－1‎ ‎（2）下列说法中错误的个数是（ ）‎ ‎①负数没有立方根，②1的立方根与平方根都是1，③的平方根是，④‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎（3）若（），下列条件成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎（4）若，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（5）某数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数等于（ ）‎ A．0 B． C．或0 D．0或1‎ 参考答案：‎ ‎1．（1）B （2）A （3）D (4)C ‎2．（1）A （2）C （3）A （4）C （5）D 解答题 ‎1．求下列各数的立方根 ‎（1） （2）0 （3） ‎ ‎（4） （5） （6）‎ ‎2．求下列各式的值 ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5） （6）‎ ‎3．求下列的值 ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎4．求值 ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎5．求下列各式的值 ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎6．求值：‎ ‎7．若与互为相反数，则________.‎ 参考答案：‎ ‎1.（1） （2）0 （3） （4） （5） （6）‎ ‎2.（1） （2）5 （3） （4） （5） （6）‎ ‎3.（1）－1 （2）2 （3） （4）‎ ‎4.（1）－2 （2） （3） （4）‎ ‎5.（1）5 （2） （3）2 （4）‎ ‎6. ‎ ‎7. ‎ ‎10.3立方根 一．选择题：‎ ‎1．下列各式中正确的是（ ）．‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎2．的立方根是（ ）．‎ ‎（A）－4 （B）±4 （C）±2 （D）－2‎ ‎3．，则的值是（ ）．‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎4．下列四种说法中：‎ ‎（1）负数没有立方根；‎ ‎（2）1的立方根与平方根都是1；‎ ‎（3）的平方根是；‎ ‎（4）．‎ 共有（ ）个是错误的．‎ ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ 二．填空题：‎ ‎5．若，则叫做的__________，记作___________．‎ ‎6．的立方根是__________，125的立方根是___________．‎ ‎7．若某数的立方等于－0.027，则这个数的倒数是____________．‎ ‎8．已知，则．‎ ‎9．若，，则．‎ ‎10．若一个数的立方根就是它本身，则这个数是__________．‎ 三．解答题：‎ ‎11．计算：‎ ‎（1）； （2） （3）．‎ ‎12．解方程：．‎ ‎【答案】‎ ‎（一）1．C 2．D 3．B 4．C ‎（二）5．立方根； 6．；5 7． 8．0 9．8.067‎ ‎10．±1或0‎ ‎（三）11．（1）－4 （2）2 （3）0.5 12．‎