中考数学专题复习练习：(2)垂径定理

中考数学专题复习练习：(2)垂径定理

垂 径 定 理 内容提要：‎ 圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。‎ 垂径定理 垂径定理包含两个条件和三个结论，即 C D A B O E 条件结论 符号语言：‎ 推论1：在（1）、（2）、（3）、（4）、（5）中，任意两个成立，都可以推出另外三个都成立。‎ 推论2：平行的两弦之间所夹的两弧相等。‎ 相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE）。‎ 应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题（利用弦心距、半径、半弦构造Rt△OAE）。‎ 概念辨析题：‎ ‎1．下面四个命题中正确的一个是（）‎ A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 ‎2．下列命题中，正确的是（　　）．‎ ‎　A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 　B．过弦的中点的直线必过圆心 ‎　C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 　D．弦的垂线平分弦所对的弧 典型例题分析：‎ 例题1、在直径为‎52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为‎16cm，那么油面宽度AB是________cm.‎ 说明：本题主要考查垂径定理．易错点是忘记油面宽度是的2倍．‎ 例题2、在直径为‎52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是‎48cm，那么油的最大深度为________cm.‎ 说明：①此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——‎ 数形结合——解决问题；②作辅助线的能力．‎ 例题3、已知：在⊙中，弦，点到的距离等于的一半，求：的度数和圆的半径.‎ ‎ ‎ 说明：作出弦的弦心距，构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键.‎ 例题4、如图，已知在⊙中，弦，且，垂足为，于，于.‎ ‎（1）求证：四边形是正方形.‎ ‎ （2）若，，求圆心到弦和的距离.‎ 例题5、如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=‎6cm，EB=‎2cm，∠BED=30°，求CD的长.‎ A B D C E O 说明：此题是利用垂径定理的计算问题，要充分利用条件∠BED=30°‎ ‎，构造出以弦心距、半径、半弦组成的一个直角三角形，通过解直角三角形求解。‎ 例题6、已知：△ABC内接于⊙O，AB=AC，半径OB=‎5cm，圆心O到BC的距离为‎3cm，求AB的长．‎ 说明：①此题没有图形，在解题时应考虑到满足条件的图形，此题有两种情况；②利用条件构造垂径定理的基本图形解题．‎ 例题7、在直径为‎50cm的⊙O中，弦AB=‎40cm，弦CD=‎48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.‎ 说明：此题没有图形，在解题时应考虑到满足条件的两弦可能在圆心的同侧，也可能在在圆心的两侧，即有两解.‎ 例题8、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是的中点，AD⊥BC于D，求证：AD=BF.‎ 例题9、如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为.求证：.‎ 例题10、已知：如图，是⊙的直径，是弦，，于.求证：.‎ 说明：本题考查垂径定理的应用，解题关键是正确作出辅助线，易错点是忽视证 例题11、已知：⊙O的半径，弦AB、AC的长分别是、.求的度数。‎ 作 业：‎ 一、填空题 ‎1、过⊙O内一点P的最长弦为‎10cm，最短的弦为‎6cm，则OP的长为 .‎ ‎2.在⊙中，弦长为，圆心到弦的距离为，则⊙半径长为 ‎ ‎3．半径是的圆中，圆心到长的弦的距离是 ‎ ‎4. 圆的两互相平行的弦长分别和，又两弦之间距离为，则圆的半径长是 ‎ ‎5. 在半径为的圆内有两条互相平行的弦，弦长分别为、，则这两条弦之间的距离为________‎ ‎6．如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径，桥拱的距度m，则拱高m.‎ ‎7．如图，⊙O的直径CD与弦AB交于点M，添加条件：_____________（写出一个即可），就可得到M是AB的中点.‎ ‎8．一水平放置的圆柱型水管的横截面如图所示，如果水管横截面的半径是‎13cm，水面宽，则水管中水深是_______cm.‎ 二、选择题 ‎1．下列命题中错误的有（）‎ ‎（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦 ‎（3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎2、⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎3．如图，如果为⊙直径，弦，垂足为，那么下列结论中错误的 是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．如图，是⊙直径，是⊙的弦，于，则图中不大于半圆的相等弧有（ ）对。‎ A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 ‎5．如图，⊙O的直径AB，垂足为点E，若，则（ ）‎ A．2 B．‎4 C．8 D．16‎ ‎6．过⊙O内一点M的最长的弦长为‎4cm，最短的弦长为‎2cm，‎ 则OM的长为（ ）‎ A．cm B．cm C．1 D．‎‎3cm ‎7．已知：如图，⊙O中直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若，则BE的长是（ ）‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎8．已知⊙O的弦AB长‎8cm，弦心距为‎3cm，则⊙O的直径是（ ）‎ A．‎5cm B．‎10cm C．cm D．cm ‎9．已知⊙O的半径为‎2cm，弦AB长cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为（ ）‎ A．‎1cm B．‎2cm C．cm D．cm ‎10．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，，则AC的长为（ ）‎ A．‎0.5cm B．‎1cm C．‎1.5cm D．‎‎2cm ‎11．如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦，的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）上移动时，点P（ ）‎ A．到CD的距离保持不变 B．位置不变 C．等分 D．随C点的移动而移动 ‎12．圆的弦与直径相交成30°角，并且分直径为‎6cm和‎4cm两部分，则弦心距为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎13．如图，已知⊙的半径为，两弦与垂直相交于，若，，则（　　）‎ ‎　A．　　B．　　C．　　D．‎ ‎14．在⊙中，是弦，是的中点，延长交⊙于．若，则的度数是（　　）．‎ ‎　A．　　　B．　　　C．　　　D．‎ 三、解答题 ‎1．如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为米，拱顶高出水面米，现有一艘宽米，船仓顶部为方形并高出水面米的货船要经过这里．问货船能否顺利通过这座拱桥？‎ ‎ ‎ ‎2．如图，已知：在⊙中，是直径，是弦，交于，交于．求证：‎ ‎．‎