中考数学专题复习练习：一次函数经典例题与习题

中考数学专题复习练习：一次函数经典例题与习题

例1 列出下列函数关系式，判别其中哪些为一次函数、正比例函数．‎ ‎(1)正方形周长p和一边的长a．‎ ‎(2)圆的面积A与半径R．‎ ‎(3)长a一定时矩形面积y与宽x．‎ ‎(4)15斤梨售价20元．售价y与斤数x．‎ ‎(5)定期存100元本金，月利率1.8％，本息y与所存月数x．‎ ‎(6)水库原存水Q立方米，现以每小时a立方米的流量开闸放水，同时上游以每小时b立方米的流量向水库注水，求这时水库的蓄水量M与时间t的函数关系．‎ 分析：根据几何知识或实际意义列出两变量之间的关系式，再由一次函数和正比例函数的概念进行判别．‎ 解：(1)∵p=4a．自变量a为一次且其系数为4(不为零)．∴p为a的一次函数．又∵不含常数项所以也是正比例函数．‎ ‎　　(2)，自变量R的次数是二次，所以不是一次函数，也不是正比例函数．‎ ‎　　(3)y=ax，自变量x为一次且系数a为长度(不为零)．∴y是x的一次函数．∵不含常数项．∴y也是x的正比例函数．‎ ‎　　‎ ‎　　(5)y=100+100×1.8%x，自变量x的次数为一次，又含有常数项．∴y是x的一次函数但不是正比例函数．‎ ‎　　(6)M=Q+(b-a)t，因为自变量t的次数为一次，当a≠b时，M是t的一次函数．若Q=0时，M是t的正比例函数；若a=b时，M是常量函数，不是t的一次函数．‎ 说明：在实际问题中要注意自变量的取值范围.（限于学生的认识水平，教师可酌情处理取值范围问题）‎ ‎　　(1)中正方形边长a＞0．‎ ‎　　(3)中矩形的宽0＜x＜a．‎ ‎　　(4)中梨的斤数x≥0．‎ ‎　　(5)所存月数x≥0．‎ ‎　　‎ 例 2、 某工厂有煤m吨，每天烧煤n吨．现已知煤烧3天后余102吨，烧煤8天后余煤72吨，问烧煤15天后余煤多少吨？‎ 分析：设烧煤x天后余煤y吨，则可建立函数关系式y=m-nx．又知当x=3时，y=102；x=8时，y=72．从而组成方程组 ‎　　求出m、n后再代回y=m-nx中，令x=15求出y．‎ ‎ 解：设烧煤x天后余煤y吨，则余煤数与烧煤天数之间的函数关系式是 y=m-nx ‎　　由题意知x=3时y=102，x=8时y=72，可得 ‎　　从而求出n=6，m=120．‎ ‎　　 所以函数关系式是y=120-6x(0＜x≤20)‎ ‎　　当x=15时，y=120-6×15=30‎ ‎　答：烧煤15天后余煤30吨．‎ 说明：列方程可以解应用题，利用函数观点分析实际问题中条件列函数关系式也可以解决实际问题．‎ 例 3 已知y-3与x成正比例函数，且x=2时，y=7．‎ ‎(1)求y与x之间的函数关系式．‎ ‎(2)求当x=2时y的值．‎ ‎(3)求当y=-3时x的值．‎ 分析：y-3与x成正比例函数；把y-3看成一个变量，首先就可设y-3=kx(k≠0) ‎ 解：(1)∵(y-3)是x的正比例函数 ‎　　 ∴设y-3=kx(k≠0)‎ ‎　　把x=2时y=7代入上式得k=2‎ ‎　　∴y与x的函数关系式为y=2x+3‎ ‎　　y是x的一次函数 ‎　　(2)当x=2时，y=2×2+3=7‎ ‎　　(3)当y=-3时，-3=2x+3 ∴x=-3‎ 说明：①把y-3当作一个整体变量来看待．②凡是正比例函数，一律设成y=kx(k≠0)形式．③已知自变量的值求函数值，或已知函数值求自变量的值都只需代入函数关系式通过计算求得．‎ 典型例题四 例 在，已知，为斜边上的中线，且，，在上有一点，求的面积与的长之间的函数关系.‎ 解：如图，作于，于，因为，所以.由勾股定理得：‎ ‎，所以.因为 ‎，所以.因为为斜边中线，所以 ‎ ‎.‎ ‎ 在中，因为，，所以.由平行线分线段成比例定理得 ‎，即，‎ 得 所以 所以， ‎ 说明：求的面积，需求出的高，而且应寻求与的关系，故作高，求时应用面积法，即由三角形的面积和三角形的底边求高，最后找到与之间的关系式，利用平等线分线段成比例的性质求解.‎ 典型例题五 例 已知，当是什么数值时，为正比例函数？‎ 分析：解答此题，只要依据正比例函数的定义，即自变量的系数不为零，自变量的次数为1，列出方程和不等式，就可解出m的值．‎ 解：设正比例函数为y=kx(k≠0)，‎ ‎　　 ∵正比例函数k≠0，x的指数为1．‎ ‎　　 ∴m2+2m≠0，解得m1≠0，m2≠-2，‎ ‎　　 且m2+m-1=1，‎ ‎　　 解得m3=-2，m4=1．‎ ‎　　 ∴当m=1时，为正比例函数．‎ 说明：一个函数要符合正比例函数的定义，不能只考虑m2+m-1=1而且要考虑m2+2m≠0，所以m=-2时虽然能使x的指数为1，但系数变为零就不是一次函数了．‎ 典型例题六 判断下列函数关系中，哪些是关于的一次函数（以下各题中的且为常数）？（是一次函数的打√，若不是打×）‎ ‎⑴ （ ）‎ ‎⑵ （ ）‎ ‎(3) （ ）‎ ‎(4) 　　　　 （　　）‎ ‎(5)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）‎ ‎(6)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）.‎ 答案: √ √ ╳ √ √ ╳.‎ 说明：本题考查一次函数的概念，要理解一次函数的概念。‎ 典型例题七 例 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？‎ ‎（1）；（2）；‎ ‎（3）；（4）.‎ 解：（1）即为，其中，，所以是一次函数，也是正比例函数.‎ ‎（2），因为不是整式，所以不能化为的形式，所以不是一次函数，当然也就不能是正比例函数了.‎ ‎（3）经过恒等变形，转化为，其中，.所以是一次函数，也是正比例函数.‎ ‎（4），即为，其中，.‎ 所以，是一次函数，但不是正比例函数.‎ 说明：判断函数是一次函数、正比例函数，首先看每个函数解析式能否通过恒等变形，转化为的形式，如果的次数是1，且，则是一次函数，否则就不是一次函数；在一次函数中，如果常数项，那么它就是正比例函数.‎ 典型例题八 例 已知函数，m为何值时，函数是正比例函数？‎ 解：因为是的正比例函数，‎ 所以 解得 所以当时，是的正比例函数，解析式为.‎ 说明：正比例函数应满足自变量指数为1、自变量的系数不为零.‎ 典型例题九 例 已知与成正比例（其中，是常数）‎ ‎（1）求证：是的一次函数；‎ ‎（2）如果时，，时，，求这个一次函数的解析式.‎ 分析：要证明是的一次函数，只需证明与的关系式满足的形式，其中为常数，且 解：（1）证明：因为与成正比例，‎ 所以=（）(是不为零的常数).‎ 因为、、是常数，且，‎ 所以，‎ 所以也是常数，‎ 所以是一次函数，即是的一次函数.‎ ‎（2）因为是的一次函数，‎ 所以设函数解析式为.‎ 因为当时，，‎ 当时，，‎ 得 所以 所以所求函数的解析式为.‎ 说明：在教学中应强调“谁是谁的函数”.‎ 选择题 ‎1．在一次函数中，为（）‎ A．正实数 B．非零实数 C．任意实数 D．非负实数 ‎2．下列说法中，不正确的是（）‎ A．不是一次函数就一定不是正比例函数 B．正比例函数是一次函数 C．不是正比例函数就不是一次函数 D．一次函数不一定是正比例函数 ‎3．若函数是正比例函数，则（）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．如果为一次函数，且不是正比例函数，则（）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．当时，一次函数与的值相等，那么与的值分别是（）‎ A．， B．-1，9 C．1，11 D．5，15‎ ‎6．正比例函数，当，，时，对应的，，之间的关系是（）‎ A． B． C． D．无法确定 ‎7．如果的自变量增加4，函数值相应地减少16，则值（）‎ A．4 B．-4 C． D．‎ ‎8. 在一次函数中，当时则的值为（ ）‎ ‎　 A、-1　　 B、1　　 　C、5　　 　　D、-5‎ ‎9.已知与成正比例，如果时时，，那么时，（　　）‎ ‎　　A、　　 B、2　　 　C、3　　　　 D、6‎ ‎10.下列说法中不正确的是（　　）‎ A、在时，与成正比例；‎ B、在中，与成正比例；‎ C、在中，与成正比例；‎ D、在圆面积公式中，与成正比例 ‎11.下列关系式中，与成正比例的是（　　）‎ A、　　　 B、‎ C、　　 D、‎ 答案：‎ ‎1．B 2．C 3．A 4．D 5．C 6．B 7．B 8. B 9. A 10.A 11.D .‎ 填空题 ‎1．如果是关于的一次函数，那么的取值范围是________.‎ ‎2．已知方程给出了与的函数关系，则用自变量来表示函数的形式为_______.‎ ‎3．若，是变量，且是正比例函数，则值为________.‎ ‎4．在一次函数.当时，的取值范围是_______.‎ ‎5．已知函数，满足时，，则_____.‎ ‎6. 若点在正比例函数的图象上，则＿＿＿．‎ ‎7.与成正比例，当时，，这个函数的解析式为　　　　．‎ ‎8. 已知与成正比例，当时，则时　　　　　　．‎ ‎9.与成正比，当时，，则　　　时，．‎ 答案 ‎1．且.‎ ‎2．.‎ ‎3．1.‎ ‎4．.‎ ‎5．.‎ ‎6. 7. 8. 9. 6 .　‎ 判断题 判断下列函数（其中为自变量），是否是正比例函数关系？（是正比例函数的打√，若不是打×）‎ ‎(1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）.‎ ‎(2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ ）.‎ ‎(3) （ ）.‎ ‎(4) （ ）.‎ ‎(5)为常数） （ ）.‎ ‎(6) （ ）.‎ 说明：主要考查正比例函数的概念，关键是弄清楚正比例函数的概念 。‎ 答案: √ ╳ ╳ √ √ ╳　.‎ 解答题 ‎1. 为何值时，是正比例函数？并求出这个正比例函数的解析式．‎ ‎2. 已知与成正比例，且当时，‎ ‎⑴求与的函数解析式；‎ ‎⑵求当时，的值 ‎⑶求当时，的值 ‎3. 已知一次函数的图像经过，两点。‎ ‎（1）求此一次函数的解析式；‎ ‎（2）求此函数图像与坐标轴围成的三角形面积。‎ ‎4. 与成正比例，与也成正比例，求证与成正比例。‎ ‎5. 已知的高，底边，四边形是中任意一个内接矩形，，分别在，边上，，在上，设为，为，试求与的函数解析式，写出自变量的取值范围。‎ ‎6. 如图所示，在中，与的平分线交于点，设，，当变化时，求与之间的函数关系式，并判断是不是的一次函数，并指出自变量的取值范围。‎ ‎7.如图所示，公路上有，，三站，一辆汽车在上午8时从离站10千米的地出发向站匀速前进，15分钟后离站20千米。‎ ‎（1）设出发小时后，汽车离站千米，写出与之间的函数关系式；‎ ‎（2）当汽车行驶到离站150千米的站时，接到通知要在中午12点前赶到离站30千米的站。汽车若按原速能否按到达？若能，是几点几分到达？若不能，车速最少应提到多少？‎ ‎8.拖拉机开始工作时，油箱中有油36公斤，如果每小时耗油3公斤，那么，油箱中的余油量公斤与它工作的时间小时之间的函数关系式是什么？它是什么函数？自变量的取值范围是什么？‎ 答案：‎ ‎1. ；.‎ ‎2. ， ‎ ‎3.（1）；（2）‎ ‎4. 略 ‎5. ‎ ‎6. ‎ ‎7. （1）；‎ ‎（2）不能按时到达，车速最少应提高到60千米/时。‎ ‎8. y=36-3t，一次函数，.　‎