中考数学专题复习练习：可化为一元二次方程的分式方程

中考数学专题复习练习：可化为一元二次方程的分式方程

例1 解方程.‎ 解：原方程就是 去分母，得 整理后，得 ‎ 解这个方程，得 ‎.‎ 经检验，是增根，是原方程的根.‎ 说明 去分母前的排列，变号（如本题中的变为），去分母时分母为1的整式或常数漏乘最简公母以及去括号时符号是否改变，都是解方程中容易出错的地方，解题过程中都要认真对待.‎ 例 2 解方程 解法一：原方程可化为 设，则原方程化为 ‎，‎ 去分母，得 ‎，‎ 解这个方程，得 ‎.‎ 当时，，‎ ‎，‎ ‎ ∴ 此方程无实根.‎ 当时，.‎ 解这个方程，得 经检验，都是原方程的根.‎ 解法二：去分母，整理，得 ‎ 或 .‎ 方程的，无实数根.‎ ‎∴ .‎ 经检验，都是原方程的根.‎ 说明 从两种解法看到分式方程转化为整式方程的两种途径.解法一用的是换元法，因为，设，经过换元使方程得到化简.解法二用的是去分母，其后在解的过程中也是一种换元的思想，是把看成一个整体，当成一个未知数，只是没有显现出换元，如果换元方法掌握较好，对于这样的题采用解法二是否更为简捷些.‎ 例 3 当a取何值时，方程 去分母，得 解这个方程，得 ‎∵ 方程的解为负数，‎ ‎∴ ，解得 .‎ ‎，‎ ‎∴ . 即 .‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 当且时，方程的解为负数.‎ 说明 分式方程的解必使是各分式的分母不等于零，在求适合某种条件的字母系数的值时，要特别注意这一点.‎ 例 4 某工厂计划生产480个零件，在实际生产中每小时多做了10个，结果不仅提前1小时完成任务，而且还比原计划多生产了10个零件.求原计划每小时做多少个零件？预计用多少时间？‎ 分析 设原计划每小时做x个零件，那么预计用的时间就是小时，实际每小时生产了个零件，共计生产了个，所以实际所用的时间是小时.根据“实际比原计划提前1小时完成”这个等量关系列方程.‎ 解：设原计划每小时做x个零件.‎ 根据题意，有 ‎.‎ 去分母，整理，得 ‎.‎ 解这个方程，得 ‎.‎ 经检验，都是原方程的根，但生产零件的个数不能为负数，所以只取.‎ 当时，.‎ 答：原计划每小时生产60个零件，预计用8小时完成任务.‎ 例5 甲、乙二人分别从相距27千米的A、B两地同时出发，相向而行，3小时相遇.相遇后两人各用原来速度继续前进，甲到达B地比乙到达A地早1小时21分.求两人的速度.‎ 分析 本题中的主要等量关系是走完全程甲比乙少用1小时21分，可用等式表示.题目的前一句话中隐含了二人速度之间的关系，27千米的路程，二人用3小时相遇，就是说二人的速度和是每小时9千米，如果设甲每小时走x千米，那么乙每小时走（）千米.‎ 解：设甲每小时走x千米，那么乙每小时走（）千米.‎ 依题意，有 ‎.‎ 化简得 ‎ 去分母，整理，得 解这个方程，得 经检验，都是原方程的根，但速度不能为负数，所以只取.‎ 当时，.‎ 答：甲每小时走5千米，乙每小时走4千米.‎ 说明 本题也可以把题中的两句话看成两个等量关系，列方程组求解.即 设甲的速度为每小时x千米，乙的速度为每小时y千米.‎ 根据题意，有 ‎.‎ 方程组用代入消元法求解.‎ 典型例题六 例 若解分式方程产生增根，则的值是（ ）.‎ 分析 解分式方程可能产生增根的原因是去分母时两边都乘以最简公分母——含未知数的整式.当这个整式的值为0时，就产生增根，所以解这类题目的方法是先去分母，将分式方程化为整式方程，再将所有可能的增根代入这个整式方程，求出的值.‎ 解 原方程即是 去分母，得 ‎ 这个方程可能地增根是 ‎ 把代入整式方程，得解得；‎ 把代入整式方程，得解得 故选D.‎ 典型例题七 例 已知x是实数，且，那么的值为（ ）‎ A．1 B．－3或1 C．3 D．－1或3‎ 误解 设，则原方程可变为，即 剖析 时，即是，此时，方程无实数解，即x不是实数，与题设不符，应舍去；当时，即是，此时方程有实数解，即x是实数，符合题设，故 正确答案：选A.‎ 说明 此题由解分式方程演变而来，大大增加了成就机会，解题时，若忽视“实数”这个题设条件，将求得的值不加检验直接写出，则前功尽弃.还有一类题目由无理方程演变而来，如“已知x为实数，且，则的值等于_________”.‎ 典型例题八 例 阅读理解题：‎ 关于的方程：‎ 的解是；‎ ‎（即）的解是；‎ 的解是；‎ ‎（即）的解是；‎ 的解是；‎ ‎……‎ ‎（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于的方程（）与它们的关系，猜想这个方程的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证.‎ ‎（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：‎ 如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数.那么这样的方程可以直解.‎ ‎ 请你试用上述结论解关于的方程：‎ ‎ .‎ 解：（1）.‎ ‎ 验证，当时，‎ ‎ 左边=‎ ‎∴ 是原方程的解.‎ 当时，‎ 左边=右边 ‎∴ 是原方程的解.‎ ‎（2）原方程可化为 ‎.‎ 由以上结论可知：‎ 或.‎ ‎∴ 均为原方程的解.‎ 典型例题九 例 解分式方程：‎ ‎ ‎ 分析：由于本例中分子的次数不低于分母的次数，首先可将分式化为整式部分与真分式部分之和的形式，以简化运算.‎ 解，（这种变形要注意借鉴）‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 原方程化为 左右两边分别通分，并整理，得 ‎，‎ ‎，‎ 经检验，是原方程的根.‎ 说明：先化简再求解是本例的关键所在.把一个分子次数不低于分母次数的分式化为整式部分与真分式之和的一般方法是带余除法.‎ 典型例题十 例 解关于的方程：‎ 分析：利用换元法求解.‎ 解 设，，则原方程可变形为 ‎，即 整理，得 或 当时，即 ‎，‎ ‎ ‎ ‎ 当时，即 ‎ 解之，得，‎ ‎ 经检验：，，都是原方程的根.‎ 说明：本例的求解中用了两次换元，使解法显得巧妙，望能适当利用.‎ 典型例题十一 例 解关于的分式方程：‎ 分析：本例是含有字母参数的分式方程，先去分母化分式方程为整式方程，求出用表示的根，再给以讨论.‎ 解 去分母，得 ‎，即 解之，得，‎ 由原方程可知，，即 检验：把，分别代入原方程，分母均不为零.‎ 原方程的根是，‎ 说明：解含有字母参数的分式方程与一般的分式方程的方法相同，但应特别注意从题目中识别字母系数的取值范围，并根据情况进行讨论.‎ 典型例题十二 例 解方程：‎ 分析：注意到，于是可采取换元法解之.‎ 解 把原方程化为 ‎，即 设，则原方程可化为 ‎.‎ 解之，得，.‎ 当时，，即 该方程的判别式，所以，它无实数解.‎ 当时，，即 解之，得，‎ 经检验，，‎ 原方程的根是，‎ 说明：该例中，，切莫把看作求解，否则，将会造成错误.‎ 选择题 ‎1. 使分式的值为零的x的值为（ ）.‎ ‎ A．2 B．－1 C．2或－1 D．1或－2‎ ‎2. 如果方程有增根，则m的值等于（ ）.‎ A．1或－2 B．－1或－2 C．－1或2 D．1或2‎ ‎3. 方程的解的个数为（）.‎ A．1个 B．2个 C．0个 D．3个 ‎4. 下列方程①②③④是分式方程的个数为（）.‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎5. 用换元法解方程，下列变形正确的是（）.‎ A．设，变形，为 B．设，变形，为 C．设，变形，为 D．设，变形，为. ‎ ‎6. 方程的解的个数有（）.‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 ‎7. 如果，那么的值等于（）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎8. 若每人每天工效相同，个人天可做个零件，则个人做个零件需要的天数为（）.‎ A． B． C． D．‎ 答案：‎ ‎1. A； 2. C. 3. A 4. B 5. D 6. D 7. B 8. A.‎ 填空题 ‎1.方程可以采用左边通分后得方程_________，由等式性质只要解整式方程___________；‎ ‎2. 方程如果有增根，则的值是_________；‎ ‎3.当=_________时，分式与相等；‎ ‎4. 方程的根是___________；‎ ‎5. 方程，可用_________法，设________，化简原方程为________；‎ ‎6. 甲、乙两组加工零件，甲在天内可加工个零件，乙在天内可加工个零件，若两人同时加工个零件，则需要的天数是_________；‎ ‎7. 当=_________时，方程无实根 答案：‎ ‎1.；; 2. 或; 3. ; 4. ; 5. 换元法，; 6. ; 7. 4.‎ 解答题 ‎1．解下列方程：‎ ‎（1）；（2）；（3）；‎ ‎（4）；（5）.‎ ‎2．用换元法解下列方程：‎ ‎（1）；（2）；‎ ‎（3）；（4）；‎ ‎（5）；（6）；‎ ‎（7）；（8）；‎ ‎（9）；（10）.‎ ‎3．某工厂计划在数天内制造1000台机床，后来在实际生产时，每天比原计划多生产25台，结果提前两天完成，这个工厂实际生产的天数是多少天？‎ ‎4．一项工程，甲队单独完成比乙队单独完成少15天，如果甲队单独工作10天后，乙队再单独工作15天，就可以完成这项工程的，求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？‎ ‎5．、两地相距，甲骑自行车由地驶向地，经过后乙骑自行车以每小时比甲快的速度由地驶往地，两人在相距处相遇，求甲、乙两人的速度。‎ ‎6．有一河流的水流速度为，现有一船沿河航驶，往返于的两地，需用，问此船在静水中的速度。‎ ‎7．一个水池有甲、乙两个进水管，单独开放甲管注满水池比单独开放乙管注满水池多用5小时，如果两管同时开放4小时后，把乙管关上，甲管继续开放2小时，这时水池还差没注满，求单独开放一个水管各需多少小时才能把水池注满？‎ ‎8．慢车从甲地开往乙地要比快车从乙地开往甲地多用1小时，若两车同时分别从甲、乙两地出发，相向而行，则经过1小时12分钟相遇，问慢车从甲地开往乙地需多少时间？‎ ‎9．某校一班学生组织去春游需要车费540元，现有二班学生5人也参加进来，车费不变，这样每人可以少分摊1．5元，问一班有学生多少人？每人实际分摊车费多少元？‎ ‎10．某人承包植树240棵的任务，计划若干天完成，植树两天后，由于阴雨天气，平均每天少植树8棵，因此延缓了4天完成任务，求原计划完成的天数．‎ ‎11．某校组织两个班学生到离校10千米的郊外春游，一班同学步行，出发1小时后，二班同学骑自行车出发沿同一路线前行，结果比一班早半小时到达目的地，已知自行车比步行每小时多走6千米，求一班步行的速度．‎ ‎12．甲、乙两地相距300公里，一辆慢车从甲地出发驶向乙地，45分钟后，一辆快车以每小时比慢车快10公里的速度由乙地出发驶向甲地，两车刚好在甲、乙两地的中点处相遇，分别求出两车的速度．‎ ‎13．一小艇顺流36公里到目的地所用的时间，比它逆流回航到出发地要少一个半小时，已知小艇在静水中的速度是每小时10公里，求水流的速度是多少？‎ 答案：‎ ‎1．（1）；（2）（增根）；（3）（增根），；（4）；（5）.‎ ‎2．（1）、2 、（2）（3）、（4），；(5)；(6)；(7)，；(8)；(9)；(10)‎ ‎.‎ ‎3. 8天 ‎4．甲30天；乙45天 ‎5．甲、乙 ‎6．.‎ ‎7． 甲需15小时，乙需10小时；8. 3小时；9. 40人，12元；10. 10天（提示：设原计划每天植树x棵，则）；11. 每小时4千米；12. 慢车速度每小时40公里，快车速度每小时50公里；13. 每小时2公里.‎