2020届高三上学期期末考试理科数学试题

2020届高三上学期期末考试理科数学试题

‎2020届高三上学期期末考试 理科数学试题 第I卷(选择题 共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）‎ ‎1.已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于 ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．圆的方程为，则圆心坐标为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．2019年第十三届女排世界杯共12支队伍参加，中国女排不负众望荣膺十冠王.将12支队伍的积分制成茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别为 ‎ A．17.5和17 B．17.5和16‎ C．17和16.5 D．17.5和16.5‎ ‎4．某公司有3000名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，3000，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查，若84号被抽到则下面被抽到的是 ‎ A．44号 B．294号 C．1196号 D．2984号 5． 已知直线，，若，则 实数的值为 ‎ A．8 B．2 C． D．‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，则输出的值是 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎7．设，，则是的 ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 ‎8.若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围 - 11 -‎ A． B． C. D．‎ ‎9．已知两点A（－2，0），B（0，2），点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是 ‎ A．3－ B．3＋ C．3－ D．‎ ‎10．将－颗骰子先后投掷两次分别得到点数，则关于方程组，有实数解的概率为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两 支分别交于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为 ‎ A．4 B． C． D．‎ ‎12．如图，三棱锥的四个顶点恰是长、宽、高分别是m，2，n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为 ‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．已知x、y满足约束条件，则的最小值为________.‎ ‎14．斜率为2的直线l经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于两点,则线段AB的长为____.‎ ‎15. 若倾斜角为的直线与曲线相切于点，则的值为_____.‎ - 11 -‎ ‎16．若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为 .‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）‎ ‎17．（12分）某公司在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.‎ ‎（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；‎ ‎（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计投入4万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；‎ ‎（III）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：‎ 广告投入（单位：万元）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 销售收益（单位：百万元）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎7‎ 表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程.；附公式：，.‎ ‎18. （12分）已知函数，‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的最小值和最大值；‎ ‎（Ⅱ）设的内角的对应边分别为，且，，若向量与向量共线，求的值.‎ - 11 -‎ ‎19．(12分)如图1，在等腰中，，，分别为，的中点，为的中点，在线段上，且。将沿折起，使点到的位置（如图2所示），且。‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值 ‎20．（12分）已知动圆在圆：外部且与圆相切，同时还在圆：内部与圆相切．‎ ‎（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）记（1）中求出的轨迹为，与轴的两个交点分别为、，是上异于、的动点，又直线与轴交于点，直线、分别交直线于、两点，求证：为定值．‎ ‎21.（12分）已知函数在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设函数（），求在上的单调区间；‎ ‎（III）证明：（）‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ - 11 -‎ 在平面直角坐标系xoy中，直线的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为．‎ ‎（Ⅰ）写出直线的普通方程和圆C的直角坐标方程．‎ ‎（Ⅱ）若点P坐标为（1，1），圆C与直线交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知 ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）设为正数，求证：.‎ - 11 -‎ 理科数学试题参考答案 ‎1．A 2．D 3．D 4．B 5．A 6．D 7．A 8．D 9．A 10．B 11．B 12．C ‎13．－3 14．10 15． 16．‎ ‎17．（Ⅰ）设各小长方形的宽度为，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，故；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知各小组依次是，‎ 其中点分别为，对应的频率分别为，‎ 故可估计平均值为；‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知空白栏中填5．‎ 由题意可知，，，‎ ‎，，‎ 根据公式，可求得，，‎ 即回归直线的方程为．‎ ‎18. （Ⅰ）错误！未找到引用源。‎ 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。，当 错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。有最小值为错误！未找到引用源。‎ 当 错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。有最大值为错误！未找到引用源。 ‎ ‎ (Ⅱ)错误！未找到引用源。‎ 错误！未找到引用源。‎ 错误！未找到引用源。与向量错误！未找到引用源。共线 错误！未找到引用源。‎ 由正弦定理错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。① 错误！未找到引用源。，由余弦定理可得错误！未找到引用源。② ‎ ‎①②联立可得错误！未找到引用源。‎ ‎19．（1）证明：取的中点，连接.‎ - 11 -‎ ‎∵，∴为的中点.‎ 又为的中点，∴.‎ 依题意可知，则四边形为平行四边形，‎ ‎∴，从而.‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2），且，‎ 平面，平面，‎ ‎，‎ ‎，且，‎ 平面，‎ 以为原点，所在直线为轴，过作平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，‎ 则，，，，，‎ ‎，，，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，‎ 令，得.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，‎ 令，得.‎ - 11 -‎ 从而，‎ 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎20．（1）设动圆的半径为，由已知得，，，‎ 点的轨迹是以 ，为焦点的椭圆，‎ 设椭圆方程：（），则，，则，‎ 方程为：；‎ ‎（2）解法一：设 ，由已知得， ，则，，‎ 直线的方程为：，‎ 直线的方程为：，‎ 当时，，，‎ ‎，‎ - 11 -‎ 又满足，，‎ 为定值．‎ 解法二：由已知得，，设直线的斜率为，直线的斜率为，由已知得，，存在且不为零，‎ 直线的方程为：，‎ 直线的方程为：，‎ 当时，，，‎ ‎,‎ 联立直线和直线的方程，可得点坐标为，‎ 将点坐标代入椭圆方程中,得，‎ 即，‎ 整理得 ，，，‎ 为定值．‎ ‎21.解：（1）‎ 依题意有 ‎ （2） 由（1）知，‎ 故函数在的单调性为 当 - 11 -‎ 当 当 当 ‎（3）由（2）知时， ‎ 即 ‎ 令，得，‎ 即,‎ 所以 上式中n=1，2，3，…，n，然后n个不等式相加得 ‎22．解析：（1）直线l的参数方程为（t为参数）．‎ 消去参数t可得：直线l的普通方程为：..................2分 圆C的方程为．即，‎ 可得圆C的直角坐标方程为：．.........................4分 ‎（2）将代入得：..........6分 得..................................................8分 则.....................10分 22. ‎(Ⅰ）错误！未找到引用源。‎ - 11 -‎ ‎ 错误！未找到引用源。‎ 错误！未找到引用源。‎ ‎ 错误！未找到引用源。‎ 错误！未找到引用源。 当且仅当错误！未找到引用源。时取等号 错误！未找到引用源。 …………………………………………5分 ‎(Ⅱ)要证：错误！未找到引用源。‎ 需证：错误！未找到引用源。‎ 即证：错误！未找到引用源。‎ 需证：错误！未找到引用源。 ………………………………8分 错误！未找到引用源。为正数，错误！未找到引用源。由基本不等式，可得 错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，当且仅当错误！未找到引用源。时取等号 将以上三个同向不等式相乘得错误！未找到引用源。‎ 即错误！未找到引用源。，‎ 所以原不等式错误！未找到引用源。成立 ………………………………10分 - 11 -‎