2017-2018学年河北省邯郸市高二下学期期末考试数学（理）试题-解析版

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绝密★启用前 河北省邯郸市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，，则中元素的个数为（ ）‎ A. 3 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：中元素的个数取决于方程组的解的个数，消元后可判断方程组解的个数. ‎ 详解：由方程得可得或者，故中元素的个数为2，选B.‎ 点睛：一般地，在考虑集合的交、并、补时，要认清集合中元素的含义，如表示函数的定义域，而表示函数的值域，表示函数的图像.‎ ‎2．设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（ ）‎ A. B. 5 C. -5 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：因为两个复数对应的点关于虚轴对称，所以两个复数的实部互为相反数且虚部相同，从而得到复数，故可计算.‎ 详解：，故，选C.‎ 点睛：本题考察复数的几何意义，属于基础题.‎ ‎3．“”是“”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】，‎ ‎， ，‎ ‎∴　“”是“”的充分不必要条件．‎ 故选： ．‎ ‎4．正数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】给定特殊值，不妨设，‎ 则： .‎ 本题选择C选项.‎ ‎5．命题“且的否定形式是（ ）‎ A.且 ‎ B.或 C.且 ‎ D.或 ‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.‎ 考点：命题的否定 ‎6．设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（ ）‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形 ‎【答案】B ‎【解析】分析：由正弦定理可以得到，从而即，所以为直角三角形.‎ 详解：由正弦定理可以得到，‎ 故即，‎ 因，故，所以，‎ 因，故，为直角三角形，故选B.‎ 点睛：在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.‎ ‎7．已知函数（，）的图象如图所示，则的解析式为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】结合函数图像可得：，，‎ 结合周期公式有：，‎ 且当时，，‎ 令可得：，‎ 据此可得函数的解析式为：.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：‎ ‎(1)由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.‎ ‎(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.‎ ‎8．设函数， 的定义域都为R，且是奇函数， 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）‎ A. 是偶函数 B. | | 是奇函数 C. | |是奇函数 D. | |是奇函数 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，‎ ‎∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），‎ f（-x）•g（-x）=-f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，‎ ‎|f（-x）|•g（-x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，‎ f（-x）•|g（-x）|=-f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．‎ ‎|f（-x）•g（-x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误 考点：函数奇偶性的判断 ‎9．设函数,（ ）‎ A. 3 B. 6 C. 9 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】.故选C.‎ 视频 ‎10．已知函数 ，是奇函数，则（ ）‎ A. 在上单调递减 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 在上单调递增 ‎【答案】B ‎【解析】分析：因为是奇函数，所以，故，令 ‎，则的单调减区间为，从而可以知道在上单调递减.‎ 详解：，因是奇函数，‎ 故，也即是 ‎，化简得 ‎，‎ 所以，故，从而，‎ 又，故，因此.‎ 令， ，故的单调减区间为，故在上单调递减.选B.‎ 点睛：一般地，如果为奇函数，则，如果为偶函数，则.‎ ‎11．函数的图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：化简函数的解析式，判断函数的对称性，利用函数的值判断即可．‎ 详解：函数f（x）==，可知函数的图象关于（2，0）对称，排除A，B．当x＜0时，ln（x﹣2）2＞0，（x﹣2）3＜0，函数的图象在x轴下方，排除D，‎ 故选：C．‎ 点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用．对于已知函数表达式选图像的题目，可以通过表达式的定义域和值域进行排除选项，可以通过表达式的奇偶性排除选项；也可以通过极限来排除选项.‎ ‎12．直线分别与直线，曲线交于点，则的最小值为（ ）‎ A. 3 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设A（x1，a），B（x2，a），则2（x1+1）=x2+lnx2，‎ ‎∴x1=（x2+lnx2）﹣1，∴|AB|=x2﹣x1=（x2﹣lnx2）+1，‎ 令y=（x﹣lnx）+1，则y′=（1﹣），‎ ‎∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，‎ ‎∴x=1时，函数的最小值为.‎ 故答案为：D。‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知向量，，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，因为，‎ 所以，，解得：，‎ 所以，．‎ ‎14．不等式的解集是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：把不等式化为同底的不等式，利用指数函数的单调性即可求解．‎ 详解：原不等式可以化为，所以，故或者，‎ 不等式的解集为，填．‎ 点睛：一般地，对于不等式，‎ ‎（1）如果，则原不等式等价于 ；‎ ‎（2）如果，则原不等式等价于 .‎ ‎15．已知，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果.‎ 详解：因为，，‎ 所以，‎ 因此 点睛：三角函数求值的三种类型 ‎(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.‎ ‎(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.‎ ‎①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；‎ ‎②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.‎ ‎(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.‎ ‎16．三角形中，是边上一点，，，且三角形与三角形面积之比为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：为的平分线，从而，根据余弦定理可得到，两者结合可解出并求出，在中，由余弦定理可求出的长度．‎ 详解：因为为的平分线，故．‎ 又，整理得，‎ 所以，故．‎ 又，故．‎ 填．‎ 点睛：（1）在中，若为的平分线（为上一点），则有；‎ ‎（2）在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．在中，，，的对边分别为，，，若，‎ ‎（1）求的大小；（2）若，，求，的值.‎ ‎【答案】（1）（2），或，.‎ ‎【解析】分析：（1）利用正弦定理把化成，即为，从而解得.‎ ‎（2）利用余弦定理及构建关于的方程，解出.‎ 详解：（1）由已知得，∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∵，所以，∴，所以 ‎（2）∵，即，∴‎ ‎∴，又∵，∴，或，‎ 点睛：三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.‎ ‎（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；‎ ‎（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；‎ ‎（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.‎ ‎18．已知向量，，，设函数.‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求函数的单调递减区间；‎ ‎（3）求在上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）（2），.（3）最大值是，最小值是.‎ ‎【解析】分析：（1）先化简，再求函数的最小正周期.(2)利用复合函数的单调性原理求函数的单调递减区间.(3)利用三角函数的图像和性质求函数在上的最大值和最小值.‎ 详解： ‎ ‎.‎ ‎（1）的最小正周期为，即函数的最小正周期为.‎ ‎（2）函数单调递减区间：‎ ‎，，‎ 得：，，‎ ‎∴所以单调递减区间是，.‎ ‎（3）∵，‎ ‎∴.‎ 由正弦函数的性质，‎ 当，即时，取得最大值.‎ 当，即时，，‎ 当，即时，，‎ ‎∴的最小值为.‎ 因此，在上的最大值是，最小值是.‎ 点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)求三角函数在区间上的最值，一般利用三角函数的图像和性质解答，先求的范围，再利用三角函数的图像和性质求的最值.‎ ‎19．据悉,2017年教育机器人全球市场规模已达到8.19亿美元,中国占据全球市场份额10.8%.通过简单随机抽样得到40家中国机器人制造企业,下图是40家企业机器人的产值频率分布直方图.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）在上述抽取的40个企业中任取3个，抽到产值小于500万元的企业不超过两个的概率是多少？‎ ‎（3）在上述抽取的40个企业中任取2个,设为产值不超过500万元的企业个数减去超过500万元的企业个数的差值,求的分布列及期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】分析：（1）根据频率分布直方图各矩形的面积和为可计算出.‎ ‎（2）根据频率分布直方图计算出产值小于500万元的企业共个，因此所求的概率为；‎ ‎（3）可取，运用超几何分布可以计算取各值的概率，从而得到其分布列和期望.‎ 详解：（1）根据频率分布直方图可知，．‎ 产值小于500万元的企业个数为：，‎ 所以抽到产值小于500万元的企业不超过两个的概率为．‎ ‎（3）的所有可能取值为，，．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎∴的分布列为：‎ 期望为：．‎ 点睛：（1）频率分布直方图中，各矩形的面积之和为1‎ ‎，注意直方图中，各矩形的高是； ‎ ‎（2）在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）．‎ ‎20．如图,某军舰艇位于岛的的正西方处,且与岛的相距12海里.经过侦察发现,国际海盗船以10海里/小时的速度从岛屿出发沿北偏东30°方向逃窜,同时,该军舰艇从处出发沿北偏东的方向匀速追赶国际海盗船,恰好用2小时追上.‎ ‎（1）求该军舰艇的速度.‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）14海里/小时；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）由题设可以得到的长，在中利用余弦定理可以得到的长，从而得到舰艇的速度；‎ ‎（2）在中利用正弦定理可得的值.‎ 详解：(1)依题意知，，，‎ 在中， 由余弦定理得 ‎，‎ 解得，所以该军舰艇的速度为海里/小时．‎ ‎(2)在中，由正弦定理，得，即．‎ 点睛：与解三角形相关的实际问题中，我们常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它们的差别.另外，把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定理去解决.‎ ‎21．已知函数，.‎ ‎（1）当 时，求函数图象在点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（3）是否存在实数，对任意，且有恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）①当， 在上单调递增；②当，时， 在，上单调递增，在上单调递减；③当时，在，上单调递增，在上单调递减；（3）．‎ ‎【解析】分析：（1）求出函数在的导数即可得切线方程；‎ ‎（2），就分类讨论即可；‎ ‎（3）不妨设，则原不等式可以化为，故利用为增函数可得的取值范围．‎ 详解：（1）当时，，，‎ 所以所求的切线方程为，即．‎ ‎（2），‎ ‎①当，即时，，在上单调递增．‎ ‎②当，即时，‎ 因为或时，；‎ 当时，，‎ 在和上单调递增，在上单调递减；‎ ‎③当，即时，‎ 因为或时，；‎ 当时，，‎ 在，上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（3）假设存在这样的实数，满足条件，‎ 不妨设，由知，‎ 令，则函数在上单调递增．‎ 所以，即在上恒成立，‎ 所以，故存在这样的实，满足题意，其取值范围为．‎ 点睛：（1）对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标；‎ ‎（2）一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．‎ ‎22．设，函数.‎ ‎（1）若，极大值；‎ ‎（2）若无零点，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若有两个相异零点，，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】分析：（1），根据导数的符号可知的极大值为；‎ ‎（2） ，就分类讨论即可；‎ ‎（3）根据可以得到，因此原不等式的证明可化为，可用导数证明该不等式.‎ 详解:（1）当时，，‎ 当时，，当时，，‎ 故的极大值为.‎ ‎（2），‎ ‎①若时，则，是区间上的增函数，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，函数在区间有唯一零点；‎ ‎②若，有唯一零点；‎ ‎③若，令，得，‎ 在区间上，，函数是增函数；‎ 在区间上，，函数是减函数；‎ 故在区间上，的极大值为，‎ 由于无零点，须使，解得，‎ 故所求实数的取值范围是．‎ ‎（3）由已知得， ‎ 所以，‎ 故等价于即．‎ 不妨设，令，，‎ 则，在上为单调增函数，‎ 所以即，也就是，故原不等式成立．‎ 点睛： 导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明．而要证明零点满足的不等式，则需要根据零点满足的等式构建新的目标等式，从而把要求证的不等式转化为易证的不等式．‎