安徽省安庆市桐城中学2019-2020学年高二上学期第三次月考数学（理）试题

安徽省安庆市桐城中学2019-2020学年高二上学期第三次月考数学（理）试题

‎2019-2020学年安徽省安庆市桐城中学高二（上）第三次月考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 设p：实数x，y满足且，q：实数x，y满足，则p是q的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 命题“，且”的否定形式是 A. ，且 B. ，或 C. ，且 D. ，或 3. 平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么 A. 甲是乙成立的充分不必要条件 B. 甲是乙成立的必要不充分条件 C. 甲是乙成立的充要条件 D. 甲是乙成立的非充分非必要条件 4. 已知条件p：，条件q：，则是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是 A. B. C. D. ‎ 6. 当时，设命题P：函数在区间上单调递增；命题Q：不等式对任意都成立．若“P且Q”是真命题，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 或 7. 已知方程表示双曲线，则m的取值范围是 A. B. C. 或 D. ‎ 8. 已知的周长为20，且顶点B ，C ，则顶点A的轨迹方程是 A. B. C. D. ‎ 9. 如图过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若，且，则抛物线的方程为 ‎ A. B. C. D. ‎ 1. 椭圆的两顶点为，，且左焦点为F，是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为 A. B. C. D. ‎ 2. 已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率e的取值范围为 A. B. C. D. ‎ 3. 已知椭圆，，为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，的重心为G，内心I，且有其中为实数，椭圆C的离心率 A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 4. 已知命题p：，，若命题p的逆否命题为真命题，则实数m的取值范围为______．‎ 5. 已知p：，q：，若是的必要不充分条件，则实数m的取值范围为______ ．‎ 6. P是双曲线的右支上一动点，F是双曲线的右焦点，已知，则的最小值为______．‎ 7. 已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为，，且它们在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线的离心率的取值范围为则该椭圆的离心率的取值范围是______ ．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 8. 已知，命题p：，，命题q：，． 若命题p为真命题，求实数a的取值范围； 若命题q为真命题，求实数a的取值范围． ‎ 9. 已知函数p：的值域是，q：关于a的不等式，若是充分不必要条件，求实数m的取值范围． ‎ 10. 已知命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆．命题q：实数m满足，其中．‎ 当且p和q均为真命题时，求实数m的取值范围；‎ 若p是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎ ‎ 1. 已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，长轴长为6，离心率为． 求椭圆的标准方程； 设椭圆在y轴的正半轴上的焦点为M，点A，B在椭圆上，且，求线段AB所在直线的方程． ‎ 2. 已知椭圆C：，直线l：与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点． 若直线l与直线为坐标原点的斜率之积为，求椭圆的方程； 在的条件下，y轴上是否存在定点M使得当k变化时，总有为坐标原点若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由． ‎ 3. 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是． Ⅰ求双曲线C的方程； Ⅱ若以为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由且，可得：，反之不成立，例如取，． 【解答】 解：由且，可得：，反之不成立：例如取，． 是q的充分不必要条件． 故选A． 2.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 根据全称命题的否定是特称命题，“变量词，否结论”即可得到结论． 【解答】 解：命题为全称命题， 则命题的否定为：，或， 故选D． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查椭圆的定义，解题的关键是注意在椭圆的定义中，一定要注意两个定点之间的距离小于两个距离之和． 当一个动点到两个定点距离之和等于定值时，再加上这个和大于两个定点之间的距离，可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，而点P的轨迹是以为焦点的椭圆，一定能够推出是定值． 【解答】 解：命题甲是：“是定值”， 命题乙是：“点P的轨迹是以为焦点的椭圆 当一个动点到两个定点距离之和等于定值时， 再加上这个和大于两个定点之间的距离， 可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出， 而点P的轨迹是以为焦点的椭圆，一定能够推出是定值， 甲是乙成立的必要不充分条件 故选B． 4.【答案】B ‎ ‎【解析】解：条件p：，条件q：，或 故条件p是条件q的充分不必要条件 则是的必要不充分条件 故选：B． 根据已知中条件p：，条件q：，我们可以判断出条件p与条件q 之间的充要关系，然后再根据四种命题之间充要性的相互关系，即可得到答案． 本题考查的知识点是充要条件，其中根据已知条件判断出条件p是条件q的充分不必要条件是解答本题的关键． 5.【答案】C ‎ ‎【解析】解：命题“，”“，” 是命题“，”为真命题的一个充分不必要条件． 故选：C． 先求命题“，”为真命题的一个充要条件即可 本题考查充分必要条件的概念，属于基础题． 6.【答案】A ‎ ‎【解析】解：函数在区间上单调递增； 在区间上恒成立， 在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 且 又不等式对任意都成立， ， 若“P且Q”是真命题， 则P且Q都是真命题，故由的交集得：， 则实数a的取值范围是． 故选：A． 题中条件：““P且Q”是真命题”，说明P且Q都是真，分别利用导数在区间上恒成立求出P是真，求出a的取值范围；Q是真时利用二次方程的根的判别式，求出a的取值范围．最后求出交集即得． 本小题主要考查函数单调性的应用、逻辑连接词“且”的应用、不等式的恒成立等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．不含逻辑连接词的命题，叫做简单命题．两个简单命题通过“或”、“且”连接或在一个命题前加“非”组成新的命题，叫做复合命题． 7.【答案】D ‎ ‎【解析】解：方程， ， 解得， 的取值范围是． 故选：D． 由方程表示双曲线，知，由此能求出m的取值范围． 本题考查实数m的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的灵活运用，是基本知识的考查． 8.【答案】B ‎ ‎【解析】解：的周长为20，顶点B ，C ， ，， 点A到两个定点的距离之和等于定值， 点A的轨迹是椭圆， ， ‎ ‎， 椭圆的方程是 故选：B． 根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点． 本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点． 9.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查了抛物线的标准方程，考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握，属于一般题． 分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设，根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得a，进而根据，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得． 【解答】 解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D， 设，则由已知得：， 由定义得：，故， 则在直角三角形ACE中，， ， ，， ， 从而得， ， 求得， 因此抛物线方程为． 故选D． 10.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查了椭圆的性质，要注意椭圆的离心率小于1，属基础题． 先求出F的坐标求出直线AB和BF的斜率，两直线垂直可知两斜率相乘得，进而求得a和c的关系式，进而求得e． 【解答】‎ 解：依题意可知点 直线AB斜率为， 直线BF 的斜率为， ， ， 整理得， 即，即， 解得或， ， ， 故选：C．‎ ‎ 11.【答案】A ‎ ‎【解析】解：已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为：N 则：连接AF，AN，AF，BF 所以：四边形AFBN为长方形． 根据椭圆的定义： ，则：． 所以： 利用 所以： 则： 即：椭圆离心率e的取值范围为 故选：A． 首先利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，所以：，再根据椭圆的定义：，由离心率公式由的范围，进一步求出结论． 本题考查的知识点：椭圆的定义，三角函数关系式的恒等变换，利用定义域求三角函数的值域，离心率公式的应用，属于中档题型． 12.【答案】A ‎ ‎【解析】解：设，为的重心， 点坐标为 ， ，轴， 的纵坐标为， 在焦点中，， 又为的内心，的纵坐标即为内切圆半径， 内心I把分为三个底分别为的三边，高为内切圆半径的小三角形 即， ， 椭圆C的离心率 故选：A． 在焦点中，设，由三角形重心坐标公式，可得重心G的纵坐标，因为，故内心I的纵坐标与G相同，最后利用三角形的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和建立a、b、c的等式，即可解得离心率 本题考查了椭圆的标准方程和几何意义，重心坐标公式，三角形内心的意义及其应用，椭圆离心率的求法 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由于命题p 的逆否命题为真命题， 则：原命题为真命题， 故：命题p：，，为真命题， 则：， 解得：， 故：m的取值范围是． 故答案为： 直接利用原命题和逆否命题的等价性判断真假，进一步利用判别式求出结果． 本题考查的知识要点：四个命题的应用，等价命题的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：因为是的必要不充分条件， 所以q是p的必要不充分条件， 即，但q推不出p， 即，即， 所以． 故答案为： 将条件是的必要不充分条件，转化为q是p的必要不充分条件，进行求解． 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用逆否命题的等价性，将条件进行转化是解决本题的关键，主要端点等号的取舍． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：设双曲线左焦点为，则 当P、、A三点共线时有最小值，此时、所以 ，而对于这个双曲线，， 所以最小值为 故答案为 设双曲线左焦点为，根据双曲线的定义可知，进而可知当P、、A三点共线时有最小值，根据双曲线方程可求的的坐标，此时，利用两点间的距离公式求得答案． 本题主要考查了双曲线的应用．解题的过程灵活运用了双曲线的定义和用数形结合的方法解决问题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：如图，设双曲线的半实轴长，半焦距分别为，c， 是以为底边的等腰三角形．若， ，即， ， 又由双曲线的离心率的取值范围为． 故． ， 设椭圆的半长轴长为， 则， 即 故 故答案为： 17.【答案】解：命题p：，为真命题， ，解得， 实数a的取值范围为； 命题q ‎：，为真命题， 在单调递增，在单调递减， 当时，a取最大值，当时，当时， 实数a的取值范围为： ‎ ‎【解析】由题意解可得； 问题转化为的值域，由“对勾函数”的单调性可得． 本题考查带量词的命题，涉及一元二次方程根的存在性和“对勾函数”的单调性，属基础题． 18.【答案】解：的值域是， 的值域是， 则，得， 得或，即p：或， ， ， 得或， 即q：或， 若是充分不必要条件， 则q是p的充分不必要条件， 则，即， 得， 即实数m的取值范围是得． ‎ ‎【解析】根据条件方程求出命题p，q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行转化求解即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合条件求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键． 19.【答案】解：Ⅰ方程表示焦点在x轴上的椭圆， 则，得，得， 若，由得， 若则p，q同时为真，则． Ⅱ由，． 得，得，即q：，：或， 是的充分不必要条件， 或， 即或， ， 或 即实数a的取值范围是 ‎ ‎【解析】本题主要考查充分条件和必要条件的应用以及复合命题的应用，比较基础． Ⅰ求出命题p，q成立的等价条件进行求解即可． Ⅱ根据充分条件和必要条件的定义进行不等式关系进行求解即可． 20.【答案】解：由题意可设椭圆的标准方程为：． 长轴长为6，离心率为，，又， 联立解得，，． 椭圆的标准方程为． ． 设直线AB的方程为，， ‎ 联立，化为， ，． 又，． 联立可得，解得． ． 直线AB的方程为． ‎ ‎【解析】由题意可设椭圆的标准方程为：由已知可得，，又，联立解得即可． 设直线AB的方程为，，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，又，可得联立解得即可． 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21.【答案】解：由得， 显然， 设，，， 则，， ，． ． ． 所以椭圆C的方程为． 假设存在定点M，且设， 由得． ． 即， ． 由知，， ． ． 所以存在定点使得． ‎ ‎【解析】根据题意，联立直线与椭圆的方程，可得，设，，，用k表示D的坐标，分析可得解可得的值，将其代入椭圆的方程即可得答案； 假设存在定点M，且设，分析易得，即，变形分析可得，结合根与系数的关系分析可得，计算可得m的值，即可得答案． 本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，关键是求出椭圆的标准方程． 22.【答案】解：Ⅰ解：设双曲线C的方程为． 由题设得，解得，所以双曲线方程为． Ⅱ解：设直线l的方程为． 点，的坐标满足方程组 将式代入式，得，整理得． 此方程有两个不等实根，于是，且． 整理得 由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标满足，． 从而线段MN的垂直平分线方程为． 此直线与x轴，y 轴的交点坐标分别为，． 由题设可得． 整理得，． 将上式代入式得，整理得，． 解得或． 所以k的取值范围是． ‎ ‎【解析】设出双曲线方程，根据焦点坐标及渐近线方程求出待定系数，即得双曲线C的方程． 设出直线l的方程，代入双曲线C的方程，利用判别式及根与系数的关系求出MN的中点坐标，从而得到线段MN的垂直平分线方程，通过求出直平分线与坐标轴的交点，计算围城的三角形面积，由判别式大于0，求得k的取值范围． 本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力． ‎