2020学年高一数学第一次月考试题（含解析）

2020学年高一数学第一次月考试题（含解析）

‎2019学年高一数学第一次月考试题（含解析）‎ 一、选择题（共12小题，每题5分）‎ ‎1. 设集合A={x∈Q|x＞﹣1}，则（　　）‎ A. B. C. D. ⊈A ‎【答案】B ‎【解析】试题分析： A中元素为大于负一的有理数，故选B．‎ 考点：集合间的关系 ‎2. 已知集合A到B的映射f：x→y=2x+1，那么集合A中元素2在B中的象是（　　）‎ A. 5 B. 2 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为 ,所以选A.‎ ‎3. 用集合表示图中阴影部分是（　　） ‎ A. （∁UA）∩B B. （∁UA）∩（∁UB）‎ C. A∩（∁UB） D. A∪（∁UB）‎ ‎【答案】C ‎............‎ ‎4. 下列函数是偶函数的是（　　）‎ A. y=x B. y=2x2﹣3 C. D. y=x2，x∈[0，1]‎ ‎【答案】B ‎【解析】y=x为奇函数, y=2x2﹣3是偶函数,为奇函数, y=x2，x∈[0，1]既不是奇函数也不是偶函数,所以选B.‎ ‎5. 在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（　　）‎ A. f（x）=x﹣1，g（x）= ‎ - 8 -‎ B. f（x）=x，g（x）= ‎ C. f（x）=x+1，x∈R，g（x）=x+1，x∈Z D. f（x）=|x+1|，g（x）= ‎ ‎【答案】D ‎【解析】f（x）=x﹣1与g（x）=定义域不同, f（x）=x与g（x）=定义域不同, f（x）=x+1，x∈R与g（x）=x+1，x∈Z定义域不同, g（x）=,所以f（x）=|x+1|与g（x）=为同一函数，选D.‎ ‎6. 已知集合A={0，1，2}，B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，则B=（　　）‎ A. {0，1，2，3，4} B. {0，1，2} C. {0，2，4} D. {1，2}‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为 ，所以B={0，1，2，3，4}，选A.‎ ‎7. 已知函数f（x）= ，则f（f（﹣3））=（　　）‎ A. 0 B. π C. π2 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ，选B.‎ 点睛：分段函数求值的解题思路；求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．‎ ‎8. 全集为实数集R，M={x|﹣2≤x≤2}，N={x|x＜1}，则（∁RM）∩N=（　　）‎ A. {x|x＜﹣2} B. {x|﹣2＜x＜1}‎ C. {x|x＜1} D. {x|﹣2≤x＜1}‎ ‎【答案】A ‎【解析】 （∁RM）∩N={x|x＜﹣2}，选A.‎ ‎9. 函数f（x）=x2+2ax+a2﹣2a在区间（﹣∞，3]上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）‎ A. （﹣∞，3] B. [﹣3，+∞） C. （﹣∞，-3] D. [3，+∞）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得 ，选C.‎ - 8 -‎ ‎10. 已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（　　）‎ A. （﹣1，1） B. （，1） C. （﹣1，0） D. （﹣1，﹣）‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得 ，选D.‎ 点睛：对于抽象函数定义域的求解 ‎(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．‎ ‎11. 已知函数y=f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（2a﹣1）＜f（1﹣a），则实数a的取值范围是（　　）‎ A. B. （0，2） C. D. （0，+∞）‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：函数y=f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，‎ 则有： ， ‎ 故选C．‎ 点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内 ‎12. 设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式 ＜0的解集为（　　）‎ A. （﹣1，0）∪（1，+∞） B. （﹣∞，﹣1）∪（0，1）‎ C. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D. （﹣1，0）∪（0，1）‎ ‎【答案】D ‎【解析】略 二．填空题（共4小题，每题5分）‎ ‎13. 已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=_____．‎ ‎【答案】{3，4}．‎ ‎【解析】A∩B={1，2，3，4}∩{3，4，5}={3，4}．‎ - 8 -‎ ‎14. 幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，4），则f（﹣3）的值是_____．‎ ‎【答案】9．‎ ‎【解析】由题意得 ‎ ‎15. 函数f（x）=的单调递减区间为_____．‎ ‎【答案】（﹣∞，﹣3]．‎ ‎【解析】由题意得 ，即单调递减区间为（﹣∞，﹣3]．‎ 点睛：1．复合函数单调性的规则 若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．‎ ‎2．函数单调性的性质 ‎(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数，更进一步，即增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；‎ ‎(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；‎ ‎(3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝单调性相反；‎ ‎(4)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝单调性相同；‎ ‎(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．‎ ‎16. 已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），则下列各式恒成立的是_____．‎ ‎①f（0）=0； ②f（3）=3f（1）； ③f（）=f（1）； ④f（﹣x）f（x）＜0．‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】解：令x=y=0得f（0）=2f（0），所以f（0）=0，所以①恒成立；‎ 令x=2，y=1得f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1），所以②恒成立；‎ 令x=y=得f（1）=2f（），所以f（）=f（1），所以③恒成立；‎ 令y=﹣x得f（0）=f（x）+f（﹣x），即f（﹣x）=﹣f（x），所以f（﹣x）f（x）=﹣[f（x）]2≤0，所以④不恒成立．‎ - 8 -‎ 故答案为：①②③‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17. 已知集合M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N．求a、b的值．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为M=N，所以根据集合元素的互异性，可知,解出a,b值再验证是否满足互异性的要求.‎ 由M＝N及集合元素的互异性得：或 解上面的方程组得，或或 再根据集合中元素的互异性得，或 ‎18. 已知集合A={x|1＜x﹣1≤4}，B={x|x＜a}．‎ ‎（Ⅰ）当a=3时，求A∩B；‎ ‎（Ⅱ）若A⊆B，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）{x|2＜x＜3}（2）a＞5‎ ‎【解析】试题分析：（1）先解集合A,再结合数轴求交集得A∩B；（2）根据数轴确定满足A⊆B时实数a的取值范围．‎ 试题解析：解：（Ⅰ）∵1＜x﹣1≤4，∴2＜x≤5‎ 故A={x|2＜x≤5}‎ 当a=3时，B={x|x＜3}‎ ‎∴A∩B={x|2＜x＜3}‎ ‎（Ⅱ）∵A⊆B，∴a＞5‎ ‎19. 已知f（x）= ，g（x）=x2+2．‎ ‎（1）求f（2），g（2），f[g（2）]；‎ ‎（2）求f[g（x）]的解析式．‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）将自变量2代入f（x），g（x）解析式即得f（2），g（2），将g（2）作为自变量代入f（x）即得f[g（2）]；（2）将g（x）作为自变量代入f（x）即得f[g（x）]‎ - 8 -‎ 试题解析：解：（1）f（2）= ，g（2）=22+2=6，‎ 把g（2）=22+2=6代入f（x）= ，得f[g（2）]=f（6）= ；‎ ‎（2）f[g（x）]= ‎ ‎20. 已知函数 ，‎ ‎（Ⅰ） 证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；‎ ‎（Ⅱ） 求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2） ‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)利用函数的单调性的定义进行证明； (Ⅱ)利用前一步所证的函数的单调性确定其最值．‎ 试题解析：(Ⅰ) 设，且,则 ‎ ‎　∴　∴，∴‎ ‎∴　‎ ‎∴，即 ‎∴在上是增函数.‎ ‎(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知在上是增函数 ‎∴当时，‎ ‎∴当时，‎ 综上所述，在上的最大值为，最小值为.‎ ‎21. 设f（x）=x2﹣4x﹣4，x∈[t，t+1]（t∈R），求函数f（x）的最小值的解析式，并作出此解析式的图象．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】试题分析：根据对称轴 x=2与定义区间[t，t+1]位置关系，讨论确定最小值取法，再利用分段函数形式写最小值的解析式，最后按三段依次作出函数图像 试题解析：解：f（x）=x2﹣4x﹣4=（x﹣2）2﹣8，即抛物线开口向上，对称轴为x=2，最小值为﹣8，过点（0，﹣4），‎ - 8 -‎ 结合二次函数的图象可知：‎ 当t+1＜2，即t＜1时，f（x）=x2﹣4x﹣4，x∈[t，t+1]（t∈R）在x=t+1处取最小值f（t+1）=t2﹣2t﹣7，‎ 当，即1≤t≤2时，f（x）=x2﹣4x﹣4，x∈[t，t+1]（t∈R）在x=2处取最小值﹣8，‎ 当t＞2时，f（x）=x2﹣4x﹣4，x∈[t，t+1]（t∈R）在x=t处取最小值f（t）=t2﹣4t﹣4，‎ 即最小值为g（t），由以上分析可得， ，作图象如下；‎ 点睛：研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆（A⊆）即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧)．‎ ‎22. 已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足对任意a，b∈（0，+∞）都有f（ab）=f（a）+f（b），且当x＞1时，f（x）＜0．‎ ‎（Ⅰ）求f（1）的值；‎ ‎（Ⅱ）判断f（x）的单调性并证明；‎ ‎（Ⅲ）若f（3）=﹣1，解不等式f（x）+f（x﹣8）＞﹣2．‎ ‎【答案】（1）f（1）=0（2）见解析（3）（8，9）‎ - 8 -‎ ‎【解析】试题分析：（1）赋值法求f（1）的值：令a=b=1，可得f（1）=2f（1），解得f（1）=0；（2）取两个特殊值判断函数单调性，再利用单调性定义证明，作差时利用f（x2）﹣f（x1）=f（ ）再结合当x＞1时，f（x）＜0可得差的符号.（3）利用及时定义可得f（x）+f（x﹣8）=f[x（x﹣8）]，根据赋值法可得f（9）=2f（3）=﹣2，再根据单调性可得，解不等式组可得不等式解集 试题解析：解：（1）对∀a，b∈（0，+∞）都有f（ab）=f（a）+f（b），令a=b=1，可得f（1）=2f（1），解得f（1）=0；‎ ‎ （Ⅱ） 证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，‎ 则f（x2）﹣f（x1）=f（ ）﹣f（x1）=f（）+f（x1）﹣f（x1）=）=f（）‎ ‎∵，∴，∴f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）．‎ ‎∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．‎ ‎（Ⅲ）令a=b=3，可得f（9）=2f（3）=﹣2，‎ ‎∴f（x）+f（x﹣8）＞﹣2⇒f[x（x﹣8）]＞f（9）‎ ‎⇒ ．‎ 不等式f（x）+f（x﹣8）＞﹣2的解集为：（8，9）‎ ‎　‎ - 8 -‎