安徽省蚌埠市2018届高三第三次质量检测 数学（理）（PDF版含答案）

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书书书 蚌埠市 ２０１８届高三年级第三次教学质量检查考试 数　　学（理工类） 一、选择题：本题共 １２小题，每小题 ５分，共 ６０分 在每小题给出的 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． １已知全集 Ｕ＝Ｒ，集合 Ａ＝｛ｘ｜ｌｇｘ≤０｝，Ｂ＝｛ｘ｜｜ｘ＋１｜＞１｝，则（瓓ＵＡ）∩Ｂ＝ Ａ（－２，１） Ｂ（－∞，－２］∪（１，＋∞） Ｃ［－２，１） Ｄ（－∞，－２）∪（１，＋∞） ２已知复数 ｚ＝－３＋４ｉ ２－ｉ，则 ｚ·ｚ— ＝ 槡 槡Ａ－５ Ｂ５ Ｃ－ ５ Ｄ ５ ３命题“ｘ０∈Ｒ，ｅｘ０ ＞２ｘ０ ３”的否定是 Ａｘ０Ｒ，ｅｘ０ ＞２ｘ０ ３ Ｂｘ０∈Ｒ，ｅｘ０≤２ｘ０ ３ ＣｘＲ，ｅｘ＞２ｘ３ Ｄｘ∈Ｒ，ｅｘ≤２ｘ３ ４已知随机变量 Ｘ服从正态分布 Ｎ（１，σ２），若 Ｐ（Ｘ≤２）＝０７２，则 Ｐ（Ｘ≤０）＝ Ａ０２２ Ｂ０２８ Ｃ０３６ Ｄ０６４ ５已知ａ＝（２，１），ｂ＝（－１，１），则ａ在ｂ方向上的投影为 Ａ－槡２ ２ Ｂ槡２ ２ Ｃ－槡５ ５ Ｄ槡５ ５ ６根据如下样本数据： ｘ ３ ５ ７ ９ ｙ ６ ａ ３ ２ 得到回归方程 ｙ∧ ＝－０７ｘ＋８２，则 Ａａ＝５ Ｂ变量 ｘ与 ｙ线性正相关 Ｃ当 ｘ＝１１时，可以确定 ｙ＝０５ Ｄ变量 ｘ与 ｙ之间是函数关系 ７若正数 ｘ，ｙ满足约束条件 ２＜ｘ＋２ｙ＜４，则ｙ＋１ ｘ＋１的取值范围是 Ａ １ ５，( )３ Ｂ １ ３，( )２ Ｃ １ ５，( )２ Ｄ １ ３，( )３ ８４名大学生到三家单位应聘，每名大学生至多被一家单位录用，则每家单位至少录用一名大 学生的情况有 Ａ２４种 Ｂ３６种 Ｃ４８种 Ｄ６０种 ）页４共（页１第卷试）理（学数级年三高市埠蚌 　（第 ９题图） ９如图，网格纸的小正方形的边长是 １，粗线为某几何体的三视图， 则该几何体的体积为 Ａ２π ３ 　　　　Ｂπ Ｃ２π 　　　　Ｄ４π １０点 Ａ是椭圆ｘ２ ４＋ｙ２ ３＝１与双曲线ｘ２ ａ２ －ｙ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的一条 渐近线的交点，若点 Ａ的横坐标为 １，则双曲线的离心率等于 Ａ４ ３ Ｂ３ ２ Ｃ槡１３ ２ Ｄ５ ３ １１正实数 ｘ，ｙ满足 ｘｌｇｙｙｌｇｘ＝１００，则 ｘｙ的取值范围是 Ａ １ １００，[ ]１００ Ｂ０，１( ]１００∪［１００，＋∞］ Ｃ０，１( ]１０∪［１０，＋∞］ Ｄ １ １０，[ ]１０ １２圆 Ｃ的方程为：（ｘ＋ａ）２＋（ｙ－ａ）２＝１，点 Ａ（０，３），Ｏ为坐标原点．若圆 Ｃ上存在点 Ｐ，使 得｜ＰＡ｜＝２｜ＰＯ｜，则 ａ的取值范围是 Ａ 槡－１－ １７ ２ ，( )－１∪ ０， 槡－１＋ １７( )２ Ｂ 槡－１－ １７ ２ ， 槡－１＋ １７( )２ Ｃ 槡－１－ １７ ２ ，[ ]－１∪ ０， 槡－１＋ １７[ ]２ Ｄ 槡－１－ １７ ２ ， 槡－１＋ １７[ ]２ 二、填空题：本题共 ４小题，每小题 ５分，共 ２０分． １３曲线 ｙ＝ｅｘ＋ｃｏｓｘ在（０，２）处的切线方程为 ． １４二项式 ２ｘ－１( )ｘ ６ 的展开式中常数项为 （用数字表示）． １５函数 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（２ｘ＋φ）－２ｃｏｓ（２ｘ＋φ）（０≤φ≤ π ２）的图像关于 ｘ＝π ４对称，则 ｓｉｎφ＝ ． １６已知正方体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的所有顶点均在球 Ｏ的表面上，Ｅ，Ｆ，Ｇ分别为 ＡＢ，ＡＤ，ＡＡ１ 的中点，则平面 ＥＦＧ与平面 ＢＣ１Ｄ截球 Ｏ所得圆的面积之比为 ． 三、解答题：共 ７０分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第 １７～２１题为必考题，每 个试题考生都必须作答．第 ２２、２３题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 ６０分 １７（１２分） 数列｛ａｎ｝是以 ２为公差的等差数列，且 ａ２，ａ４，ａ８为等比数列． （Ⅰ）数列｛ａｎ｝的通项公式； （Ⅱ）若 ｂｎ＝ａ２ｎ，求数列｛ｂｎ｝的前 ｎ项之和． ）页４共（页２第卷试）理（学数级年三高市埠蚌 １８（１２分） 如图 １，四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ＝ＤＣ＝２，ＢＣ 槡＝２ ２，∠ＡＢＣ＝４５°，Ｍ为 ＡＤ的中点，Ｑ为 ＡＢ的中点，沿 ＡＣ把△ＡＤＣ折起使点 Ｄ到点 Ｐ（如图 ２），若平面 ＰＡＣ⊥平面 ＰＡＢ． （Ⅰ）证明：平面 ＰＡＣ⊥平面 ＡＢＣ； （Ⅱ）求二面角 Ｍ－ＱＣ－Ａ的正切值． （第 １８题图） １９（１２分） 某地区高考实行新方案，规定：除必考语文、数学和英语外，考生还须从物理、化学、生物、 历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出 了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定． 例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化 学和生物”为其选考方案． 某学校为了解高一年级 ４２０名学生选考科目的意向，随机选取 ３０名学生进行了一次调 查，统计选考科目人数如下表： 性　别 选考方案确定情况 物　理 化　学 生　物 历　史 地　理 政　治 男　生 选考方案确定的有 ８人 ８ ８ ４ ２ １ １ 选考方案待确定的有 ６人 ４ ３ ０ １ ０ ０ 女　生 选考方案确定的有 １０人 ８ ９ ６ ３ ３ １ 选考方案待确定的有 ６人 ５ ４ １ ０ ０ １ （Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？ （Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的 从选考方案确定的 ８位男生中随机选 出 １人，从选考方案确定的 １０位女生中随机选出 １人，试求该男生和该女生的选考 方案中都含有历史学科的概率； （Ⅲ）从选考方案确定的 ８名男生中随机选出 ２名， 设随机变量 ξ＝ １，２名男生选考方案相同， ２，２名男生选考方案不同{ ， 求 ξ的分布列及数学期望 Ｅξ． ）页４共（页３第卷试）理（学数级年三高市埠蚌 　（第 ２０题图） ２０（１２分） 已知 Ｆ为抛物线 Ｃ：ｘ２ ＝４ｙ的焦点，Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２， ｙ２）为抛物线上两点，分别过 Ａ，Ｂ作抛物线的切线交 于点 Ｐ． （Ⅰ）若直线 ＰＡ交 ｙ轴于点 Ｑ，证明：｜ＦＱ｜＝ｙ１＋１； （Ⅱ）设 ＰＡ，ＰＢ分别交 ｘ轴于 Ｍ，Ｎ两点，问△ＰＭＮ的 外接圆是否过定点，如果是，求出定点坐标，如果 不是，说明理由． ２１（１２分） 已知函数 ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ ｘ （Ⅰ）求函数 ｆ（ｘ）的单调区间； （Ⅱ）记函数 ｇ（ｘ）＝（ｘ＋１）ｆ（ｘ＋１）．若ｘ∈（０，１］，ｇ（ｘ）≥ ｘ ａｘ＋１恒成立，求正实数 ａ的 最小值． （二）选考题：共 １０分．请考生在第 ２２、２３题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． ２２［选修 ４—４：坐标系与参数方程］（１０分） 在直角坐标系 ｘＯｙ中，直线 ｌ的参数方程为 ｘ＝－１ ２ｔ， ｙ 槡＝３３＋槡３ ２ｔ{ ， （ｔ为参数），以 Ｏ为极点，ｘ轴 非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 Ｃ的极坐标方程为 ρ＝２ｃｏｓθ，射线 ＯＭ：θ＝π ３（ρ≥０）与 圆 Ｃ交于点 Ｏ，Ｐ，且与直线 ｌ交于点 Ｑ． （Ⅰ）求直线 ｌ的极坐标方程； （Ⅱ）求线段 ＰＱ的长度． ２３［选修 ４—５：不等式选讲］（１０分） 设 ｆ（ｘ）＝｜２ｘ－ａ｜＋｜ｘ－ａ｜． （Ⅰ）若 ａ＝１，解关于 ｘ的不等式 ｆ（ｘ）＞２； （Ⅱ）求证：ｆ（ｔ）＋ｆ －１( )ｔ ≥６． ）页４共（页４第卷试）理（学数级年三高市埠蚌 蚌埠市 ２０１８届高三年级第三次教学质量检查考试 数学（理工类）参考答案及评分标准 一、选择题 题　号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答　案 Ｄ Ｂ Ｄ Ｂ Ａ Ａ Ａ Ｄ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ 二、填空题 １３ｘ－ｙ＋２＝０　　１４－１６０　　１５ 槡２５ ５ 　　１６５ ８ 三、解答题 １７（Ⅰ）由已知得 ａ２ ４＝ａ２ａ８，即 （ａ１＋３ｄ）２＝（ａ１＋ｄ）（ａ１＋７ｄ）． （２分）………………………………………………… 可得 ａ１＝２， （４分）……………………………………………………………………… ∴ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ＝２ｎ （６分）……………………………………………………… （Ⅱ）ｂｎ＝ａ２ｎ ＝２·２ｎ （９分）…………………………………………………………………… Ｓｎ＝４（１－２ｎ） １－２ ＝２ｎ＋２－４ （１２分）……………………………………………………… １８（Ⅰ）在△ＡＢＣ中，由余弦定理可得 ＡＣ＝２， （２分）………………………………………… ∴△ＡＢＣ为直角三角形，△ＡＣＤ是等边三角形，且 ＡＢ⊥ＡＣ，ＣＭ⊥ＡＰ． ∵面 ＰＡＣ⊥面 ＰＡＢ且交线为 ＡＰ， ∴ＣＭ⊥面 ＰＡＢ， （４分）………………………………………………………………… ∴ＣＭ⊥ＡＢ，从而 ＡＢ⊥面 ＡＰＣ ∵ＡＢ面 ＡＢＣ ∴面 ＰＡＣ⊥面 ＡＢＣ． （６分）……………………………………………………………… 　（第 １８题答案图） （Ⅱ）过 Ｍ作 ＭＨ⊥ＡＣ垂足为 Ｈ，过 Ｈ作 ＨＥ⊥ＣＱ垂足为 Ｅ 连接 ＭＥ，则∠ＭＥＨ为所求二面角的平面角 （８分） ………… ……………………………………………… 在△ＡＭＣ及△ＣＱＨ中，由面积法易得 ＭＨ＝槡３ ２，ＨＥ＝ 槡３５ １０ （１０分）…………………………… ∴ｔａｎ∠ＭＥＨ＝ＭＨ ＨＥ＝槡１５ ３ ． （１２分）………………… （向量法略） ）页４共（页１第案答考参）理（学数级年三高市埠蚌 １９（Ⅰ）由题意可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有 ４人，选考方案确定的女 生中确定选考生物的学生有 ６人， 该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有１０ １８×１８ ３０×４２０＝１４０人． （３分）………………………………………………………………………………… （Ⅱ）由数据可知，选考方案确定的 ８位男生中选出 １人选考方案中含有历史学科的概率 为 ２ ８＝１ ４； （５分）………………………………………………………………………… 选考方案确定的 １０位女生中选出 １人选考方案中含有历史学科的概率为 ３ １０． （７分） …… ………………………………………………………………………………… 所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为 １ ４×３ １０＝３ ４０． （８分） ………… ………………………………………………………………………………… （Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有 ４人选择物理、化学和生物；有 ２人选择物理、 化学和历史；有 １人选择物理、化学和地理；有 １人选择物理、化学和政治． 由已知得 ξ的取值为 １，２． Ｐ（ξ＝１）＝Ｃ２ ４＋Ｃ２ ２ Ｃ２ ８ ＝１ ４， Ｐ（ξ＝２）＝Ｃ１ ４（Ｃ１ ２＋Ｃ１ ２）＋Ｃ１ ２×２＋１ Ｃ２ ８ ＝３ ４， （或 Ｐ（ξ＝２）＝１－Ｐ（ξ＝１）＝３ ４．） 所以 ξ的分布列为 ξ １ ２ Ｐ １ ４ ３ ４ 所以 Ｅξ＝１×１ ４＋２×３ ４＝７ ４． （１２分）………………………………………………… ２０（Ⅰ）由 ｙ′＝１ ２ｘ得 ＰＡ：ｙ＝１ ２ｘ１（ｘ－ｘ１）＋ｙ１＝１ ２ｘ１ｘ－ｙ１ （３分）………………………… 令 ｙ＝０得 Ｑ（０，－ｙ１） ∴｜ＦＱ｜＝ｙ１＋１ （５分）………………………………………………………………… （Ⅱ）由（Ⅰ）知，ＰＡ：ｙ＝１ ２ｘ１ｘ－ｙ１，令 ｙ＝０得 Ｍ ２ｙ１ ｘ１ ，( )０，即 Ｍ ｘ１ ２，( )０ （７分）…………… ∵ｋＰＡ·ｋＭＦ ＝ｘ１ ２· －１ ｘ１ ２ ＝－１ （９分）…………………………………………………… ∴ＰＡ⊥ＦＭ ）页４共（页２第案答考参）理（学数级年三高市埠蚌 同理 ＰＢ⊥ＦＮ （１１分）…………………………………………………………………… ∴Ｐ，Ｍ，Ｆ，Ｎ四点共圆，即△ＰＭＮ的外接圆过定点 Ｆ（０，１）． （１２分）……………… ２１（Ⅰ）依题意 ｆ′（ｘ）＝１－ｌｎｘ ｘ２ （２分）…………………………………………………………… 令 ｆ′（ｘ）＞０，得 ０＜ｘ＜ｅ， 令 ｆ′（ｘ）＜０，得 ｘ＞ｅ （４分）…………………………………………………………… ∴ｆ（ｘ）的单调增区间为（０，ｅ），单调减区间为（ｅ，＋∞） （６分）……………………… （Ⅱ）令 Ｈ（ｘ）＝ｇ（ｘ）－ ｘ ａｘ＋１＝ｌｎ（ｘ＋１）－ ｘ ａｘ＋１，ｘ∈（０，１］ Ｈ′（ｘ）＝ １ ｘ＋１－ １ （ａｘ＋１）２＝ｘ［ａ２ｘ＋（２ａ－１）］ （ｘ＋１）（ａｘ＋１）２ （８分）………………………………… ① 若 ａ≥ １ ２，则 ａ２ｘ＋（２ａ－１）≥０，∴Ｈ′（ｘ）≥０ ∴Ｈ（ｘ）在（０，１］上单调递增，∴Ｈ（ｘ）≥Ｈ（０）＝０，结论成立． （９分）…………… ② 若槡２－１＜ａ＜１ ２，则 Ｈ′（ｘ）＝０ｘ＝１－２ａ ａ２ ＝ １( )ａ ２ －２ １( )ａ ∈（０，１）， ∴ｘ∈ ０，１－２ａ ａ( )２ ，Ｈ′（ｘ）＜０， ∴Ｈ（ｘ） ０，１－２ａ ａ( )２ 上单调递减，∴Ｈ １－２ａ ａ( )２ ＜Ｈ（０）＝０，不合题意． （１０分）…… ③ 若 ０＜ａ≤槡２－１，则 Ｈ（１）＝ｌｎ２－ １ ａ＋１≤ｌｎ２－槡２ ２＜０，不合题意． （１１分）……… 综上所述，ａ的最小值为 １ ２． （１２分）………………………………………………… ２２（Ⅰ）将直线 ｌ的参数方程化为普通方程为槡３ｘ＋ｙ 槡＝３３． （２分）………………………… 再结合 ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ，得直线 ｌ的极坐标方程为槡３ρｃｏｓθ＋ρｓｉｎθ 槡＝３３， 即 ２ρｓｉｎθ＋π( )３ 槡＝３３． （４分）………………………………………………………… （Ⅱ）联立 ２ρｓｉｎθ＋π( )３ 槡＝３３， θ＝π ３（ρ≥０{ ）， 　解得 Ｑ ３，π( )３ ． （６分）………………………………… 联立 θ＝π ３（ρ≥０）， ρ＝２ｃｏｓθ{   ， 　解得 Ｐ １，π( )３ ． （８分）………………………………………… 则线段 ＰＱ的长度为 ３－１＝２． （１０分）………………………………………………… ２３（Ⅰ）当 ａ＝１时，ｆ（ｘ）＝｜２ｘ－１｜＋｜ｘ－１｜， （１分）………………………………………… ① 当 ｘ＜１ ２时，１－２ｘ＋１－ｘ＞２，∴ｘ＜０； （２分）……………………………………… ）页４共（页３第案答考参）理（学数级年三高市埠蚌 ② 当 １ ２≤ｘ≤１时，２ｘ－１＋１－ｘ＞２，∴无解； （３分）………………………………… ③ 当 ｘ＞１时，２ｘ－１＋ｘ－１＞２，∴ｘ＞４ ３， （４分）……………………………………… 综上所述，所求不等式的解集为｛ｘ｜ｘ＜０或 ｘ＞４ ３｝． （５分）………………………… （Ⅱ）证明：ｆ（ｔ）＋ｆ －１( )ｔ ＝｜２ｔ－ａ｜＋｜ｔ－ａ｜＋｜－２ ｔ－１｜＋｜－１ ｔ－ａ｜ ≥｜（２ｔ－ａ）－ －２ ｔ－( )ａ ｜＋｜（ｔ－ａ）－ －１ ｔ－( )ａ ｜＝｜２ｔ＋２ ｔ｜＋｜ｔ＋１ ｔ｜＝３｜ｔ＋１ ｔ｜ ≥３×２＝６， 当且仅当 ｔ＝±１时取等号． （１０分）…………………………………………………… ）页４共（页４第案答考参）理（学数级年三高市埠蚌