湖北省武汉市49中等部分重点中学2020届高三10月月考数学试题

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湖北省武汉49中等部分重点中学2020届高三起点考试 数学文试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知全集，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由全集U＝R，求出B的补集，找出A与B补集的公共部分，即可确定出所求的集合．‎ ‎【详解】∵‎ 又由全集U＝R，∴＝{y|y≤0 }，‎ 则A∩（∁UB）＝{x|≤0 }=．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了交、补集的混合运算，求出集合B的补集是关键，属于基础题．‎ ‎2.在复平面内，复数 对应的点位于（　　）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，‎ ‎∴复数 对应的点位于第二象限 故选：B 点睛：复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．‎ ‎3.下列关于命题的说法错误的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”‎ B. “”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件 C. 若命题：，，则，‎ D. 命题“，”是真命题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用原命题与逆否命题的关系可判断出A选项的正误；根据充分必要性判断出B选项的正误；利用特称命题的否定可判断出C选项的正误；利用作商法和指数函数的单调性可判断出D选项的正误.‎ ‎【详解】对于A选项，命题的逆否命题，只需把原命题的结论否定当条件，条件否定当结论即可，A选项正确；‎ 对于B选项，若函数在区间上为增函数，则，所以，“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，B选项正确；‎ 对于C选项，特称命题的否定为全称，C选项正确；‎ 对于D选项，当时，由于函数为增函数，则，，D选项错误.故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查四种命题的关系、充分不必要条件的判断、特称命题的否定以及特称命题真假的判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.‎ ‎4.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．‎ ‎【详解】,故 故选：C ‎【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，熟记指对函数的单调性与底的关系是关键，属于基础题．‎ ‎5.已知等差数列满足，则中一定为0的项是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列通项公式即可得到结果.‎ ‎【详解】由得，，解得：，‎ 所以，，‎ 故选A ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎6.已知，sin4x的值为( )‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合诱导公式和二倍角的余弦公式即可求得sin4x的值.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以sin4x＝cos（4x）＝1–2，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查二倍角余弦公式的应用，属于中等题.‎ ‎7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当时，f(x)=，，则实数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由奇函数得，代入f(x)=即可求解m.‎ ‎【详解】函数f(x)是定义在R上的奇函数,,则 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性，对数的运算，是基础题.‎ ‎8.函数，的图象向左平移个单位得到函数的图象，已知是偶函数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：由图象变换得到的表达式，再由是偶函数，得到值，代入求值即可.‎ 详解：函数，的图象向左平移个单位 得到函数，又是偶函数，‎ ‎∴，又，∴，‎ ‎∴.‎ 故选：D 点睛：由y＝sin x的图象，利用图象变换作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)(x∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位．‎ ‎9.如图，、分别是三棱锥的棱、的中点，，，，则异面直线与所成的角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过辅助线将、平移至同一个平面内，再通过长度以及余弦定理计算所成角.‎ ‎【详解】如图所示：取中点，连接，‎ 因为、分别是棱、的中点，且为中点，所以且 ‎，所以且；所以异面直线与所成的角即为或其补角，则，所以，所以异面直线与所成的角即为的补角：.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，难度一般.当通过余弦定理计算出的角是钝角时，一定要注意取其补角，这里异面直线所成角的范围是：.‎ ‎10.某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，此三棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，进而求得半径.‎ ‎【详解】由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，此三棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，易得其外接球的直径为，从而外接球的表面积为.‎ 故答案为：C.‎ ‎【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)‎ 或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.‎ ‎11.关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请名同学每人随机写下一个都小于的正实数对；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数，最后再根据统计数估计的值，假如统计结果是，那么可以估计的值约为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过条件列出不等式组，画出可行域；根据满足条件概率可行域面积比上总面积，由此计算出的值..‎ ‎【详解】由条件可知：，作出可行域如图阴影部分所示： ‎ 所以落在阴影部分的概率：，解得：，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查几何概型的应用，难度一般.当几何概型的概率和随机数的模拟产生联系时，可通过将概率表示成随机数的个数之间的比率关系.‎ ‎12.已知抛物线：的交点为，准线为，是上一点，直线与曲线相交于，两点，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得直线PF的方程为，再将直线的方程与抛物线的方程组成方程组，消去y得到关于x的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段MN的长．‎ ‎【详解】抛物线：焦点为F(2,0)，准线为．如下图．‎ 设到准线的距离分别为，‎ 由抛物线的定义可知，‎ 于是．‎ 作MH⊥l于H，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 根据对称性可得直线AB的斜率为．‎ ‎∴直线PF的方程为.‎ 由消去y整理得，‎ ‎∴．‎ 于是．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】解答本题时注意两点：一是抛物线定义应用，即利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行转化，根据此结论可将问题的解决带来方便．二是代数方法的应用，将求弦长的问题转化为二次方程根与系数的关系求解，即借助代数方法求解几何问题．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13.已知向量，满足，，两向量的夹角为60°，则 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，‎ 所以．‎ 考点：平面向量的数量积的定义和性质．‎ ‎14.若，满足约束条件，则的最大值为_______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域，通过向下平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.‎ ‎【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.‎ ‎15.已知直线：与圆交于，两点，若，则实数的值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用几何法：半径、圆心距、半弦长构成直角三角形，来求解的值.‎ ‎【详解】因为圆心距，且（是圆的半径，是所截弦长），所以，解得：.‎ ‎【点睛】本题考查根据直线所截圆的弦长计算参数，难度一般.解答圆的弦长问题时，可通过几何法和代数法两种方法求解，几何法主要是利用半径、圆心距、半弦长构成直角三角形解决问题，代数法则是通过相应的坐标运算解答问题.‎ ‎16.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则实数________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求解在点处的切线方程；然后写出上某点的切线方程，两条切线方程作对比，求解出的值.‎ ‎【详解】令，，所以，所以，所以在处切线方程为：；设与切点为，且，所以在处切线方程为：，即，‎ 所以，所以.‎ ‎【点睛】本题考查通过公切线方程求解参数的值，难度一般.对于求解曲线的切线有关问题，一定要明确是“在某点处的切线”还是“过某点处的切线”，“在”表示该点一定在曲线上，“过”表示该点有可能不在曲线上，注意区分.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17.已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；‎ ‎（2）在中，分别是角的对边，若，，的面积为，求边的长.‎ ‎【答案】(1)最小正周期，单调递减区间是；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）解析式可化为，由此可得最小正周期，将代入正弦函数的增区间，求得x的范围即可得到函数的单调增区间．（2）由可得，根据的 面积为可得，然后由余弦定理可得．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵ ‎ ‎∴最小正周期 由，‎ 得,,‎ ‎∴函数的单调递减区间是 ．‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴，‎ ‎ ∴，‎ ‎∵‎ ‎∴ .‎ 又， ‎ ‎∴ ，‎ 由余弦定理得 ，‎ 又，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ．‎ 点睛：利用正、余弦定理求解三角形面积问题的题型与方法 ‎(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的各个边角后，直接求三角形的面积．‎ ‎(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他各量．‎ ‎(3)求三角形面积的最值或范围，这时一般要先得到面积的表达式，再通过基本不等式、三角函数的最值等方法求得面积的最值或范围．‎ ‎18.若数列的前项和，且，等比数列的前项和，且.‎ ‎（1）求和的通项公式 ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）,；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据求解通项公式，同理根据求解的通项公式，都要注意的验证；（2）符合等差乘以等比的形式，用错位相减法完成求和.‎ ‎【详解】（1）由，‎ 得：，‎ ‎∵符合公式，‎ 同理：由，‎ 推得：，‎ ‎∵是等比数列，‎ ‎∴‎ 或：‎ ‎（2），是其前项和，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 两式相减得：‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查求数列的通项以及错位相减法求和，难度一般.（1）当一个数列的通项公式符合：等差等比的形式，此时对数列求和用错位相减法；（2）利用求解通项公式时，一定要记得检验的情况.‎ ‎19.如图，在四边形中，，，点在上，且，，现将沿折起，使点到达点的位置，且. ‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据折叠前后关系得PC⊥CD，根据平几知识得BE//CD，即得PC⊥BE，再利用线面垂直判定定理得EB⊥平面PBC，最后根据面面垂直判定定理得结论，（2）先根据线面垂直EB⊥平面PBC得高，再根据等积法以及三棱锥体积公式得结果.‎ ‎【详解】（1）证明：∵AB⊥BE，AB⊥CD，∴BE//CD，‎ ‎∵AC⊥CD，∴PC⊥CD，∴PC⊥BE， ‎ 又BC⊥BE，PC∩BC=C，‎ ‎∴EB⊥平面PBC， ‎ 又∵EB平面DEBC，∴平面PBC 平面DEBC；‎ ‎（2）解法1：∵AB//DE，结合CD//EB 得BE=CD=2，‎ 由（1）知EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，由PE得,‎ ‎∴△PBC为等边三角形， ∴, ‎ ‎∴ . ‎ 解法2：∵AB//DE，结合CD//EB 得BE=CD=2， ‎ 由（1）知EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，由PE，‎ 得, ∴△PBC为等边三角形，‎ 取BC的中点O，连结OP，则,∵PO⊥BC，∴PO⊥平面EBCD，‎ ‎∴ .‎ ‎【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎20.近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“”模式初露端倪，其中语、数、外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分，假定省规定：选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体、、、分别赋分分、分、分、分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，省某高中高一（）班（共人）举行了以此摸底考试（选考科目全考，单料全班排名），知这次摸底考试中的物理成绩（满分分）频率分布直方图，化学成绩（满分 分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中物理分，化学多分．‎ ‎（1）采用赋分制后，求小明物理成绩的最后得分；‎ ‎（2）若小明的化学成绩最后得分为分，求小明的原始成绩的可能值；‎ ‎（3）若小明必选物理，其他两科从化学、生物、历史、地理、政治五科中任选，求小明此次考试选考科目包括化学的概率．‎ ‎【答案】（1）分；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据物理分判断所处的百分比，根据百分比确定分数；（2）先排除赋分分的分数，然后利用百分比计算赋分分的人数，结合数据，给出可能的取值；（3）采用列举法以及古典概型的概率计算公式来求解.‎ ‎【详解】（1）∵，，‎ ‎∴此次考试物理成绩落在，内的频率依次为，，频率之和为，且小明的物理成绩为分，大于分，处于前，‎ ‎∴小明物理成绩的最后得分为分.‎ ‎（2）因为名学生中，赋分分的有人，这六人成绩分别为，，，，，；赋分分的有人，其中包含多分的共人，多分的有人，分数分别为，，，；因为小明的化学成绩最后得分为分，且小明化学多分，所以小明的原始成绩的可能值为，，，.‎ ‎（3）记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为，，，，，，小明的所有可能选法有，，，，，‎ ‎，，，，共10种，‎ 其中包括化学的有，，，共4种，‎ ‎∵若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，所选科目包括化学的概率为：.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图、茎叶图以及古典概型的应用，难度一般.理解频率分布直方图时，注意其横轴和纵轴所表示数据的含义.‎ ‎21.已知椭圆：的左、右焦点，，是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点，且的周长为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线是圆：上动点处切线，与椭圆交与不同的两点，，证明：的大小为定值．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据条件列出方程，求解的值；（2）先写出切线方程，然后联立椭圆和切线方程，计算出的值，然后考虑两个值之间的关系，从而确定为定值.‎ ‎【详解】（1）因为以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，所以 可得，又因为的周长为，可得，所以，可得，‎ ‎，所求椭圆的方程为.‎ ‎（2）证明：直线的方程为，且，记以，，‎ 联立方程消去得，‎ ‎∴，，‎ ‎，‎ 从而，‎ ‎∴为定值.‎ ‎【点睛】（1）椭圆的焦点三角形的周长为定值：；‎ ‎（2）圆，圆上一点处的切线方程为：.‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值及函数的单调区间；‎ ‎（2）若的极大值和极小值分别为，，证明：．‎ ‎【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用切线与直线相互垂直，得到斜率之间的关系，计算出的值；对求导后，对导函数因式分解，然后判断符号并写出单调区间；（2）设出极大值点和极小值点，利用导函数找到韦达定理与的关系（注意范围），同时将化简至全部用表示，然后构造函数分析最值.‎ ‎【详解】（1）解：由，得，‎ ‎∴，‎ 又曲线在点处的切线与直线垂直，‎ ‎∴，即.‎ 则，得，‎ 当时，，单调递减，当时，，单调递增；‎ ‎（2）设，为方程的两个实数根，则，，‎ 由题意得，解得，‎ 又因为函数的极大值和极小值分别为，，‎ 则，‎ ‎.‎ 令，‎ 则，当时，，所以是增函数，‎ 则，即.‎ ‎【点睛】本题考查导数的综合应用，难度较难.对于同时出现极大值点和极小值点的情况，可对导函数分析，最好可以将极大值点和极小值点与韦达定理联系在一起，后面去求解范围或者证明时可以用韦达定理形式作替换，使变量能够统一，这样即可构造新函数来解决问题.‎ ‎ ‎